概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn)1第1頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四8.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念 假設(shè)檢驗(yàn)是指施加于一個(gè)或多個(gè)總體的概率分布或參數(shù)的假設(shè). 所作的假設(shè)可以是正確的, 也可以是錯(cuò)誤的. 為判斷所作的假設(shè)是否正確, 從總體中抽取樣本, 根據(jù)樣本的取值, 按一定的原則進(jìn)行檢驗(yàn), 然后, 作出接受或拒絕所作假設(shè)的決定.何為假設(shè)檢驗(yàn)?8.12第2頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四假設(shè)檢驗(yàn)所以可行,其理論背景為實(shí)際推斷原理,即“小概率原理”假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容參數(shù)檢驗(yàn)（8.2）非參數(shù)檢驗(yàn)總體均值, 均值差的檢驗(yàn)總體方差, 方差比的檢驗(yàn)分布擬合檢驗(yàn)（8.3）符號(hào)

2、檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的理論依據(jù)3第3頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 引例1 某產(chǎn)品出廠檢驗(yàn)規(guī)定: 次品率p不超過(guò)4%才能出廠. 現(xiàn)從一萬(wàn)件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品, 問(wèn)該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品, 問(wèn)能否出廠？解 假設(shè) 這是 小概率事件 , 一般在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的, 現(xiàn)一次試驗(yàn)竟然發(fā)生, 故認(rèn)為原假設(shè)不成立, 即該批產(chǎn)品次品率 , 則該批產(chǎn)品不能出廠.4第4頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 這不是小概率事件,沒理由拒絕原假設(shè),從而接受原假設(shè), 即該批產(chǎn)品可以出廠.若不采用假設(shè)檢驗(yàn), 按理也不能夠出廠.注直接算5第5頁(yè)，共

3、68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四對(duì)總體 提出假設(shè)要求利用樣本觀察值對(duì)提供的信息作出接受 (可出廠) , 還是接受 (不準(zhǔn)出廠) 的判斷.出廠檢驗(yàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型6第6頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 某廠生產(chǎn)的螺釘,按標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度為68/mm2, 而實(shí)際生產(chǎn)的強(qiáng)度X 服N(,3.62 ). 若E(X)=68,則認(rèn)為這批螺釘符合要求,否則認(rèn)為不符合要求.為此提出如下假設(shè):H0 : = 68 稱為原假設(shè)或零假設(shè) 原假設(shè)的對(duì)立面:H1 : 68 稱為備擇假設(shè) 現(xiàn)從生產(chǎn)的螺釘中抽取容量為36的樣本,其均值為 ,問(wèn)原假設(shè)是否正確? 引例2 引例27第7頁(yè)，共68頁(yè)，202

4、2年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四若原假設(shè)正確, 則故 取較大值是小概率事件.因而 ,即偏離68不應(yīng)該太遠(yuǎn),偏離較遠(yuǎn)是小概率事件,由于 8第8頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四規(guī)定為小概率事件的概率大小,通常取 = 0.05, 0.01,例如,取 = 0.05,則因此,可以確定一個(gè)常數(shù)c ,使得9第9頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四由為檢驗(yàn)的接受域 (實(shí)際上沒理由拒絕),現(xiàn)落入接受域,則接受原假設(shè)而區(qū)間( ,66.824 ) 與 ( 69.18 , + )為檢驗(yàn)的拒絕域稱 的取值區(qū)間( 66.824 , 69.18 )H0: =6810第10頁(yè)，共68

