2022-2023學(xué)年高三年級新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題-立體幾何與空間向量（含答案）

1、立體幾何與空間向量學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_一、單選題（本大題共6小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A. 2B. 2C. 4D. 4南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題, 其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時,相應(yīng)水面的面積為140.0;水位為海拔157.5m時,相應(yīng)水面的面積為180.0.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時, 增加的水量約為(2.65)( )A. 1.0B. 1.2C. 1.4D. 1.6

2、已知正三棱臺的高為1,上下底面的邊長分別為3和4,其頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為（）A. 100B. 128C. 144D. 192正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為( )A. B. C. D. 日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間把地球看成一個球（球心記為O），地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面在點(diǎn)A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為( )A. 20B. 40C. 50D. 90已知正四棱錐的

3、側(cè)棱長為l,其各頂點(diǎn)都在同一個球面上,若該球的體積為36,且3l3,則該正四棱錐體積的取值范圍是( )A. 18,B. ,C. ,D. 18,27二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）已知正方體ABCD-,則( )A. 直線與所成的角為B. 直線與所成的角為C. 直線與平面D所成的角為D. 直線與平面ABCD所成的角為如圖,四邊形ABCD為正方形,ED平面ABCD,FBED,AB=ED=2FB,記三棱錐E-ACD,F-ABC,F-ACE的體積分別為,則（）A. =B. =C. =+D. =如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)，

4、則滿足的是( )A. B. C. D. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，點(diǎn)P滿足=+，其中0，1，0，1，則（）A. 當(dāng)=1時，AB1P的周長為定值B. 當(dāng)=1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值C. 當(dāng)=時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得A1PBPD. 當(dāng)=時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得A1B平面AB1P三、填空題（本大題共2小題，共10.0分）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)，則三棱錐ANMD1的體積為已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,BAD=60,以D1為球心,為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為.四、解答題（本大題

5、共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）(本小題12.0分)如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為2.(1)求A到平面的距離;(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，平面平面，求二面角A-BD-C的正弦值.(本小題12.0分)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn).（1）證明：OACD；（2）若OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45，求三棱錐A-BCD的體積.(本小題12.0分)在四棱錐中，底面是正方形，若（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值(本小題12.0分)如圖，四棱錐PABCD的底

6、面為正方形，PD底面ABCD設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l（1）證明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q為l上的點(diǎn)，QB，求PB與平面QCD所成角的正弦值(本小題12.0分)如圖,PO是三棱錐P-ABC的高,PA=PB,ABAC,E是PB的中點(diǎn).(1)證明：OE平面PAC;(2)若ABO=CBO=,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B正弦值.(本小題12.0分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.1.【答案】B2.【答

7、案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】ABD8.【答案】CD9.【答案】BC10.【答案】BD11.【答案】12.【答案】13.【答案】解：(1)設(shè)A到平面的距離為d，因?yàn)橹比庵捏w積為4，即可得，故，又，解得d=，所以A到平面BC的距離為；(2)連接，因?yàn)橹比庵校仕倪呅螢檎叫?，即，又平面平面，平面平面，平?故平面，因?yàn)锽C平面，所以,又因?yàn)?，平面，且，故平面，因?yàn)锳B平面，則,所以三條直線兩兩垂直，故如圖可以以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)，則，由條件可得，解得，則B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，(0,2,2)，的中點(diǎn)D(

8、1,1,1)，所以=(0,2,0)，=(1,1,1)，=(2,0,0)設(shè)平面ABD的一個法向量為=(x,y,z)，,取=(1,0,-1)，同理可求得平面BCD的一個法向量為=(0,1,-1)所以|=，所以二面角A-BD-C的正弦值為.14.【答案】解：（1）證明：因?yàn)锳B=AD，O為BD的中點(diǎn)，所以AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AO平面BCD，所以AO平面BCD，又CD平面BCD，所以AOCD；（2）取OD的中點(diǎn)F，因?yàn)镺CD為正三角形，所以CFOD，過O作OMCF與BC交于點(diǎn)M，則OMOD，所以O(shè)M，OD，OA兩兩垂直，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)M，OD，OA

