交通流參數與非參數模型

1、交通流參數與非參數模型劉曉偉一、交通三參數模型1 歷史回顧1933年，格林希爾茨根據觀測數據的分析結果，提出了V-K線性關系模型V=a-bk,并 推導出了如下關系式， TOC o 1-5 h z V 二 Vjrd K/K*(I)Q-K/V- V/VJQ-Vf(K-K2/K(3)式中:K為車流密度，V為行車速度，Q為交通流量，Vt為暢行速度,Kj為堵塞密度.Q/(L-h-r)Q/(L-h-r)500| 0001 $002 000圖咅北京城ill睥三環(huán)怏運歸逵度-挺婁乘500| 0001 $002 000圖咅北京城ill睥三環(huán)怏運歸逵度-挺婁乘Fig. 3 Flaw-Bpecd relBtione

2、hip plot on The W,Ring Eapre樹砒 in 險ijing一非慟和狀遐 排肚肅放狀戀0Q/(L h1陽 1 Greenshields關察Fi：g 1 Flow-speixi 胡時伽卯hip plot格林希爾茨給出的速度和流量之間的關系符合拋物線模型(如圖1),它在Vf/2處有最大 流量Qmax，與目前的一些觀測結果出入較大，其原因在于Greenshields的函數形式V=a-bk 是根據當時的觀測數據假設得出的,交通量、道路狀況以及觀測手段與現在均有較大差距 而且交通調查又是在假期進行的，樣本量有限，不具備代表性，與交通流的本質特性具有一 定的偏差該理論盛行了約30a,直

3、到1985年的美國通行能力手冊仍采用了該曲線.20世紀80年代以后，許多文獻將注意力集中到對交通流到達或接近通行能力時交通流 狀況的研究,Hounsel認為自由流速度幾乎可以保持到當流量接近通行能力時,Ha11在1992 年指出對應于高速公路的不同區(qū)段，速度一流量曲線應分為3 部分:第1 段為非飽和狀態(tài)， 第2段為排隊釋放狀態(tài)，第3段為過飽和狀態(tài)(如圖2).圖2 罠國鍛行能力手冊20加版速度-澆美霖圖Fig. 2 Flo-spccd relalJonahLp plot tn f TCM 2D00郭繼孚等人對北京市內二、三環(huán)快速路進行了觀測，從結果可以看出，北京城市快速 路的交通流特性與國外高速

4、公路存在較大差異，國外高速公路的速度一流量曲線在流量較低 時，曲線平坦，速度隨流量增加變化不大.而北京的城市快速路的速度一流量關系曲線更符 合 Greenshields 提出的二次曲線關系(如圖 3) ，車流速度隨流量增加迅速降低，并不像高速 公路那樣可以保持在較高的水平.交通流 3 個基本參數的研究受樣本量、觀測手段和現狀交通現象的影響，而所有的研究 都是以實際觀測數據為依據得出的結論，其結果受車行量和上路間隔時間的影響很大，并不 能真正認識流量與密度、車速的關系本質、車流密度與行車速度的關系2 車流密度與行車速度的關系在以往的研究中，3個參數關系式Q = VK假設交通流為自由流的，由物理學

5、中的流體 理論導出的，與交通流的性質無關.交通流量首先是由上路行車數量決定的，當車流密度很小時，車輛可以在允許的最大時 速Vf下自由行駛，不受其它車輛的影響，此時v與K沒有任何關系當密度達到跟馳密度Kf后，車流狀態(tài)由自由流變?yōu)楦Y流，車速受密度制約，當車流密度達到堵塞密度兒時，車輛停止行駛，此時V=0.車輛行駛的首要前提是車流密度能保持車輛行駛速度由車輛本身所能達到的在規(guī)定時速下的速度值Vf和車流密度決定，車流 密度決定車頭間距，車頭間距決定車行速度控制車頭間距h:應考慮反應時間內行駛的距離 dl、制動期間的行駛距離d:，停車后的安全距離d3、車身長度d4、以及前車的制動距離ds， 其關系表達

