高等數(shù)學課件：第2章 4 高階導數(shù)

1、4 高階導數(shù)首頁1.引言 2.二階及高階導數(shù)的定義 3.萊布尼茲公式 4.參變量函數(shù)的高階導數(shù) 的導數(shù),也就是路程 的導函數(shù),這就產(chǎn)生了高階導數(shù)的概念. 首頁1.引言設物體的運動方程為 則物體的運動速度為 就是運動物體在時刻 t0 的加速度.而速度在時刻 t0 的變化率因此，加速度是速度函數(shù)的作為 ,它是對y相繼進行n次求導運算“ ”的結果的導數(shù)為 f 在點x0的二階導數(shù)，記作 ，即2.二階及高階導數(shù)的定義首頁定義1 若函數(shù) f 的導函數(shù) f 在點x0可導,則稱f 在點x0若 f 在區(qū)間I上每一點都二階可導,則得到一個定義在I上同時稱 f 在點x0二階可導.的二階可導函數(shù)，記作，或者簡單記為

2、. 一般地，可由 f 的n-1階導函數(shù)定義f的n階導函數(shù)（或簡稱n階導數(shù)）. 二階以及二階以上的導數(shù)都稱為高階導數(shù)，函數(shù) f 在點x0處的n階導數(shù)記作相應地，n階導函數(shù)記作,這里 亦可寫例 求冪函數(shù) （n為正整數(shù)）的各階導數(shù).首頁解 由函數(shù)的求導公式得 注1 對于正整數(shù)冪xn，每求導一次，其冪次降低,第n階導數(shù)為一常數(shù)，大于n階的導數(shù)都等于例 求 和 的各階導數(shù)首頁解對于 由三角函數(shù)的求導公式得一般地，可推得類似地有例 求 的各階導數(shù)解因為 ,所以注2 指數(shù)函數(shù) 的的各階導數(shù)仍舊是 其中 ，這個公式稱為萊布尼茨公式.對于乘法求導法較復雜一些設 ，則3.萊布尼茲公式首頁一階導數(shù)的運算法則可直接推

3、廣到高階導數(shù)，容易看出不難看到，計算結果與二項式 展開式極為相似，用數(shù)學歸納法，可得（2）解 令 ，由例和例有 例4 設 ，求 .首頁應用萊布尼茨公式得問題 試總結函數(shù)的高階導數(shù)的常用求法？首頁解答（1） 利用基本高階導數(shù)公式表； （2） 應用萊布尼茲公式； （3） 應用數(shù)學歸納法求函數(shù)的n階導數(shù)； （4） 先簡化分式，然后利用高階導數(shù)求導公式； （5） 證明需求導數(shù)的函數(shù)滿足一個微分方程，然后利用遞推公式求高階導數(shù)； （6） 利用復數(shù)運算和歐拉公式，求函數(shù)的n階導數(shù).4.參變量函數(shù)的高階導數(shù) 首頁設 在 上都是二階可導，則由參量方程所確定的函數(shù)的一階導數(shù) 它的參量方程是 因此由3公式（2）得 （3）所確