9、為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則B（0，-1，0），D（0，1，0），設(shè)A（0，0，t），則，因?yàn)镺A平面BCD，故平面BCD的一個法向量為，設(shè)平面BCE的法向量為，又，所以由，得，令x=，則y=-1，故，因?yàn)槎娼荅-BC-D的大小為45，所以，解得t=1，所以O(shè)A=1，又，所以，故=15.【答案】解：（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)椋瑒t，而，故AO=DO=1，.在正方形中，故，因?yàn)椋?，故為直角三角形且，因?yàn)椋琌C、AD平面ABCD,故平面，因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫?（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，因?yàn)椋?）中的平面，OT平面，QOOT，故可以O(shè)T為x軸，以O(shè)D為y軸，以O(shè)Q

10、為z軸,建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的一個法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.又二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.16.【答案】解：（1）證明：過P在平面PAD內(nèi)作直線l / AD，由AD / BC，可得l / BC，即l為平面PAD和平面PBC的交線，PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC，又BCCD，CDPDD，CD，PD平面PCDBC平面PCD，l / BC，l平面PCD；（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，PDAD1，Q為l上的點(diǎn)，QB，PB，QP1，則D（0，0，0），A（1，0，0）

11、，C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），設(shè)Q（1，0，1），則（1，0，1），（1，1，1），（0，1，0），設(shè)平面QCD的法向量為（a，b，c），則，取c1，可得（1，0，1），cos，-，PB與平面QCD所成角的正弦值為17.【答案】解：(1)法一:連接OA、OB,因?yàn)镻O是三棱錐P-ABC的高,所以PO平面ABC,所以POOA,POOB,所以POA=POB=,又PA=PB,PO=PO,所以POAPOB,所以O(shè)A=OB,作AB中點(diǎn)D,連接OD、DE,則有ODAB,又ABAC,所以O(shè)DAC,又因?yàn)镺D平面PAC,AC平面PAC,所以O(shè)D平面PAC,又D、 E分別為AB、PB的

12、中點(diǎn), 所以, 在BPA中, DEPA又因?yàn)镈E平面PAC,PA平面PAC,所以DE平面PAC,又OD、DE平面ODE,ODDE=D,所以平面ODE平面PAC,又OE平面ODE,所以O(shè)E平面PAC;法二:(1)連接OA、OB,因?yàn)镻O是三棱錐P-ABC的高,所以PO平面ABC,所以POOA,POOB,所以POA=POB=,又PA=PB,PO=PO,所以POAPOB,所以O(shè)A=OB,又ABAC,在RtABF,O為BF中點(diǎn),延長BO,交AC于F, 連接PF,所以在PBF中,O、E分別為BF、PB的中點(diǎn),所以EOPF,因?yàn)镋O平面PAC,PF平面PAC,所以EO平面PAC;(2)法一:過點(diǎn)D作DFO

13、P,以DB為x軸,DO為y軸,DF為z軸.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)镻O=3,PA=5,由(1)OA=OB=4,又ABO=CBO=,所以O(shè)D=2,DB=2,所以P(0,2,3),B(2,0,0),E(,1,),設(shè)AC=a,則C(-2,a,0),平面AEB的法向量設(shè)為=(,),直線AB的方向向量可設(shè)為=(1,0,0),直線DP平面AEB,直線DP的方向向量為=(0,2,3),所以,所以=0,設(shè)=3,則=-2,所以=(0,3,-2);平面AEC的法向量設(shè)為=(,),=(0,a,0),=(3,1,),所以,所以=0,設(shè)=,則=-6,所以=(,0,-6);所以=,二面角C-AE-B的平面角為,

14、則=,所以二面角C-AE-B的正弦值為法二:(2)過點(diǎn)A作AFOP,以AB為x軸,AC為y軸,AF為z軸建立所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)镻O=3,PA=5,由(1)OA=OB=4,又ABO=CBO=30,所以,AB=4,所以P(2,2,3),B(4,0,0),A(0,0,0),E(3,1,),設(shè)AC=a,則C(0,a,0),平面AEB的法向量設(shè)為=(,),=(4,0,0),=(3,1,),所以,所以=0 設(shè)=-2,則=3,所以=(0,3,-2);平面AEC的法向量設(shè)為=(x,y,z),=(0,a,0),=(3,1,),所以,所以=0,設(shè)=,則=-6,所以=(,0,-6);所以=二面角C-AE-B的平面角為,則=,所以二面角C-AE-B的正弦值為.18.【答案】解：底面ABCD，且平面ABCD，為正方形，又，且PD、