6、式為 TOC o 1-5 h z 式中“是駕駛人員對前車變化的反應時間內的車行距離，它是速度V的函數,b是反映時間，一般取b=ls;分別是停車安全距離和車身長度，用計算車長c來表示，可取m.根據車頭間距和密度之間的倒數關系可知，； 分別是前后 2 個車制動距離，根據車輛跟馳特性可知，后車平均行駛速度與前車相同，后車的 制動減速度小于或等于前車制動減速度，故有d2= V2J(2O2)(5)d2-d5= V2/(2a2) - V3/(24|)(7)式中：分別為前后車剎車減速度，設“Ji，貝y讓-J滿足應對前車剎車 減速所需的安全距離d為J =v2(l= &訐(8)“小- ；稱為剎車安全度系數，它與

7、汽車的剎車性能及前后車剎車差異有關,是一個變量當無論前車的減速行為如何，跟馳車輛都能保證以和前車相同的減速度剎車減 速時， ，剎車安全距離有最小值 ；當前車以 擋墻式停車，而后車以 自身期望的減速度心停車時，則有 ，a= ，剎車安全距離有最大值 因為前車的行為是不可知的，駕駛者只能憑經驗根據實際狀況來控制剎車所需距離，車速愈 高車輛愈難控制，所考慮的剎車距離越長，所以 a 值隨著車速的根高而減小.車頭間距與車 流密度是倒數關系.跟馳狀況下速度與密度的關系式為速度與密度的關系分3個階段，第1個階段是自由流階段，此時因上路的車輛較少，車 流密度較小，車輛能夠在大于安全車頭間距的條件下，以所允許的期

8、望速度Vf自由行駛，此時兩者之間沒有交通關聯，車速不變.密度隨上路車輛的增加而增加.第2 階段是過渡階段，隨著車流密度的增大，車輛行駛開始受到前車的影響，出于安全 的考慮，駕駛者需要控制與前車保持足夠的距離，以防前車剎車減速.由于在車流形態(tài)變化 點 Kf 處的車速較高，駕駛者應當以最不利情況的車頭間距控制行駛，剎車距離完全按前車 擋墻式停車考慮,a=0.隨著密度的增大，速度逐漸降低，對于剎車距離的考慮逐漸減弱a值由 0趨近于1,其變化軌跡如圖4中虛線所示，此間兩者之間的關系式為1/(aV2 +(11)K廠兩阪7而莎第3階段是跟馳階段，此階段密度較大，車速較低，車輛容易控制，控制車頭間距中已 不

9、再包括剎車距離的影響，而是認為能和前車以相同的減速度減速剎車，即:T=O,a=O,式(12) 為此階段的關系式當K=Kj=1/c時，V=0,車流停止前行.K-l/(AV + c(12)120I0C剛604G2010203040506070鈕 J kju)ffi4逵廈-密度艾藁Fig. 4 Densaty-spctd relatioiiship plot如果能保證前后車剎車距離相同，則V-K關系函數由式(10)和式(12)組成，但這種車流 狀態(tài)不能保證行車的安全，一旦出現意外，就會發(fā)生追尾事件，且速度越高,這種危險性越 大，所以存在Kf至Kq過渡階段，這一階段的范圍形狀與駕駛技術和行為習慣等有關

10、，Kf 120I0C剛604G2010203040506070鈕 J kju)ffi4逵廈-密度艾藁Fig. 4 Densaty-spctd relatioiiship plot團5加拿大高遠舍路速度-密崖其辜Fig. 5 Dcnaity-spctd relationship plot anfreeway in Canada (Mark, I9W )3交通流里與行車速度的關系由于V-K由3個階段構成，則Q 一 V關系亦相應分為3個部分，根據基本公式Q= VK 和式(10),(11),(12)可得到3個階段的Q 一 V關系式分別為第1階段：K =0-*Kz, V=Q = KVf(13)第2階段：

