立體幾何求角、距離的解法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)立體幾何求角、距離的解法考點(diǎn)一、空間中的夾角空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為0，90、0，90和0，180。（1）兩條異面直線所成的角求法： eq oac(,1)先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得； eq oac(,2)通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化

2、成相應(yīng)的銳角（2）直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”（3）二面角的度量是通過其平面角來實(shí)現(xiàn)的解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有：（）定義法；（）利用三垂線定理或逆定理；（）自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法此外，當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí)，可用射影面積法解之，cos ，其中S 為斜面面積，S為射影面積， 為斜面與射影面所成的二面角O1OEADD1C1B1A1CB例題1：已知邊長(zhǎng)為1的正方體ABC

3、D-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。 HOGFEADD1C1B1A1CB2：已知邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F為A1D1、C1D1的中點(diǎn)，求平面EFCA與底面ABCD所成的二面角。點(diǎn)評(píng)：利用平面角定義法求二面角大小，在棱上取一點(diǎn)常常是取特殊點(diǎn)，所作兩垂線也是題中特殊位置的線段。3：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1與平面BDC1所成的二面角。解：設(shè)AC與BD交于E，CD1與C1D交于F，連EF是所求二面角B-EF-C的棱，連A1C，易證A1C平面BDC1，垂足為H，取AD1中點(diǎn)O，連OC交EF于G，連G

4、H。EFAD1，OCAD1 OCEF即CGEF。HGFOEADD1C1B1A1CB根據(jù)三垂線定理逆定理得GHEFCGH是所求二面角的平面角。先求得:CG=OC=CH=A1C=HADD1C1B1A1CBsinCGH= 所求二面角=arctan。點(diǎn)評(píng)：利用三垂線定理尋求作二面角的平面角要注意取點(diǎn)。4：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C-D的大小。點(diǎn)評(píng)：利用線面垂直法要根據(jù)條件尋作棱的特殊位置上的垂面，并找準(zhǔn)面面交線所成的平面角。EGFO1OADD1C1B1A1CB5：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，G、E、F是所在棱的中點(diǎn)，求平面EFG與平面ABCD所成的二面角。點(diǎn)

5、評(píng)：平行移動(dòng)法求二面角要注意所移動(dòng)的平面是以圖中特殊線來平行移動(dòng)為宜。EADD1C1B1A1CB6：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點(diǎn)，求平面AED1與平面ABCD所成二面角。點(diǎn)評(píng)：利用投影面積法求二面角的大小無須尋作二面角的平面角，解題方便。考點(diǎn)二、空間中的距離空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離因此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面

6、的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。求法： eq oac(,1)“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。 eq oac(,2)等體積法。1、已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為C(A) (B) (C) (D) 3、如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離； 點(diǎn)評(píng)：求點(diǎn)到面的距離，經(jīng)常采用等體積法，利用同一個(gè)幾何體，體積相等，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想4、正方體ABCDA1B1C1D1，棱長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面C1EAF的距離。（關(guān)鍵找出經(jīng)過點(diǎn)B垂直平面AFC1E的平面，注意圖形特征）可證：作BHAC1交AC1于H，BH平面AFC1EBH為所求距離，或用體積法關(guān)鍵找出經(jīng)過點(diǎn)B垂直平面AFC1E的平面，注意圖形特征。解法 在正方體AC1中，取AB的中點(diǎn)G 連EG，BC1 EFEF分別為A1B1，DC的中點(diǎn) AFGE為菱形 FGABB1B平面ABCDEG平面ABCDEFABAFGE為菱形 EFAC1又AC1AB=AEF平面ABC1EF平面AFC1E平面AFC1E平面ABC1 交線為AC1作BHAC1垂足是為HBH平面AFC1EBH為點(diǎn)B到平面AFG