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文檔簡介
1、2021-2022高二下數(shù)學模擬試卷注意事項:1答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1盒中裝有10個乒乓球,其中6個新球,4個舊球,不放回地依次取出2個球使用,在第一次取出新球的條件下,第二次也取到新球的概率為()ABCD2在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限,對應(yīng)向
2、量的模為3,且實部為,則復(fù)數(shù)等于( )ABCD3下列命題是真命題的為( )A若,則B若,則C若,則D若,則4用,這個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)共有( )A個B個C個D個5若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則=( )A1B2CD6已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則( )ABCD7下列選項錯誤的是( )A“”是“”的充分不必要條件.B命題 “若,則”的逆否命題是“若,則”C若命題“”,則“”.D若“”為真命題,則均為真命題.8下列命題是真命題的是( )A,B設(shè)是公比為的等比數(shù)列,則“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件C“”是“”的充分不必要條件D的充要條件是9已知拋物線,過其焦點的直線交拋物
3、線于兩點,若,則的面積(為坐標原點)為( )ABCD10已知函數(shù)在上的值域為,函數(shù)在上的值域為.若是的必要不充分條件,則的取值范圍是( )ABCD11已知為兩個不同平面,為直線且,則“”是“”的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件12甲、乙等人在南沙聚會后在天后宮沙灘排成一排拍照留念,甲和乙必須相鄰的排法有( )A種B種C種D種二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13若,則_14在直角坐標系中,已知,若直線上存在點,使得,則實數(shù)的取值范圍是_15將集合的元素分成互不相交的三個子集:,其中,,且,則滿足條件的集合有_個16由曲線與直線及所圍成的封閉圖
4、形的面積為_三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)已知矩陣,向量.(1)求的特征值、和特征向量、;(2)求的值.18(12分)已知數(shù)列滿足().(1)計算,并寫出與的關(guān)系;(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式.19(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)當時,對于任意正實數(shù),不等式恒成立,試判斷實數(shù)的大小關(guān)系.20(12分)在平面直角坐標系中,橢圓,右焦點為(1)若其長半軸長為,焦距為,求其標準方程(2)證明該橢圓上一動點到點的距離的最大值是21(12分)已知橢圓C:的一個焦點與上下頂點構(gòu)成直角三角形,以橢圓C的長軸長為直徑的圓與直線相
5、切1求橢圓C的標準方程;2設(shè)過橢圓右焦點且不重合于x軸的動直線與橢圓C相交于A、B兩點,探究在x軸上是否存在定點E,使得為定值?若存在,試求出定值和點E的坐標;若不存在,請說明理由22(10分)已知函數(shù)(為常數(shù))與函數(shù)在處的切線互相平行(1)求函數(shù)在上的最大值和最小值;(2)求證:函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析:在第一次取出新球的條件下,盒子中還有9個球,這9個球中有5個新球和4個舊球,故第二次也取到新球的概率為考點:古典概型概率2、C【解析】設(shè)復(fù)數(shù),根據(jù)向量的模為
6、3列方程求解即可.【詳解】根據(jù)題意,復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限,對應(yīng)向量的模為3,且實部為.設(shè)復(fù)數(shù),復(fù)數(shù).故.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及模的運算,是基礎(chǔ)題.3、A【解析】試題分析:B若,則,所以錯誤;C若,式子不成立所以錯誤;D若,此時式子不成立所以錯誤,故選擇A考點:命題真假4、B【解析】利用分類計數(shù)原理,個位數(shù)字為時有;個位數(shù)字為或時均為,求和即可.【詳解】由已知得:個位數(shù)字為的偶數(shù)有,個位數(shù)字為的偶數(shù)為,個位數(shù)字為的偶數(shù)有,所以符合條件的偶數(shù)共有.故選:B【點睛】本題考查了分類計數(shù)運算、排列、組合,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】試題分析:因為,所以因此考點:復(fù)數(shù)的模6、
7、C【解析】根據(jù)圖像最低點求得,根據(jù)函數(shù)圖像上兩個特殊點求得的值,由此求得函數(shù)解析式,進而求得的值.【詳解】根據(jù)圖像可知,函數(shù)圖像最低點為,故,所以,將點代入解析式得,解得,故,所以,故選C.【點睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式,并求三角函數(shù)值,屬于中檔題.7、D【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義,逆否命題的定義、含有量詞的命題的否定以及復(fù)合命題的真假關(guān)系依次對選項進行判斷即可得到答案?!驹斀狻繉τ贏,由可得或,即“”是“”的充分不必要條件,故A正確;對于B,根據(jù)逆否命題的定義可知命題 “若,則”的逆否命題是“若,則”,故B正確;對于C,由全稱命題的否定是存在命題,可知若命題