11、K = Kf KqrQ= V/(aV2+frV+t)(14第3階段：K二仏-瓦,Q = V/(&V + d如圖示6所示，在K=0 一 Kf階段，由于車流密度較小，車頭間距較大，車輛能夠以Vf穩(wěn) 定地行駛此段的流量隨著車流密度的增大而增加，Q-V關系是一條平行于Q軸的直線當車 流密度達到 Kf 值后，行車速度開始受到車流密度的約束，隨著密度的增加車速降低，流量 的增加變得愈來愈緩慢，此階段是由于a值的存在，駕駛行為在譏 ；- 和；，-汛-之間擺動所造成的，如果a 0，對式(14)求導可得流量的最大值即當=時,有最大流量，由于a是變量，最大流量也因地而異.當密度繼續(xù)增加時速度繼續(xù)下降，流量也隨之下

12、降，Q-V關系越來越接近式(15).當密度達到Kj時，車輛停 止行駛，V=0,流量也就達到了最小值Q=O.Vf和V=0時的流量為零是截然不同的原因造成 的，前者是因為沒有車，而后者是因為車多造成了堵塞.oFtg. 6Flow-speed rcktioTwhip plot圖oFtg. 6Flow-speed rcktioTwhip plot圖T謊薩-巒度關星圖Fig. 7 Flow-drtisiiy TElainndiLp plot鈕 L knr”)4交通流量與車流密度的關系同樣，將式(11).(12)變換為V-K形式后代入Q = VK可得式(16).(17),(19)從圖9可以看 出，當密度較

13、小和密度較大時，流量與密度成線性關系，B Kj線完全不考慮剎車距離， O-A段完全考慮剎車安全，由于緊隨要求的作用，駕駛行為隨著速度的降低，由O-A向B 一 Kj過渡，由此產生了過渡段A-B.自由流階段： TOC o 1-5 h z Q=VfK(16)過渡階段： HYPERLINK l bookmark16 o Current Document Q = (-1/K)-b)K/(2a )(17)排隊擁擠階段： HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 0,具體形式如下：這樣定義的權函數W稱為以K為核函數的核權函數,h稱為窗寬。一般來說它滿足條件:近鄰型估

14、計是找n個常數滿足如下條件：G 三 f 三.三 g.三（I Wj； =1（ 3心I如果對應于所有樣本 、,在Rd中引入各樣本與自變量x的距離門、，并 按距離由近至遠排序樣本為；,則權函數可定義為:如果樣本量很多時，可考慮給予x最近的k個樣本權值，其它樣本權值為零，這樣的方法稱為k 鄰近估計。在因變量與自變量散點圖接近直線時可以采用權函數與最小二乘法結合起來使用, 即先進行最小二乘線性回歸，然后再對殘差進行權函數估計，最后進行迭加。(1)核估計模型 對交通流三個參數流量、密度和速度采取非參數方法建模，只要知道任何兩個參數對即 可，也即設其中一個為自變量，另一個為因變量，就可以對因變量進行估計和預

15、測。正常情況下， 數據對越多，如幾天或幾星期的數據，估計曲線越光滑，圖2是采用常用的核函數Triangle和 Nadaraya-Watson核估計公式進行計算所得結果。對窗寬的選擇一般來說，窗寬越小，估計的核函數曲線和樣本擬合得較好，但可能不太光滑;窗 寬越大，核函數曲線越光滑，和樣本擬合誤差越大。因此我們可采取交叉證實法，使速度核估計 與實測數據的均方誤差最小。大量的計算表明，當窗寬在l.lvhvl.2范圍時，各個核估計的均 方誤差在9.0與9.7之間，估計值與實測數據對的相關系數接近0.90，各個核函數在相同的點 取大于零的值，且權數大小不完全一樣;而當窗寬小于 l 時，所有核估計的均方誤

