2022屆江西省宜春市宜豐縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知三棱柱ABCA1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且側(cè)棱AA1平面ABC，若AB=AC=3，則球的表面積為（）A36B64C100D1042已知函數(shù)對(duì)任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ）ABCD3復(fù)數(shù)z滿

2、足，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）A1B1CD4若復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是ABCD5設(shè)，則（ ）ABCD6設(shè)函數(shù)，則（）A9B11C13D157是虛數(shù)單位，若，則的值是 （ ）ABCD8若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（ ）ABCD9在區(qū)間-1,4內(nèi)取一個(gè)數(shù)x,則的概率是（）ABCD10袋中有大小和形狀都相同的個(gè)白球、個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是（ ）ABCD11把67化為二進(jìn)制數(shù)為A1100001(2)B1000011(2)C110000(2)D1000111(2)12一物體在力（單位）的作用下沿與力相同的方向，從處運(yùn)動(dòng)到處

3、（單位，則力所做的功為（ ）A54焦B40焦C36焦D14焦二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)過(guò)拋物線上任意一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則_14在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)的值為_(kāi)15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于它到定點(diǎn)的距離，記點(diǎn)P的軌跡為，給出下列四個(gè)結(jié)論：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；關(guān)于直線對(duì)稱；直線與有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；在第一象限內(nèi)，與x軸和y軸所圍成的封閉圖形的面積小于.其中正確的結(jié)論是_.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）16已知為等邊三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在拋物線上，則的周長(zhǎng)為_(kāi)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

4、或演算步驟。17（12分）已知.（1）求的解集；（2）設(shè)，求證：.18（12分）交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買(mǎi)的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表：交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表浮動(dòng)因素浮動(dòng)比率上一年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%上兩年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上三年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30%上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事

5、故上浮10%上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任交通死亡事故上浮30%某機(jī)構(gòu)為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問(wèn)題：（1）按照我國(guó)機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定，記為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字）（2）某二手車銷售商專門(mén)銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車，假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車

6、虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元:若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤(rùn)的期望值.19（12分）甲、乙、丙3人均以游戲的方式?jīng)Q定是否參加學(xué)校音樂(lè)社團(tuán)、美術(shù)社團(tuán)，游戲規(guī)則為：先將一個(gè)圓8等分（如圖），再將8個(gè)等分點(diǎn)，分別標(biāo)注在8個(gè)相同的小球上，并將這8個(gè)小球放入一個(gè)不透明的盒子里，每個(gè)人從盒內(nèi)隨機(jī)摸出兩個(gè)小球、然后用摸出的兩個(gè)小球上標(biāo)注的分點(diǎn)與圓心構(gòu)造三角形.若能構(gòu)成直角三角形，則兩個(gè)社團(tuán)都參加；若能構(gòu)成銳角三角形，則只參加美術(shù)社團(tuán)；若能構(gòu)成鈍角三角形，則只參加音樂(lè)社團(tuán)；

7、若不能構(gòu)成三角形，則兩個(gè)社團(tuán)都不參加.前一個(gè)同學(xué)摸出兩個(gè)小球記錄下結(jié)果后，把兩個(gè)小球都放回盒內(nèi)，下一位同學(xué)再?gòu)暮兄须S機(jī)摸取兩個(gè)小球（1）求甲能參加音樂(lè)社團(tuán)的概率；（2）記甲、乙、丙3人能參加音樂(lè)社團(tuán)的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差20（12分）如圖，直三棱柱中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).(1)若，求證: ;(2)若，異面直線與所成的角為30，求直線與平面所成角的正弦值.21（12分）已知直線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為（1）求直線的普通方程與圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求

8、的值22（10分）如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，若與底面所成的角的正切值為（1）求正四棱柱的體積；（2）求異面直線與所成的角的大小參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：求出，由正弦定理可得可得外接圓的半徑，從而可求該三棱柱的外接球的半徑，即可求出三棱柱的外接球表面積.詳解：，三角形的外接圓直徑，平面，該三棱柱的外接球的半徑，該三棱柱的外接球的表面積為，故選C點(diǎn)睛：本題主要考查三棱柱的外接球表面積，正弦定理的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及考查直線和平面的位置關(guān)系，意在考查綜合空間想象能力、數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)用所學(xué)知

9、識(shí)解決問(wèn)題的能力.2、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，將代入函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性選出正確的選項(xiàng).【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意，故函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，由得，即，排除A選項(xiàng). 由得，即，排除B選項(xiàng).由得，即，排除C，選項(xiàng). 由得，即，D選項(xiàng)正確，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】由已知條件計(jì)算出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，得到虛部【詳解】由題意可得 則 則復(fù)數(shù)的虛部是故選C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，按照除法法則求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式即可得到結(jié)果，較為簡(jiǎn)單4、C【解析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再

10、由實(shí)部與虛部均大于0聯(lián)立不等式組求解即可.【詳解】表示的點(diǎn)在第一象限，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法、乘方運(yùn)算，屬于中檔題解題時(shí)一定要注意和以及 運(yùn)算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤5、A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,根據(jù)不等式的性質(zhì)可知 ;通過(guò)比較 與1 的大小關(guān)系,即可判斷,從而可選出正確答案.【詳解】解:,則 , 故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.在比較對(duì)數(shù)的大小時(shí),常常結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.對(duì)于,若 ,則(1)當(dāng) 時(shí),; (2)當(dāng) 時(shí),; (3)當(dāng) 時(shí),; 若 ,則(1)當(dāng) 時(shí),; (2)當(dāng) 時(shí),; (3)當(dāng) 時(shí),.6、

