概率論部分第三講

1、1.21.2.8聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函量XY定義1.28稱二元函數(shù)F1.21.2.8聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函量XY定義1.28稱二元函數(shù)F(xyPX xY y量X量YF(xy)1.F(xy)分別關(guān)于x，y20F(,y) lim F(x,y)F(x,) lim F(x,y)F(,) F(,) lim F(x,y)x,F(x,y)x,11.23.F(xy)分別關(guān)于x，yF1.23.F(xy)分別關(guān)于x，yF(x0,y) F(x,y),F(x,y0) F(x,y) 量X, Y的分布函數(shù)FX(x) lim F(x,y) F(x,FY(y) lim F(x,y) F(,y)分別為X, Y 關(guān)于X和關(guān)于

2、Y的邊緣分布函數(shù)21.21.2.9聯(lián)合概率密度和邊緣概率密量X,Y的分1.21.2.9聯(lián)合概率密度和邊緣概率密量X,Y的分布函數(shù)F x, y，存在非負(fù)定義1.29對(duì)f xy，使得對(duì)任意的xyR，有yxF(x,y) f (u, 稱X, Y為二維連續(xù)型量，f (x, y)為XY的概率量X密度，或31.2fxy1.f(1.2fxy1.f(x,y) 2. f (x,y)dxdy 2F(x,y) f(x,y)3f (x, y)在(x, y)連續(xù)，則4.隨機(jī)點(diǎn)(x, y)落在平面區(qū)域GP(X,Y)G f (x,G41.2定義1.30函數(shù)fxy1.2定義1.30函數(shù)fxy為X,Y的概率密度，則稱fX xf

3、x,yfYyf x,y分別成為X,Y關(guān)于X和Y的邊緣概率密度51.21.2.10定義1.30設(shè)F xy，F(xiàn)X x,FY1.21.2.10定義1.30設(shè)F xy，F(xiàn)X x,FY y分別為X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，若對(duì)任意的xy R，有：Fx,y=FX xy量Y相互獨(dú)量X和特別地：若X,Y為二維離量 pi,pj則稱量，若有：f xy量X和Y相互獨(dú)若X,Y 為二維連續(xù)fXxfY y，也61.2量X和Y相互獨(dú)立，f x、gy分別是xy的連續(xù)函數(shù)，則：f X、g Y也1.2量X和Y相互獨(dú)立，f x、gy分別是xy的連續(xù)函數(shù)，則：f X、g Y也是相互獨(dú)立量量，pij、pi,和p, j為X,Y、

4、X和Y的概率分布，設(shè)pi,、pj 0，則Y yj 為X x條件P量X ipiiPX Y的條件分布；同理也稱Pp,jiY yj為Y yj條件下量X的條件分71.2量，pij、pi,和p, j定義1.32設(shè)X和Y為離散型為1.2量，pij、pi,和p, j定義1.32設(shè)X和Y為離散型為X,Y、X和Y的概率分布，設(shè)pi,、pj 0，則稱 FY的分布函數(shù)；同理也稱F i條件下量xip,j X xY yyj為Y yj條件下量X的分布函數(shù)81.2.10量，對(duì)任意的x，PX x 0當(dāng)X,Y為連續(xù)型y1.2.10量，對(duì)任意的x，PX x 0當(dāng)X,Y為連續(xù)型y/ x。為此 上面的方法無(wú)法定義FY考慮極限lim

5、PY y xPY y, P x F x x,y F x x,yFxx, Fxx,x 0，因此可給出下面的定義。x其中P9定義1.33設(shè)X,Y的分布函數(shù)為Fxy，若對(duì)任意的x Px定義1.33設(shè)X,Y的分布函數(shù)為Fxy，若對(duì)任意的x Px 0 Fx xy Fx xy存在，則將Fy/ xFx x, Fx x,Y/x0 Fx xy Fx xy稱其為X x條件定義為 Fx x, Fx x,x0下Y的條件分布函數(shù)比初等概率論更完善當(dāng)X,Y的分布密度為f xy，上式可表示為：xxyf u,vy/ xxx lf u,vxx yf x,v利用中值定理，有：FYX y / xf yf x,v利用中值定理，有：F

6、YX y / xf x,v定義1.34若f xy是X,Y的分布密度f(wàn) x,ydy f xy在xy處連續(xù)，定義：yf x,vf x,vyy/ xFY/xff x,vXf x,vy/ x為X x條件下Y的條件分布函數(shù)。并稱xfXY/為X x條件下Y的條件分布密度。例1. 0 x f x,y 0例1. 0 x f x,y 0,Y的邊緣概率密度 fX x，fY2 X,Y是否相互獨(dú)立（說(shuō)明理由3PXYyx e ydy exx f x,ydy 解：）fXxx 0y eydx yefY yf x,ydx y 0由于f xyx fY由于f xyx fYyfX所以X，Y（）PX Y 1XYfx,ydxeydyx

7、1 1 e1.2.11二維均勻分布和二維正態(tài)分布（略1.2.12（一）量函數(shù)的分布（連續(xù)型情形量X的概率密度為fx1.2.11二維均勻分布和二維正態(tài)分布（略1.2.12（一）量函數(shù)的分布（連續(xù)型情形量X的概率密度為fx，函數(shù)Y gX量Y gX處可導(dǎo)，對(duì)x有：gx0或gx0fyh y y 的概率密度為y 其中hy0為gx的反函數(shù)， ming,， maxg,1.2.12（二隨量X,Y的聯(lián)合概率密度為f 1.2.12（二隨量X,Y的聯(lián)合概率密度為f xy1定理1.14函數(shù)Z gX,Y為連續(xù)函數(shù)pZ zFZzf x,ygx,y1.2.12量X，Y相互獨(dú)立，其概 x y y 1.2.12量X，Y相互獨(dú)立

