比較二次根式大小的巧妙方法

1、比 ( 總 頁 )-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company -CAL-本僅作為文檔封面，使用請直接刪除比較二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識，也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)內(nèi)容；而比較二次根式的大 小又是二次根式知識中的難點(diǎn)，也是中考和數(shù)學(xué)競賽中常見的題型，經(jīng)常會考到不查表、不求二 次根式的值，來比較幾個不含分母的二次根式的大小的問題。盡管教材上介紹了比較二次根式大 小的幾種基本方法，如求近似值法、比較被開方數(shù)法等，盡管很多教輔材料中也總結(jié)了不少諸如 “作差”、“做商”、“有理化”、“取倒數(shù)”、“平方”等方法，但許多學(xué)生在考試中仍顯得 力不從心，并不清楚到底什么時

2、候用哪種方法最合適？解答這類題目時缺少方法與對策，以至于 無從下手。下面就舉例介紹幾種比較二次根式大小的有效方法。一、移因式法此法好學(xué)，適用。就是將根號外的正因式移入根號內(nèi)，從而轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小。例 1：比較解：的大小。二、運(yùn)平方法兩邊同時平方,轉(zhuǎn)化為比較冪的大小。此法的依據(jù)是：兩個正數(shù)的平方是正數(shù)，平方大的數(shù)就 大；兩個負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，平方大的數(shù)反而小。例 ：比較解：與，的大小。0， 0 3三、分有理化法4此法是先將各自的分母有理化，再進(jìn)行比較。例 ：比較與的大小。解： 四、分有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。例 ：比較與的大小解： 五、求或求商法4求差法的基本思路

3、是：設(shè)為任意兩個實數(shù)，先求出 與 的差，再根據(jù)“50 時， ；當(dāng)求商法的基本思路是：設(shè)時， ；當(dāng) 0 時， ”比較 與 的大小。為任意兩個實數(shù)，先求出 與 的商，再根據(jù)“同號：當(dāng) 1 時， ； 1 時， ； 1 時， 。 與 的大小。異號：正數(shù)大于負(fù)數(shù)” 來比較例 ：比較的大小。解：例 6比較的大小。解：1六、求數(shù)法先求兩數(shù)的倒數(shù)，而后再進(jìn)行比較。5例 ：比較的大小。6解：七、運(yùn)媒介法此法是借助中間量（定量或變量）巧妙轉(zhuǎn)換達(dá)到直觀比較的方法，類似于解方程中的換元 法。例 8已知解：設(shè)則， ，試比較， ， ，即 的大小。八、設(shè)定值法如果要比較的二次根式中含有字母，為了快速比較，解答時可在許可的條

4、件下設(shè)定特殊值來 進(jìn)行比較。例 ：比較與的大小。解：設(shè)，則：61， 1， 7九、局縮放法如果要比較的二次根式一眼看不出有什么特點(diǎn)，又不準(zhǔn)求近似值，可采取局部縮放法，以確 定它們的取值范圍，從而達(dá)到比較大小的目的。例 10：比較解：設(shè) ，的大小。 ，7 8，即 7 8，8 9，即 9 ，即 例 11：比較與的大小。解： 十、“論”推理法通過二次根式的不斷學(xué)習(xí)，不難得出這樣的結(jié)論：“ 0）”利用此結(jié)論也可以比較一些二次根式的大小（結(jié)論證明見文末）。（ 7例 12：比較 1 與解：的大小。，8由 （ 0）可知：即又 ，即 總的來說，比較二次根式大小的方法不僅僅局限于以上十種，除此之外諸如移項、拆項法

5、，類比推理法，數(shù)形結(jié)合法，數(shù)軸法，還有假設(shè)推理法等等，但不管使用哪種方法，都必須在掌握二次根式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則上進(jìn)行，要根據(jù)問題的特征，二次根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，多角度地探索思考，做到具體問題具體分析，針對不同問題采取不同的策略，另外還應(yīng)多做這方面的訓(xùn)練， 方能達(dá)到熟練而又快捷，運(yùn)用自如的程度。附：“ （ 0）”證明。證明：， ， （ 0）【典題練】：1、比較2、比較與與的大小；的大小；83、比較與的大??；94、比較與的大??；5、比較與的大??；6、比較7、設(shè)與的大小（其中 為正整數(shù)）；， ，試比較它們的大小；8、比較與的大?。?、比較與的大小；10、 比較與的大??；11、比較12、比較與的大?。?/p>

6、的大小；13、比較與的大?。?4、 比較與的大?。?5、若 為正整數(shù)，試比較的大小；16、比較的大??；17、比較【典題練參考答案：與的大小。91、提示： ， ， 2、提示：平方后再進(jìn)行比較。，3、提示：可利用 （ 0）。 ，即 4、提示：分母有理化后再進(jìn)行比較。， ， ，5、提示：分子有理化后再進(jìn)行比較。 ， ，10即 116、提示：，其中 為正整數(shù)， 故7、提示：設(shè)，則：， ， 8、平方后再進(jìn)行比較。， ， ，又 ， 9、提示：2 3，7 8，10、提示：分子有理化后再進(jìn)行比較。5 ， 因為 ，所以 ，故 11、提示：分別求其倒數(shù)后，再進(jìn)行比較。，而 ， 12、提示： ，而 8，11的整數(shù)部分為 7 。同樣可得12的整數(shù)部分為 8，13、提示：14、提示：平方后再比較大小。， ，15、提示：由偶次根式的定義得， 2009