5、頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 由引例2可見,在給定的前提下,接受還是拒絕原假設(shè)完全取決于樣本值, 因此所作檢驗(yàn)可能導(dǎo)致以下兩類錯(cuò)誤的產(chǎn)生： 第一類錯(cuò)誤棄真錯(cuò)誤第二類錯(cuò)誤取偽錯(cuò)誤11第11頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四正確正確第一類錯(cuò)誤 (棄真)第二類錯(cuò)誤 (取偽)假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤 犯第一類錯(cuò)誤的概率通常記為 犯第二類錯(cuò)誤的概率通常記為 表H0 為真H0 為假真實(shí)情況所作判斷接受 H0拒絕 H012第12頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 任何檢驗(yàn)方法都不能完全排除犯錯(cuò)誤的可能性.理想的檢驗(yàn)方法應(yīng)使犯兩類錯(cuò)誤的概率都很小,但在樣本容量

6、給定的情形下,不可能使兩者都很小,降低一個(gè), 往往使另一個(gè)增大. 假設(shè)檢驗(yàn)的指導(dǎo)思想是控制犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過(guò), 然后,若有必要,通過(guò)增大樣本容量的方法來(lái)減少 .13第13頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四P(拒絕H0|H0為真)若H0為真, 則 所以,拒絕 H0 的概率為, 又稱為顯著性水平, 越大,犯第一類錯(cuò)誤的概率越大, 即越顯著.引例2 中，犯第一類錯(cuò)誤的概率14第14頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四H0不真,即 68,可能小于68,也可能大于68, 的大小取決于 的真值的大小.下面計(jì)算犯第二類錯(cuò)誤的概率 設(shè) =P(接受H0|H0不真)15

7、第15頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四若取偽的概率較大.16第16頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四/2/2H0 真H0 不真圖17第17頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四仍取=0.05,則由可以確定拒絕域?yàn)?( , 67.118 ) 與 ( 68.882 , + )因此，接受域?yàn)?67.118, 68.882)現(xiàn)增大樣本容量,取n = 64, = 66,則18第18頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四19第19頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 當(dāng)樣本容量確定后,犯兩類錯(cuò)誤的命題概率不可能同時(shí)

8、減少.此時(shí)犯第二類錯(cuò)誤的概率為 證 設(shè) 在水平 給定下,檢驗(yàn)假設(shè)證明20第20頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四又由此可見,當(dāng) n 固定時(shí)1) 若2) 若(見注)證畢.21第21頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四注 從而當(dāng) 時(shí)22第22頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 一般,作假設(shè)檢驗(yàn)時(shí),先控制犯第一類錯(cuò)誤的概率,在此基礎(chǔ)上使 盡量地小.要降低 一般要增大樣本容量.當(dāng)H0不真時(shí),參數(shù)值越接近真值, 越大.備擇假設(shè)可以是單側(cè),也可以雙側(cè).原假設(shè) H0 : = 68；備擇假設(shè) H1 : 68注 1注 2引例2中的備擇假設(shè)是雙側(cè)的.若根據(jù)

9、以往生產(chǎn)情況,0=68.現(xiàn)采用了新工藝,關(guān)心的是新工藝能否提高螺釘強(qiáng)度,越大越好.此時(shí), 可作如下的假設(shè)檢驗(yàn):23第23頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四當(dāng)原假設(shè)H0 : = 0 = 68 為真時(shí),取較大值的概率較小當(dāng)備擇假設(shè) H1: 68 為真時(shí),取較大值的概率較大給定顯著性水平,根據(jù)可確定拒絕域24第24頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四因而, 接受域稱這種檢驗(yàn)為右邊檢驗(yàn).原假設(shè) H0: 68備擇假設(shè) H1: 68另外,可設(shè)若原假設(shè)正確, 則25第25頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四但現(xiàn)不知 的真值,只知 0 = 68 小概率事