11、B【解析】根據(jù)自變量所在的范圍代入相應(yīng)的解析式計(jì)算即可得到答案.【詳解】函數(shù)，=2+9=1故選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查指對(duì)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題7、C【解析】8、B【解析】根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù),故 ,解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)純虛數(shù)求解參數(shù)的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】先解不等式，確定解集的范圍，然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型計(jì)算概率.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所?【點(diǎn)睛】幾何概型中長(zhǎng)度模型（區(qū)間長(zhǎng)度）的概率計(jì)算：.10、D【解析】分別計(jì)算第一次取到白球的概率和第一次取到白球且第二次取到白球的概率，根據(jù)條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】

12、記“第一次取到白球”為事件，則記“第一次取到白球且第二次取到白球”為事件，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的求解問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略抽取方式為不放回的抽取，錯(cuò)誤的認(rèn)為每次抽到白球均為等可能事件.11、B【解析】如圖：所以把67化為二進(jìn)制數(shù)為1 000 011(2)故選B.考點(diǎn)：二進(jìn)制法.12、C【解析】本題是一個(gè)求變力做功的問(wèn)題，可以利用積分求解，由題意，其積分區(qū)間是，被積函數(shù)是力的函數(shù)表達(dá)式，由積分公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案【詳解】由題意得：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查定積分的應(yīng)用，物理中的變力所做的功用定積分求解是定積分在物理中的重要應(yīng)用，正

13、確解答本題的關(guān)鍵是理解功與定積分的對(duì)應(yīng)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：畫(huà)出圖形，將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度比，之后轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線的方程，聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后將坐標(biāo)代入，求得比值,詳解：畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖就可以發(fā)現(xiàn)，設(shè)，則直線，即，與聯(lián)立，可求得，從而得到面積比為，故答案是3.點(diǎn)睛：解決該題的關(guān)鍵不是求三角形的面積，而是應(yīng)用面積公式將面積比轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度比，之后將長(zhǎng)度比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比，從而將問(wèn)題簡(jiǎn)化，求得結(jié)果.14、84【解析】由的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再由求解即可.【詳解】解：由的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，即，即展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故

14、答案為：84.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，重點(diǎn)考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】由題意可得當(dāng)xy0，可得xy+x+y10，當(dāng)xy0時(shí)，xy+x+y10，畫(huà)出P的軌跡圖形，由圖形可得不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于直線yx對(duì)稱，且直線y1與曲線有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；曲線在第一象限與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積小于邊長(zhǎng)為1的等腰三角形的面積，即可得到正確結(jié)論個(gè)數(shù)【詳解】解：動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于它到定點(diǎn)A（1，1）的距離，可得|x|+|y|，平方化為|xy|+x+y10，當(dāng)xy0，可得xy+x+y10，即y，即y1，當(dāng)xy0時(shí)，xy+x+y10，即有（1x）y1x畫(huà)出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡

15、為圖：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不正確；關(guān)于直線yx對(duì)稱，正確；直線y1與有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，正確；在第一象限內(nèi)，與x軸和y軸所圍成的封閉圖形的面積小于，正確故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查曲線的方程和圖形，考查曲線的性質(zhì)，畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題16、【解析】設(shè)，由于，可得代入化簡(jiǎn)可得：由拋物線對(duì)稱性，知點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱不妨設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立解出即可得出【詳解】解：設(shè)，又，即又、與同號(hào)，即由拋物線對(duì)稱性，知點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱不妨設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，解得的周長(zhǎng)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題三、解

16、答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用零點(diǎn)分段法，寫(xiě)出的分段函數(shù)形式，分類討論求解即可（2）根據(jù)，利用作差法即可求證【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，解得，所以；當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，由，得，解得，所以.綜上，的解集.（2）證明：因?yàn)?，所以?所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用零點(diǎn)分段法解決絕對(duì)值不等式求解、利用作差法處理兩式大小關(guān)系的證明18、（1）分布列見(jiàn)解析，（2），萬(wàn)元【解析】（1）由題意列出X的可能取值為，結(jié)合表格寫(xiě)出概率及分布列，再求解期望（2）建立二項(xiàng)分布求解三輛車中至多有一輛事故車的概率先求出一輛二手車?yán)麧?rùn)的期望，再乘以1

17、00即可【詳解】（1）由題意可知：X的可能取值為，由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知：，.所以的分布列為：.（2）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為：.設(shè)Y為給銷售商購(gòu)進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn)，Y的可能取值為所以Y的分布列為：YP所以.所以該銷售商一次購(gòu)進(jìn)輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤(rùn)的期望值為萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量及分布列，考查二項(xiàng)分布，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題19、 (1) ；(2)分布列見(jiàn)解析； 數(shù)學(xué)期望；方差【解析】（1）先求得基本事件的總數(shù)為，然后計(jì)算出與圓心構(gòu)成直角三角形或鈍角三角形的取法數(shù)之和，再利用古典概型概率計(jì)算公式

18、，求得所求概率.（2）利用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列，并求得數(shù)學(xué)期望和方差.【詳解】解：（1）從盒中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，即是從8個(gè)等分點(diǎn)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的分點(diǎn)，共有種，其中與圓心構(gòu)成直角三角形的取法有8種:，與圓心構(gòu)成鈍角三角形的取法有種: .所以甲能參加音樂(lè)社團(tuán)的概率為：.（2）由題意可知：，的可能取值為：0,1,2,3.所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望方差【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，考查二項(xiàng)分布分布列、期望和方差的計(jì)算，屬于中檔題.20、 (1)證明見(jiàn)解析 (2)【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，易知要證，先證平面；（2）如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為軸軸軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量及直線的方向向