8、“”,則“”,故C正確;對于D,根據(jù)復(fù)合命題的真值表可知若“”為真命題,則至少一個為真命題,故D錯誤。故答案選D【點睛】本題考查命題真假的判定,涉及到逆否命題的定義、充分條件與必要條件的判斷、含有量詞的命題的否定以及復(fù)合命題的真假關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題。8、B【解析】取特殊值來判斷A選項中命題的正誤,取特殊數(shù)列來判斷B選項中命題的正誤,求出不等式,利用集合包含關(guān)系來判斷C選項命題的正誤,取特殊向量來說明D選項中命題的正誤【詳解】對于A選項,當時,所以,A選項中的命題錯誤;對于B選項,若,則等比數(shù)列的公比為,但數(shù)列是遞減數(shù)列,若,等比數(shù)列是遞增數(shù)列,公比為,所以,“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要
9、條件,B選項中的命題正確;對于C選項,解不等式,得或,由于,所以,“”是“”的既不充分也不必要條件,C選項中的命題錯誤;對于D選項,當時,但與不一定垂直,所以,D選項中的命題錯誤故選B.9、B【解析】首先過作,過作(為準線),易得,.根據(jù)直線:與拋物線聯(lián)立得到,根據(jù)焦點弦性質(zhì)得到,結(jié)合已知即可得到,再計算即可.【詳解】如圖所示:過作,過作(為準線),.因為,設(shè),則,.所以.在中,所以.則.,直線為.,.所以,.在中,.所以.故選:B【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì),同時考查焦點弦的性質(zhì),屬于中檔題.10、B【解析】先計算出兩個函數(shù)的值域,根據(jù)是的必要不充分條件可得是的真子集,從而得到的取值
10、范圍.【詳解】因為在上單調(diào)遞增,所以,又函數(shù)在上單調(diào)遞增,于是.因為是的必要不充分條件,所以是的真子集,故有(等號不同時取),得,故選B.【點睛】(1)若是的必要不充分條件,則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集;(2)是的充分不必要條件, 則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集;(3)是的充分必要條件,則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等;(4)是的既不充分又不必要條件, 對的集合與對應(yīng)集合互不包含11、B【解析】當時,若,則推不出;反之可得,根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法,判斷即可得到答案【詳解】當時,若且,則推不出,故充分性不成立;當時,可過直線作平面與平面交于,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得,又,所以,又,所以,故必要
11、性成立,所以“”是“”的必要不充分條件故選:B【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定,關(guān)鍵是掌握充分條件和必要條件的定義,判斷是的什么條件,需要從兩方面分析:一是由條件能否推得條件;二是由條件能否推得條件12、B【解析】由題意利用捆綁法求解,甲、乙兩人必須相鄰的方法數(shù)為種選二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】利用誘導(dǎo)公式與二倍角的余弦公式可得,計算求得結(jié)果.【詳解】,則,故答案為.【點睛】三角函數(shù)求值有三類,(1)“給角求值”;(2)“給值求值”:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系;(3)“給值求
12、角”:實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍,確定角14、【解析】設(shè)點的坐標為,根據(jù)條件求出動點的軌跡方程,可得知動點的軌跡為圓,然后將問題轉(zhuǎn)化為直線與動點的軌跡圓有公共點,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離不大于半徑,從而列出關(guān)于實數(shù)的不等式,即可求出實數(shù)的值.【詳解】設(shè)點的坐標為,即,化簡得,則動點的軌跡是以為圓心,半徑為的圓,由題意可知,直線與圓有公共點,則,解得或.因此,實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查動點的軌跡方程,同時也考查了利用直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù),解題的關(guān)鍵就是利用距離公式求出動點的軌跡方程,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于中等題.15、3【解析】分析:
13、由可得,令,則,然后列舉出的值,從而可得結(jié)果.詳解:,所以,令,根據(jù)合理安排性,集合的最大一個元素,必定為:,則,又,當時,同理可得.當時,同理可得或,綜上,一共有種,故答案為.點睛:本題考查主要考查集合與元素的關(guān)系,意在考查抽象思維能力,轉(zhuǎn)化與劃歸思想,分類討論思想應(yīng)用,屬于難題.解得本題的關(guān)鍵是首項確定,從而得到,由此打開突破點.16、【解析】轉(zhuǎn)化為定積分求解.【詳解】如圖:,曲線與直線及所圍成的封閉圖形的為曲邊形 ,因為 , 曲線與直線及的交點分別為,且,所以,.由曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為.【點睛】本題考查定積分的意義及計算.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程
14、或演算步驟。17、 (1) 當時,解得,當時,解得;(2)見解析.【解析】分析:(1)先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量;(2)根據(jù)矩陣A的特征多項式求出矩陣A的所有特征值為3和-1,然后根據(jù)特征向量線性表示出向量,利用矩陣的乘法法則求出,從而即可求出答案.詳解(1)矩陣的特征多項式為,令,解得, 當時,解得;當時,解得. (2)令,得,求得. 所以 點睛:考查學生會利用二階矩陣的乘法法則進行運算,會求矩陣的特征值和特征向量.18、(1),;(2)證明見解析,【解析】(1)代入,和,計算得到,通過,得到與的關(guān)系;(2)根據(jù)(1)中所
15、得與的關(guān)系,得到,并求出的值,從而得到是等比數(shù)列,寫出其通項,再得到的通項.【詳解】(1)由已知可得,時,即,時,即,時,即.由(),得,兩式相減,得,即.(2)證明:由(1)得,且,數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,首項為,所以,.【點睛】本題考查根據(jù)和的關(guān)系求遞推關(guān)系,通過遞推關(guān)系構(gòu)造法求數(shù)列通項,證明數(shù)列為等比數(shù)列,屬于簡單題.19、 (1)當時增;減;當時減;增;(2)【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論,即可求解函數(shù)的單調(diào)性;(2)設(shè),求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的極值,轉(zhuǎn)化為,即可求解.【詳解】(1)由題意,函數(shù),則,令,解得,當時,在上,函數(shù)單調(diào)遞增;在上,函數(shù)單調(diào)遞減.當時,在上,
16、函數(shù)單調(diào)遞減;在上,函數(shù)單調(diào)遞增.綜上可得:當時,函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;當時,函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)當時,設(shè)則,令,即,解得,當時,即單調(diào)遞增,當時,即單調(diào)遞減,所以,要使得不等式恒成立,只需,即,所以,故實數(shù)的大小關(guān)系為.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,以及恒成立問題的求解,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力,對于恒成立問題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題20、(1);(2)見解析.【解析】(1)由題設(shè)條件可得出、的值,
17、進而可求出的值,由此得出橢圓的標準方程;(2)設(shè)點,將該點代入橢圓的方程得出,并代入的表達式,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【詳解】(1)由題意,則,橢圓的標準方程為;(2)設(shè),當時,【點睛】本題考查橢圓方程的求解及橢圓方程的應(yīng)用,在處理與橢圓上一點有關(guān)的最值問題時,充分利用點在橢圓上這一條件,將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解,考查函數(shù)思想的應(yīng)用,屬于中等題.21、(1);(2)定點為.【解析】分析:(1)根據(jù)一個焦點與短軸兩端點的連線相互垂直,以橢圓的長軸為直徑的圓與直線相切,結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、 、的方程組,求出 、 、,即可得結(jié)果;(2) 設(shè)直線聯(lián)立,得. 假設(shè)軸上存在定點
18、,由韋達定理,利用平面向量數(shù)量積公式可得,要使為定值,則的值與無關(guān),所以,從而可得結(jié)果.詳解:(1)由題意知,解得則橢圓的方程是(2)當直線的斜率存在時,設(shè)直線聯(lián)立,得所以假設(shè)軸上存在定點,使得為定值。所以要使為定值,則的值與無關(guān),所以解得,此時為定值,定點為當直線的斜率不存在時,也成立所以,綜上所述,在軸上存在定點,使得為定值點睛:本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及點在曲線上問題,屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種: 從特殊入手,先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值,再證明這個值與變量無關(guān); 直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.22、(1)最小值為,最大值為;(2)見解析【解析】分析:(1)求得,由
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