10、件故取拒絕域顯著性水平不超過(guò)26第26頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四關(guān)于零假設(shè)與備擇假設(shè)的選取H0與H1地位應(yīng)平等,但在控制犯第一類錯(cuò)誤的概率 的原則下,使得采取拒絕H0 的決策變得較慎重,即H0 得到特別的保護(hù).因而,通常把有把握的、有經(jīng)驗(yàn)的結(jié)論作為原假設(shè),或者盡可能使后果嚴(yán)重的錯(cuò)誤成為第一類錯(cuò)誤.注 327第27頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四假設(shè)檢驗(yàn)步驟(三部曲) 其中 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所關(guān)心的內(nèi)容,建立H0與H1 在H0為真時(shí),選擇合適的統(tǒng)計(jì)量V,由H1確給定顯著性水平,其對(duì)應(yīng)的拒絕域雙側(cè)檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)定拒絕域形式 根據(jù)樣本值計(jì)算,并作出相應(yīng)的判

11、斷.右邊檢驗(yàn)三部曲28第28頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四8.2 正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)拒絕域的推導(dǎo)設(shè) X N ( 2)，2 已知，需檢驗(yàn)：H0 : 0 ； H1 : 0構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 給定顯著性水平與樣本值(x1,x2,xn )一個(gè)正態(tài)總體（1）關(guān)于 的檢驗(yàn)29第29頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四P(拒絕H0|H0為真)所以本檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)镠0：U 檢驗(yàn)法30第30頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 0 0 0 0 0U 檢驗(yàn)法 (2 已知)原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布拒絕域U 檢驗(yàn)法31第31頁(yè)，共68

12、頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 0 0 0 0 0T 檢驗(yàn)法 (2 未知)原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布拒絕域T 檢驗(yàn)法32第32頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四例1 某廠生產(chǎn)小型馬達(dá), 說(shuō)明書上寫著: 這種小型馬達(dá)在正常負(fù)載下平均消耗電流不會(huì)超過(guò)0.8 安培. 現(xiàn)隨機(jī)抽取16臺(tái)馬達(dá)試驗(yàn), 求得平均消耗電流為0.92安培, 消耗電流的標(biāo)準(zhǔn)差為0.32安培. 假設(shè)馬達(dá)所消耗的電流服從正態(tài)分布, 取顯著性水平為 = 0.05, 問(wèn)根據(jù)這個(gè)樣本, 能否否定廠方的斷言?解 根據(jù)題意待檢假設(shè)可設(shè)為例133第33頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月2

13、0日，6點(diǎn)7分，星期四 H0 : 0.8 ； H1 : 0.8 未知, 故選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒絕域?yàn)楝F(xiàn)故接受原假設(shè), 即不能否定廠方斷言.34第34頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四解二 H0 : 0.8 ； H1 : 02 2 02 2 0.00040. 此時(shí)可采用效果相同的單邊假設(shè)檢驗(yàn) H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2 0.00040. 41第41頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四取統(tǒng)計(jì)量拒絕域 0：落在0內(nèi), 故拒絕H0. 即改革后的方差顯著大于改革前, 因此下一步的改革應(yīng)朝相反方向進(jìn)行.4

14、2第42頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四設(shè) X N ( 1 1 2 ), Y N ( 2 2 2 ) 兩樣本 X , Y 相互獨(dú)立, 樣本 (X1, X2 , Xn ), ( Y1, Y2 , Ym ) 樣本值 ( x1, x2 , xn ), ( y1, y2 , ym )顯著性水平 兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)總體43第43頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四1 2 = ( 12，22 已知)(1) 關(guān)于均值差 1 2 的檢驗(yàn)1 2 1 2 1 2 1 2 原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域1 2 檢44第44頁(yè)，共68頁(yè)，2022

15、年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四1 2 = 1 2 1 2 1 2 1 2 其中12, 22未知12 = 22原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域45第45頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 12 = 22 12 22 12 22 12 22 12 22 12 22(2) 關(guān)于方差比 12 / 22 的檢驗(yàn)1, 2 均未知原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域 12 / 22 檢46第46頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四例3 杜鵑總是把蛋生在別的鳥巢中,現(xiàn)從兩種鳥巢中得到杜鵑蛋24個(gè).其中9個(gè)來(lái)自一

