高等數(shù)學(xué)課件：第2章 7 導(dǎo)數(shù)與微分整章二版

1、第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念一、問題的提出二、導(dǎo)數(shù)的定義三、由定義求導(dǎo)數(shù)四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系六、小結(jié) 思考題一、問題的提出1.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題如圖,取極限得2.切線問題割線的極限位置切線位置播放如圖, 如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線.極限位置即二、導(dǎo)數(shù)的定義定義其它形式即關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：注意:播放2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解例6解四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義1.幾何意義切線方程為法線方程為例7解由導(dǎo)數(shù)

2、的幾何意義, 得切線斜率為所求切線方程為法線方程為2.物理意義非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.變速直線運(yùn)動(dòng):路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度.交流電路:電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.非均勻的物體:質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù)為物體的線(面,體)密度.五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例0例如,注意: 該定理的逆定理不成立.01例如,例如,011/1/例8解六、小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限;3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定

3、義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.思考題思考題解答練習(xí)題答案第二節(jié) 函數(shù)的和、差、積、商的 求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則二、例題分析三、小結(jié) 思考題一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理證(3)證(1)、(2)略.推論二、例題分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解同理可得例6解三、小結(jié)注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí), 分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.思考題 求曲線 上與 軸平行的切線方程.思考題解答令切點(diǎn)為所求切線方程為和練 習(xí) 題練習(xí)題答案第三節(jié) 反函數(shù)的的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、反函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、小結(jié) 思考題一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).證于

4、是有例1解同理可得例2解特別地二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)證推廣例3解例4解例5解例6解例7解三、小結(jié)反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈導(dǎo)法）;已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.思考題思考題解答正確地選擇是（3）例在 處不可導(dǎo)，取在 處可導(dǎo)，在 處不可導(dǎo)，取在 處可導(dǎo)，在 處可導(dǎo)，練 習(xí) 題練習(xí)題答案第四節(jié) 初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題二、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、小

5、結(jié) 思考題一、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè))(),(xvvxuu=可導(dǎo)，則（1） vuvu = )(, （2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(, （4）)0()(2-=vvvuvuvu.( 是常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).例1解例2解二、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即同理例3解三、小結(jié)任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).思考題冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（ ）.思考題解答正確地選擇是（3）例

6、在 處不可導(dǎo)，在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，練 習(xí) 題練習(xí)題答案第五節(jié) 高 階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例三、小結(jié) 思考題一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題:變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.定義記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例1解1.直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例2解例3解注意: 求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明)例4解同理可得例5解2. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:萊布尼茲公式例6解3.間接法:常用高階導(dǎo)數(shù)公式 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則運(yùn)算,

7、變量代換等方法, 求出n階導(dǎo)數(shù).例7解例8解三、小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公式);n階導(dǎo)數(shù)的求法;1.直接法;2.間接法.思考題設(shè) 連續(xù)，且 ，求 .思考題解答可導(dǎo)不一定存在故用定義求練 習(xí) 題練習(xí)題答案第六節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、相關(guān)變化率五、小結(jié) 思考題一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).例1解解得例2解所求切線方程為顯然通過原點(diǎn).例3解二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)方法:先在

8、方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:例4解等式兩邊取對(duì)數(shù)得例5解等式兩邊取對(duì)數(shù)得一般地三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題: 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得例6解 所求切線方程為例7解例8解四、相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題:已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率?例9解仰角增加率例10解水面上升之速率4000m五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則: 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo): 實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;相關(guān)變化率: 通過函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴的變化率; 解法: 通

9、過建立兩者之間的關(guān)系, 用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求解.思考題思考題解答不對(duì)練 習(xí) 題練習(xí)題答案第七節(jié) 函數(shù)的微分一、問題的提出二、微分的定義三、可微的條件四、微分的幾何意義五、微分的求法六、微分形式的不變性七、小結(jié) 思考題一、問題的提出實(shí)例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.再例如,既容易計(jì)算又是較好的近似值問題:這個(gè)線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有?它是什么?如何求?二、微分的定義定義(微分的實(shí)質(zhì))由定義知:三、可微的條件定理證(1) 必要性(2) 充分性例1解四、微分的幾何意義MNT）幾何意義:(如圖) P 五、微分的求法求法: 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)

10、的微分公式2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則例2解例3解六、微分形式的不變性結(jié)論：微分形式的不變性例4解例3解例5解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.七、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:思考題思考題解答說法不對(duì). 從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念. 練 習(xí) 題練習(xí)題答案第八節(jié) 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用一、計(jì)算函數(shù)增量的近似值二、計(jì)算函數(shù)的近似值三、誤差估計(jì)四、小結(jié) 思考題一、計(jì)算函數(shù)增量的近似值例1解二、計(jì)算函數(shù)的近似值例1解常用近似公式證明例2解三、誤差估計(jì)由于測(cè)量?jī)x器的精度、測(cè)量的條件和測(cè)量的方法等各種因素的影響，測(cè)得的數(shù)據(jù)往往