8、，其概 x y y fX x ，fY y 量Z=2X Y的概率密度量Z=2X Y解法一FZz P2XY z2xyf x,y由于X，Y0 x1,y f x,yfXxfY y 量Z=2X Y1z 0，F(xiàn) zZ2zxz212z 1ez2當(dāng)0量Z=2X Y1z 0，F(xiàn) zZ2zxz212z 1ez2當(dāng)0e ydy z 0z212ez ez 3e ydy 1從而Zz 0 z z 1zf1Z1ez21解法二fZ zx fY zxdx fX x解法二fZ zx fY zxdx fX x fYyfXx 0，有：fYz2x0且由x 0，有：fX 2xz 若z 10 z z fZ e1ez(x1,xn量n元函數(shù)g

9、jx1,xnj 1,(x1,xn量n元函數(shù)gjx1,xnj 1,n)yj = gj(x1,xn)(j =1,(*)如果有解就存在惟一的實(shí)數(shù)解xj = xjy1, yn j = 1,(2)gjjy1, yn)若以J表示Jacobi J量Y = Y1,Yn 則由j = gj(1,n量Y = Y1,Yn 則由j = gj(1,nj 1,的分布密度f(wàn)Yy1, yn fx1(y1,yn),xn(y1,yn)|J 當(dāng)y1,yn)使(*)例1.19 設(shè) = (1,2的分布密度為fx1x2y1 =ax1 +acbd其中 = 0,= cx +121 =a1 += +12求 = (1,2 )的分布密度f(wàn) y1,

10、y2 = = + bx2 解 +12= yy112,ca= y y2d12 1a且J = 于是得 = (1= = + bx2 解 +12= yy112,ca= y y2d12 1a且J = 于是得 = (1,2 )的分(y , y )= f(d y , + 1fyy 121212| 量Y=(Y1,Yn)的分布密度為fx1,xn推n元函數(shù)gjx1,xn j = 1,量Y=(Y1,Yn)的分布密度為fx1,xn推n元函數(shù)gjx1,xn j = 1,n)yj = gj(x1,xn)(j =1,(*)有m組實(shí)數(shù)解= x (k)(y ,y )(j =1,n;k =1,jj1n(ky , y )(2)g

11、jj1(kjnj,若以J表示Jacobi(k(k J(k(k量Y = (Y1,Yn )的分布fY(y1,yn)量Y = (Y1,Yn )的分布fY(y1,yn)mf(k(k(y1,yn),(y1,yn)|J 當(dāng)y1yn)使(*)k0 x12+1設(shè)( , )的分布密度為:fx x 2e2121222 的分布密度。2求U 解：令=+ = ，求解方程組211222= = = y2 22y,| y | 111221y且J = 2222y102112 22y12則 = (1，2 )的分y1f解：令=+ = ，求解方程組211222= = = y2 22y,| y | 111221y且J = 2222y1

12、02112 22y12則 = (1，2 )的分y1f (y , y )| 0)P E(2 )E(2 E(XY)Cauchy Schwarz1.3.7條件數(shù)學(xué)期)2dF(x)一般地，E(定義1.37對(duì)于條件分布函數(shù)Fy xF1.3.7條件數(shù)學(xué)期)2dF(x)一般地，E(定義1.37對(duì)于條件分布函數(shù)Fy xFx yydF(y x) xdFx y 條件下Y的條件數(shù)學(xué)期望E(YE(X y)= xdFx y 為Y=y條件下X的條例1.21量X、Y的取值為1,2，n1P(X = i,Y = j),i, j =1,2,n2例1.21量X、Y的取值為1,2，n1P(X = i,Y = j),i, j =1,2

13、,n2解：p(i,) 1 p(, j) 1 1p(i, j),nn2np(i| j)= 1= 1 p(j|i)(i, j 1,2,p(i,np(, j)nip(i| j) nnn1niE(Y |i)jp(j|i)jE(X | j)22例1.22N(0,1;0,1;r),試求f(y|xE(Y|xE(X|y)解：11f(x, y)(x2 2y 2(12)11r例1.22N(0,1;0,1;r),試求f(y|xE(Y|xE(X|y)解：11f(x, y)(x2 2y 2(12)11rx2y21則fx) , f(y)222 1f(x, y)1y-于是： fy| x) fX (x)22(1-r21-r：

14、xf(x, y) 1f(x| y)2)fY (y)22(1r21：xf(x, y) 1f(x| y)2)fY (y)22(1r21rE(Y| x) yf(y| x)dy 2 1y1dy y2(1r 21r2E(X| y) ：從此例可以看出，E(Yx)，E(Xy)分別是x和y的函數(shù)。而E(YX)=；E(Xy)=Y。1.3.81.3.8例1.23已知 ,在0,1上服從均勻分布例1.23已知 ,在0,1上服從均勻分布且相互獨(dú)求D|.和的聯(lián)合分布密度0 x1,0 yfx,y令U ，V 則U和V的聯(lián)合概率密度為0 u1,0 vu其它(u則U和V的聯(lián)合概率密度為0 u1,0 vu其它(u,v)= 10則關(guān)于V的邊沿概率密度為v1du= 0 v 1 v 0()11du2vv00 u v1 u其(u|v)= 當(dāng)0v1fU0 (u|v)= 2v當(dāng)1v 2fU0 u v1 u其(u|v)= 當(dāng)0v1fU0 (u|v)= 2v當(dāng)1v 2fU 1vv2當(dāng)0v1()vE U