16、種鳥巢, 15個(gè)來(lái)自另一種鳥巢, 測(cè)得杜鵑蛋的長(zhǎng)度(mm)如下:m = 1519.8 20.0 20.3 20.8 20.9 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2 21.5 22.0 22.0 22.1 22.3n = 921.2 21.6 21.9 22.0 22.022.2 22.8 22.9 23.247第47頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 試判別兩個(gè)樣本均值的差異是僅由隨機(jī)因素造成的還是與來(lái)自不同的鳥巢有關(guān) ( ).解 H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2 取統(tǒng)計(jì)量48第48頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四拒絕域 0：統(tǒng)計(jì)

17、量值 . 落在0內(nèi),拒絕H0 即蛋的長(zhǎng)度與不同鳥巢有關(guān).49第49頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四例4 假設(shè)機(jī)器 A 和 B 都生產(chǎn)鋼管, 要檢驗(yàn) A 和 B 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑的穩(wěn)定程度. 設(shè)它們生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別為 X 和 Y , 且都服從正態(tài)分布 X N (1, 12) , Y N (2, 22) 例4 現(xiàn)從機(jī)器 A和 B生產(chǎn)的鋼管中各抽出18 根和13 根, 測(cè)得 s12 = 0.34, s22 = 0.29,50第50頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 設(shè)兩樣本相互獨(dú)立. 問(wèn)是否能認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑的穩(wěn)定程度相同? ( 取 = 0.1 )

18、解設(shè) H0 : 12 = 22 ；H1 : 12 22 查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59,F0.95( 17, 12 ) = 51第51頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四拒絕域?yàn)?或由給定值算得:落在拒絕域外,故接受原假設(shè), 即認(rèn)為內(nèi)徑的穩(wěn)定程度相同.52第52頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四接受域置信區(qū)間假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)量 樞軸量對(duì)偶關(guān)系同一函數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的聯(lián)系53第53頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四 假設(shè)檢驗(yàn)與置信區(qū)間對(duì)照接受域置信區(qū)間檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布樞軸量及其分布 0 0（

19、2 已知)（ 2 已知)原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1待估參數(shù)54第54頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四接受域置信區(qū)間檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布樞軸量及其分布原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1待估參數(shù) 0 0（ 2未知）（ 2未知）55第55頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四接受域置信區(qū)間檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布樞軸量及其分布原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1待估參數(shù) 2 02 2= 02 2(未知)(未知)56第56頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四例5 新設(shè)計(jì)的某種化學(xué)天平，其測(cè)量誤差服從正態(tài)分布, 現(xiàn)要求 99.7% 的測(cè)量誤差不超

20、過(guò) 0.1mg , 即要求 3 0.1.現(xiàn)拿它與標(biāo)準(zhǔn)天平相比，得10個(gè)誤差數(shù)據(jù)，其樣本方差s2 =0.0009. 解一H0: 1/30 ；H1: 1/30例5 試問(wèn)在 = 0.05 的水平上能否認(rèn)為滿足設(shè)計(jì)要求？57第57頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四拒絕域： 未知, 故選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量現(xiàn)故接受原假設(shè), 即認(rèn)為滿足設(shè)計(jì)要求.58第58頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四解二 2的單側(cè)置信區(qū)間為H0中的滿足設(shè)計(jì)要求.則H0 成立, 從而接受原假設(shè) , 即認(rèn)為59第59頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四樣本容量的選取 雖然當(dāng)樣本容量 n 固定時(shí), 我們不能同時(shí)控制犯兩類錯(cuò)誤的概率, 但可以適當(dāng)選取 n 的值, 使犯取偽錯(cuò)誤的概率 控制在預(yù)先給定的限度內(nèi).樣本容量 n 滿足 如下公式：?jiǎn)芜厵z驗(yàn)雙邊檢驗(yàn)容量選取60第60頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四右邊檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)雙邊檢驗(yàn)其 中U 檢驗(yàn)法中 的計(jì)算公式61第61頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)7分，星期四例6