數(shù)列極限的解法15種

1、 /61.定義法E-N定義：設(shè)a為數(shù)列，a為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)E，總存在正數(shù)N,使n得當(dāng)nN時(shí)，有a-a0.nfs證：當(dāng)a=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)a1時(shí)，記a=a:-1，貝|a0，由a=(1+a1+na=1+n(a1-1)得a:-10,貝當(dāng)na-1=N時(shí)，就有a：-1e,即ne1an-1e即liman=1,nfs當(dāng)1nfs1limbn0a1,由上易知limbn=nfs1limbnnfsnfs綜上，liman=1,a0nfs例2.求limnfsn!解：777771277777771n-1解：7777712770,3N=6!n7716!e,則當(dāng)nN時(shí)，有-07710,3正整數(shù)N，使得當(dāng)n,mNn

2、時(shí)，有a-a.nm例3.證明：數(shù)列x=Xsink(n=1,2,3，)為收斂數(shù)列.n2kk=1證sin(m+1)sin(m+1)sinn+2m+12n11+一0,取N=11I,當(dāng)nmN時(shí)，有x-x0,由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)加收斂.例4.(有界變差數(shù)列收斂定理)若數(shù)列滿足條件nxx+xx+xx0,3正整數(shù)nnnN，使得當(dāng)nmN時(shí)，有y-ysnm此即x-xx-x+x-x+x-x0,n=1,2,）極限存在，并nv求limx.nn-8證：由假設(shè)知x=M+x（1）nn-1用數(shù)學(xué)歸納法易證：xx,keN（2）n+1n此即證x單調(diào)遞增.n用數(shù)學(xué)歸納法可證xx，n+1n事實(shí)上，0 xa+xJa+n+1j（ja+1）

3、2=ja+1由（1）（2）證得x單調(diào)遞增有上界，從而limx=l存在，對(duì)（1）式兩-8n邊取極限得l=，解得l=匕正9和l=H+4。（舍去）2Nnn時(shí)，有acb,則數(shù)列c收斂，且limc=a.nnnnnn-8例6.求limn-8解：記xn1+2+n1+2+nn2+n+1xn2+n+nn0，總存在某一正數(shù)3,使得對(duì)a,b的任意分割T,以與在其上任意選取的點(diǎn)集七,ex,x只要T3,就有Xf8)xJ，iii-1iiii=1則稱函數(shù)f(x)在a,b上(黎曼)可積，數(shù)J為f(x)在a,b上的定積分，記作解：原式=1加nfs(2n)!=limn!nnnfsnn=limnfs(11(1+解：原式=1加nfs

4、(2n)!=limn!nnnfsnn=limnfs(11(1+1n=exp(51(i11limX-ln1+-exp(2ln2-1)例8.求lim例8.求limnfs(.兀sin一n+一2兀sinnrn+2.n兀)sin一,n_rn+-nJ解：因?yàn)樨?2兀.2兀,sin一+sin+兀2兀sin-sin-+n+n+1.1n+2.n冗sinTn+n兀.2兀.n冗sin一+sinHbsinn1n+n兀.2兀加1sin一+sinH兀.2兀加1sin一+sinHbsin又limnn-8=limn-8(.兀.2兀.n兀、sin+sin+sin=limn-8兀.-2兀nnsin一+sinbbsin_nnn=1

5、.尸sinxdx=-同理limn-8n+1兀.2兀河sin+sin+sin0nnn21n+n由迫斂性得limn-8/兀sm一bL+n+1.2兀sinnrn+2b+nnsin一L-1n+n7注：數(shù)列極限為“有無(wú)窮多項(xiàng)無(wú)窮小的和的數(shù)列極限，且每項(xiàng)的形式很規(guī)X”這一類型問題時(shí)，可以考慮能否將極限看作是一個(gè)特殊的函數(shù)定積分的定義.部分相關(guān)的數(shù)列極限直接利用積分定義可能比較困難，這時(shí)需要綜合運(yùn)用迫斂性準(zhǔn)則等方法進(jìn)行討論。.利用（海涅）歸結(jié)原則求數(shù)列極限TOC o 1-5 h z歸結(jié)原則：limf(x)=Ao對(duì)任何xx(n-8),有l(wèi)imf(x)=Annn0nxx0n-8例9.求lim耳-n-8_ne1n-eo=lim-n-8_0n例10.計(jì)算limf解：一方面，n-e(n-8)解：一方面，另一方面,工-2n-1由歸結(jié)原則（取x一,=2,3,）711lim1+ns712-2721H2J(1產(chǎn)1+TI2J(1Yr=lim1+xf00XJ由迫斂性得li