16、差達到最小 且為8.6155,估計值與實測數據對的相關系數最大，且為0.9061，各個核函數是完全一樣的。(2) k-近鄰模型近鄰權與核函數相比簡單實用，但是誤差可能較大，如果能適當增加近鄰數目或采取其它 形式的平均算法，如幾何平均、調和平均等，則可降低誤差，但要求數據必須是正數。在使用均 勻近鄰權時，對于估計值偏大的情況下，采用幾何平均或調和平均，可以有效地降低估計值大 小表1是比較不同近鄰權函數、不同近鄰數和不同平均算法對估計模型的影響。從表1中可 以看出，不論采用何種形式的近鄰權函數，隨著近鄰數的增加，模型均方誤差變少，同時估計值 與實測值的相關程度增大;對于均勻權函數來說，調和平均的均

17、方誤差小于幾何平均，幾何平 均的均方誤差小于算術平均;線性權函數和平方權函數的均方差幾乎都比均勻函數要大，不如 均勻權函數有效。圖3分別是5近鄰和9階近鄰的算術平均、幾何平均和調和平均估計曲線。最小二乘加權混合模型根據毅面的權函數種類可以分為兩種,即最小二乘核函數估計和 最小二乘k近鄰估計。針對前面的數據,運用最小二乘原理求出線性部分為y=20.8136-0.2662x, 和Creenshields模型是一致的。然后，再對殘差V-（20.8136-0.2662k）進行核函數估計和k近鄰 估計,顯然,最后模型的估計為線性部分與權函數估計之和。通過計算發(fā)現,對于窗寬小于 1 的 情況，最小二乘核函

18、數估計與純核函數估計的結果是一樣的，沒有任何改進。而最小二乘k近 鄰估計比k近鄰估計僅有微弱的改進，見表1。表丨 卜近鄰K速度一密度欖型的均方丁 1相戔系數近鄰數近鄰杈3階近鄰5階近鄰7怖近鄰9階近鄰均方差相關系數均方差相關系數均方差相關索數均方差相關系數均權算術平均31-0965a 88830. 888416. 157316. 1542*0. 8963a 8964*1 3- 44M13-43140 89740. W77*11 - 02761剛0. 8987蝕 1*幾何平均3。73090- 887914- 25490. 897812- 24870 898410. 2(10. 8994囲和T：均

19、3。3932.O 887412- 45420.用)931 1- IW0 89959 70390. 8999線性權菌數32-843932. 8439*Q 88810. 8882*2 2- 174522 1736*0. 89340. 893517. 891717- 88780- 89540. 895614. 899614. 89090. 8970(K即門平方權菌數31-10731-9100O 88820- 8882*19 5332la 53100.卅斗70. 894815- 836515- 83040 89630. 896613- 187913- 17540.豹 790 89S2*表示相應的最小二

20、乘加權模塑2、流量和密度的非參數模型利用第二節(jié)速度）密度參數模型和公式Q=VK導出流量）密度模型擬合效果較差，擬合 最好的 Underwood 模型均方誤差也達1191.1。而如果直接進行二次多項式回歸，可得模型 Q= 6.92+16.87K-0.179K*K，均方誤差為981.3,相關度為0.95?，F在對流量）密度數據進行核 函數估計（取窗寬=0.95）可得均方誤差為540.76,相關度為0.9863;而進行k近鄰估計時，上 節(jié)所有模型的均方誤差都不同程度的小于二次多項式回歸模型，相關度大于它，最好的是5階 近鄰調和平均估計，均方誤差為760.7，相關度為0.98。權函數估計的結果差別不是很

21、大，都 較為滿意。最小二乘的權函數混合估計對結果沒有改進。工口&ajjd*暫sw2 y旳6Cac工口&ajjd*暫sw2 y旳6Cac匝5.hoaJUDaiQBCTJ 4D圖4立迎涪逍塑一密度枝估計模型表2卜近鄰械倚雖一密度模型的均方）異郴關采數匠鄰、近鄰數3階近鄰5階近鄰7階近鄰9階近鄰均方差相關系數均方差相關系數均方差相并系數均方差相關系數算術平均826. 9177824-806剛G0 9807796. 7354800- 2060. 98050 9804858- 2786875- 1450- 97860 9783929- 659& 97720- 9767幾何平均814- 37010. 98

