靜電場邊值問題的唯一性定理

1、靜電場邊值問題的唯一性定理第1頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四唯一性定理邊界條件可將空間里電場的分布唯一地確定下來即給定邊界條件后，不可能存在不同的靜電場分布該定理對包括靜電屏蔽在內(nèi)的許多靜電問題的正確解釋至關(guān)重要理論證明在電動力學(xué)中給出，p59 給出物理上的論證第2頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四幾個引理引理一在無電荷的空間里電勢不可能有極大值和極小值證明（反證）若有極大，則極大極小若有極小，同樣證明第3頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四引理二若所有導(dǎo)體的電勢為0，則導(dǎo)體以外空間的電勢處處為0即意味著空間電勢有極大值，違背

2、引理一證明（反證）在無電荷空間里電勢分布連續(xù)變化，若空間有電勢大于0（或小于0）的點(diǎn)，而邊界上電勢又處處等于零必出現(xiàn)極大值或極小值推廣：若完全由導(dǎo)體所包圍的空間里各導(dǎo)體的電勢都相等（設(shè)為U0），則空間電勢等于常量U0第4頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四引理三若所有導(dǎo)體都不帶電，則各導(dǎo)體的電勢都相等證明（反證）若不相等，必有一個最高，如圖設(shè)U1U2、U3，導(dǎo)體1是電場線的起點(diǎn)其表面只有正電荷導(dǎo)體1上的總電量不為0與前提矛盾引理二 ( )引理三推論：所有導(dǎo)體都不帶電的情況下空間各處的電勢也和導(dǎo)體一樣，等于同一常量第5頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四疊

3、加原理在給定各帶電導(dǎo)體的幾何形狀、相對位置后，賦予兩組邊界條件：1：給定每個導(dǎo)體的電勢Uk（或總電量Qk）2：給定每個導(dǎo)體的電勢Uk（或總電量Qk)設(shè)U、 U滿足上述兩條件，則它們的線性組合 U=a U+b U必滿足條件3:3:給定每個導(dǎo)體的電勢Uk=a Uk+b U k （或總電量Qk= Qk a k+b Q k）特例 ： 取Uk U k，則U=UU(a=1,b=-1)滿足4：給定每個導(dǎo)體的電勢為0 第6頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四唯一性定理給定每個導(dǎo)體電勢的情形第7頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四與電勢參考點(diǎn)有關(guān)給定每個導(dǎo)體上總電量的情形

4、 第k個導(dǎo)體上的電量電量與場強(qiáng)、電勢的關(guān)系第8頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四解釋靜電屏蔽唯一性定理表明：一旦找到某種電荷分布，既不違背導(dǎo)體平衡特性，又是物理實(shí)在，則這種電荷分布就是唯一可能的分布。 圖中是根據(jù)導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)處處為零判斷存在兩種實(shí)在的電荷分布的迭加就是唯一的分布 第9頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四電像法解靜電問題的一種特殊方法在一接地的無窮大平面導(dǎo)體前有一點(diǎn)電荷q求空間的電場分布和導(dǎo)體表面上的電荷分布基本思想：利用唯一性定理，邊界條件確定了，解是唯一的，可以尋找合理的試探解像電荷第10頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分

5、，星期四真空中有一半徑為R的接地導(dǎo)體球，距球心為a(aR)處有一點(diǎn)電荷Q,求空間各點(diǎn)電勢尋找像電荷對稱性分析，確定像電荷位置使球面上電勢0任取 P點(diǎn)，利用疊加原理求出像電荷位置對所有都成立，即要求第11頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四求p點(diǎn)電勢討論：由Gaoss定理收斂于球面上的電通量為Q，Q=球面上的總感應(yīng)電荷，它受電荷Q產(chǎn)生的電場吸引從接地處傳至導(dǎo)體球上，|Q|Q,Q發(fā)出的電力線只有一部分收斂于導(dǎo)體球，剩下的伸展至無窮第12頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四電偶極層設(shè)想一厚度均勻的曲面薄殼，兩面帶有符號相反的面電荷 電偶極層，如圖，求P點(diǎn)的電勢和場強(qiáng) 第13頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四面元dS在垂直于矢徑r方向的投影定義電偶極層強(qiáng)度：單位面積上的電偶極矩 第14頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期四P點(diǎn)的電場強(qiáng)度 電偶極層的電勢和場強(qiáng)只與對場點(diǎn)所張的立體角有關(guān)幾何上決定，電偶極層兩側(cè)立體角有的躍變負(fù)電荷一側(cè)： 曲面S對場點(diǎn)P所張的立體角正電荷一側(cè)：第15頁，共16頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)55分，星期