高等數(shù)學教學課件：9-3 三重積分-工

1、三重積分的概念三重積分的計算小結(triple integral)第三節(jié)三重積分第九章 重積分1是空間有界閉區(qū)域上的如當各小閉區(qū)域直徑中的最大值在每個 1. 三重積分的定義將閉區(qū)域任意分成n個小閉區(qū)域 其中并作和作乘積有界函數(shù).也表示它的體積.表示第i個小閉區(qū)域,上任取一點三重積分一、三重積分的概念2記為函數(shù)趨于零時這和的極限總存在,則稱此極限為在閉區(qū)域上的三重積分. 即體積元素三重積分33. 三重積分的幾何意義設被積函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定可積2. 三重積分存在性則區(qū)域V 的體積為在上是可積的.的三重積分存在性時,三重積分44. 三重積分的性質與二重積分的性質類似.補充三重積分對稱性質則稱f關于變量

2、z的奇 函數(shù).(1)關于坐標面的上半部區(qū)域.(偶)三重積分5或而得結果為零.例?0則三重積分6例？0？(2)關于兩個坐標面在第一,五卦限部分的區(qū)域.在一,五卦限部分的區(qū)域,則三重積分7 1988年研究生考題,選擇,3分C則( )成立.三重積分8關于三個坐標面都對稱,在第一卦限部分的區(qū)域.例？0？(3)在第一三重積分卦限的部分, 則9(4)關于原點對稱,三重積分關于原點對稱的一半區(qū)域.10二、三重積分的計算1. 在直角坐標系下計算三重積分故直角坐標系下的體積元素為在直角坐標系下三重積分可表為在直角坐標系中,如果用平行于坐標面的平面的來劃分三重積分11直角坐標系中將三重積分化為三次積分 投影法思想

3、是(先一后二法)如圖,閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域D,過點作直線,三重積分12X型再計算的函數(shù),得三重積分則13如何寫出當D為Y型閉域時,?注化為三次積分的公式三重積分相交不多兩點情形.三重積分14所以,三重積分可以化為六種不同次序的三次積分(累次積分).和積分域選取適當?shù)娜畏e分進行計算.解題時,要依據(jù)具體的被積函數(shù)同樣,也可以把積分域向yOz、zOx面投影.三重積分15 解由于V是長方體, 故例三次積分的上、下限都是常數(shù),三重積分計算三重積分其中V是長方體 16解化三重積分為三次積分,例所圍成的閉區(qū)域.三重積分其中積分區(qū)域為由曲面得交線投影區(qū)域17例 求解 的原函數(shù)不是初等函數(shù),應先x對積分一

4、定要交換積分次序.三重積分18 截面法(紅色部分)(先二后一法)截面法的一般步驟(1)投影,得投影區(qū)間(2)(3)計算二重積分(4)最后計算單積分三重積分19 即當被積函數(shù)僅與變量z有關,截面法的公式還有兩個.?用上公式簡便.注且截面Dz易知時,三重積分20截面法(先二后一法)解計算三重積分例原式=三重積分21投影法(先一后二法)計算三重積分三重積分?22已知橢球V: 內點(x,y,z)處質量的體密度為: 求橢球的質量.練習提示三重積分23解因為而其中三重積分24由對等性知因此所以三重積分25解兩曲面的交線為所以, 例極坐標三重積分26作業(yè)習題9-4 (133頁） 1.(2) (4) 5. 7

5、. 8. 27規(guī)定直角坐標與柱面坐標的關系為就叫點M的柱面坐標.三重積分2.利用柱面坐標計算三重積分cylindrical coordinates設M(x, y, z)為空間內一點,并設點M在xOy面上的投影P的極坐標為則這樣的三個數(shù)28柱面坐標系中, 以z軸為中心軸的圓柱面；過z軸的半平面.與xOy平面平行的平面;三坐標面分別為三重積分稱點M的柱面坐標29柱面坐標系中的體積元素為 在柱面坐標系中,如圖,得小柱體即直角坐標系下三重積分與(紅色部分).若以三坐標面分割空間區(qū)域柱(面)坐標系下三重積分的關系是三重積分30? 如何計算柱坐標系下三重積分回想直角坐標系下計算三重積分方法.將三重積分化為