22、06775. 28330.陽口g斗 1- 94740 9788900 1406& 9772闊和T：均808- 80S00.陽U76(K 72M0. i刑的H32- 54470 9789902- 5896a 9771線性M幅數863一748986$ 1195(X 98020 9803768- 0854767. 9490.則0 9819766. 1775770- 521心陽40. 9814792- 4759802- 0730.98050- 9803平方權函數828- 0715K27- 137ft 98080 9808768 - 3735769- 112*則G O.Kiri*792- 4871799

23、- 970.則】心8317276846. 8770 97930-* 表示相應的址小 一乘加杈混合模型3、流量和速度的非參數模型流量與速度的相關程度比其它兩變量的相關程度要差,所以非參數模型在流量與速度關系中*3.XE0OrQ曲4獸itl*3.XE0OrQ曲4獸itl500圖5交迎流流量一速度松怙計樓熨可以發(fā)揮最大效益。仍然取參數模型作為參照,擬合最好的二次多項式回歸模型的均方誤差 可達 9479.8,實測值與估計值的相關系數僅為017243。對流量與速度進行核估計,選取窗寬從 0.1 到3.0,則各核估計的均方誤差逐漸增加,在 3000到7000之間,實測值與估計值的相關系 數逐漸減少,在 0

24、.82 到 0.92 之間,以 Gauss 核函數為例,計算結果見圖 5。對流量-速度進行 k 近鄰估計,計算結果見表 3。我們發(fā)現與第二節(jié)速度-密度模型正好相反,線性權函數、平方權 函數比均勻權函數的效果好,誤差小,擬合程度高;同時幾何平均與調和平均都比算術平均效 果要差。而最小二乘權函數混合估計對結果沒有改進。表Jk-近鄰杈猗量一速度欖塑的肉方)TI相關岳數近鄰數近鄰權蟲、s階近鄰5階近鄰7階近鄰9階近鄰均方差相關系數均方差相并系數均方差相關系敬均方差相并系數算術平均4 1機X4185. 5*0. 8891O 88895113- 85135-9*0.舲0 86185203- 9M75. 1

25、450- 8616X60I5(KJ5511. 50. 8629(K昭U50800. S7046145- 40. 7 1儷h 70 84715(). 40. 8529囲和T：均7IHI.M0. 83209344- 80. 733嘶一 70- 784391隔0.7892線性杠憾數25642566*a 93410.93403691- 53698- 80. 90310.90294251. 7Q丄00 88720.隔Q4505. 74545. K0. 88000- 8787平方權函數334U73343-勺0. 91260 91254網-54410 h0.祁卻0.哺4788- 7422-2*0 8717a

26、 87084豹忙0. 86860- 8669* 表出相血的顯小-嫌加械混合模型4、交通變量非參數預測11 交通量預測以二環(huán)路月壇橋中路段2000年2 月29日-3月5 日的流量、密度數據為基礎,預測 3月 6 日和7日的流量情況。表4和圖6 說明,對于一定范圍內的窗寬和近鄰數,非參數方法比參數 模型的預測結果要好。21 交通變量時間序列預測國外對交通時間序列預測研究已經開始采 用 k 近鄰方法, 確定輸入變量應檢驗具體可用的歷史數據庫和現有變量是否一致。輸入變量 可以是一個向量形式，如根據某時刻t流量值F(t)和前一個時刻流量值F(t-l)作為輸入,在歷史 數據庫中查詢與對應向量(F(t),F(t-1)距離最近的k個對應向量,把與這k個向量對應的因變量 值表4瀕量一密度模塑預測的吃方關系數、秫丨丨期預測方3月6日3 J1 7 1 1旳方差相關系數塚方差相關系數.-J 史 TM3235-2& 90843244-5二抿多項式回FII2K6-2(X 96331331-90 9710llitirirllikV12K0. 2a 9HI1274- 10 971415階近鄰算術平血丨綱4& 96311 184-60 9723丨5階近鄰線性