6、三次積分(累次積分)三重積分31柱坐標系下三重積分的計算, 可得柱坐標系下三重積分化為三次積分與x, y, z等同的看為三個變量. 如,極坐標不等式表示只要把被積函數(shù)中的的計算公式. 類比公式先將在xOy面上的投影域用三重積分32從而故再確定的下, 上邊界面注通常是先積再積后積三重積分33如積分域為圓柱域(如圖).則三重積分34解例 所圍成.積分域用柱坐標表示為原式其中由半圓柱面三重積分35例已知立體內任一點的質量的體密度解因為平面柱面坐標求曲面所圍立體的質量M,與該點到z軸的距離的平方成正比.的交線是上的圓體密度函數(shù)為三重積分36的下邊界面是上邊界面是故 所以在xOy面上的投影域即是半徑為2

7、的圓域三重積分37解?如先對z積分其中是由錐面例與平面思考所圍成的錐臺體.柱面坐標三重積分38解對稱性質例所圍成的空間閉區(qū)域.三重積分同理39計算三重積分柱坐標40所以對稱性質三重積分計算關于兩個坐標面41 當被積函數(shù)是積分域由圓柱面 (或一部分)、錐面、拋物面用所圍成的.柱面坐標計算三重積分較方便.三重積分42選擇題 曲面 之內及曲面 之外所圍成的立體的體積D三重積分43錐面 被圓柱面所截,求錐面下方、 xOy面上方、圓柱內的區(qū)域V 的體積.解V=2V1, 提示練習V1為第一卦限部分的體積.三重積分柱坐標44記投影向量與x軸正方向的規(guī)定正方向間的夾角為夾角為球面坐標.稱為點M的三重積分2.利

8、用球面坐標計算三重積分設M(x, y, z)為空間內一點,向xOy平面投影,45球面坐標系中的三坐標面分別為原點為心的球面；過z軸的半平面球面坐標與直角坐標的關系為原點為頂點、z軸為軸的圓錐面；三重積分46球面坐標系中的體積元素為若以三坐標面分割空得小六面體(紅色部分).于是,在球面坐標系中，間區(qū)域三重積分47通常是注三重積分48如積分域為球域(如圖).則三重積分49解法一采用例所圍的立體.球面坐標三重積分50三重積分51法二采用柱面坐標三重積分52解采用例由錐面和球面圍成,所圍成的立體體積.球面坐標三重積分53解積分域關于xOy坐標面對稱，被積函數(shù)是z的奇函數(shù).例利用對稱性簡化計算其中積分區(qū)

9、域三重積分54球或積分區(qū)域三重積分55當積分區(qū)域是球形域或上半部是球面下半部是頂點在原點的錐面,被積函數(shù)具有的形式時,用球面坐標計算三重積分較簡便.或是球的一部分;三重積分561989年研究生考題(數(shù)學一)計算, 5分練習解被積函數(shù)是圍成的空間區(qū)域,x的奇函數(shù).三重積分球請再用柱面坐標做.57 2003年研究生考題(數(shù)學一) 12分練習三重積分 設函數(shù) 連續(xù)且恒大于零, 其中 (1) 討論 在區(qū)間 內的單調性. (2) 證明58三重積分 (1) 解 因為球極坐標 (1) 討論 在區(qū)間 內的單調性.59三重積分 設函數(shù) 連續(xù)且恒大于零 所以, 單調增加. (1) 討論 在區(qū)間 內的單調性.60 (2) 證 因 (2) 證明三重積分要證明只需證明即令61三重積分則故 單調增加.因為所以因此, (2) 證明 設函數(shù) 連續(xù)且恒大于零62柱面坐標系下計算三重積分柱面坐標體積元素 )三重積分三、小結三重積分的定義直角坐標系下計算三重積分(思想:計算時將三重積分化為三次積分)三重積分的計算(四步:分割、取近似、求和、取極限)(直角坐標體積元素 )(柱面坐標與直角坐標的關系63思考題1是非題非但被積函數(shù)三重積