北京四中2022年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD2已知，則的最小值為（ ）ABCD3已知一組樣本點，其中.根據(jù)最小二乘法求

2、得的回歸方程是，則下列說法正確的是（ ）A若所有樣本點都在上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為1B至少有一個樣本點落在回歸直線上C對所有的預(yù)報變量，的值一定與有誤差D若斜率，則變量與正相關(guān)4設(shè)，若，則的值為（ ）ABCD5在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆漂流的汽油桶?，F(xiàn)有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊相互獨立，且命中概率都是 。則打光子彈的概率是（ ）ABCD6已知，則下列不等式一定成立的是（ ）ABCD7設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（ ）A2B-2CD8下列命題中正確的個數(shù)是（ ）命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為“若x1，則“a0”是“a2若p

3、q為假命題，則p，q為假命題;若命題p:x0R,x0A1B3C2D49已知向量，則與的夾角為（ ）A0BCD10將點的直角坐標(2，2)化成極坐標得( )A(4，)B(4，)C(4，)D(4，)11的展開式的中間項為（ ）A24B-8CD12已知函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)，則_.14如果，且為第四象限角，那么的值是_.15由曲線，坐標軸及直線圍成的圖形的面積等于_。16已知正項數(shù)列an滿足，若a12，則數(shù)列an的前n項和為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在中，分別

4、為內(nèi)角的對邊，已知 () 求；（）若，求的面積18（12分）函數(shù)，實數(shù)為常數(shù).（I）求的最大值；（II）討論方程的實數(shù)根的個數(shù).19（12分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：，恒成立.20（12分）已知函數(shù)f(x)=2ln（1）當(dāng)a=2時，求f(x)的圖像在x=1處的切線方程；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在1e,e21（12分）已知函數(shù)，（其中，且），（1）若，求實數(shù)的值；（2）能否從（1）的結(jié)論中獲得啟示，猜想出一個一般性的結(jié)論并證明你的猜想22（10分）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.參

5、考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】對進行化簡，得到標準形式，在根據(jù)復(fù)數(shù)模長的公式，得到【詳解】對復(fù)數(shù)進行化簡所以【點睛】考查復(fù)數(shù)的基本運算和求復(fù)數(shù)的模長，屬于簡單題.2、D【解析】首先可換元，通過再利用基本不等式即可得到答案.【詳解】由題意，可令，則，于是，而，故的最小值為，故答案為D.【點睛】本題主要考查基本不等式的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度中等.3、D【解析】分析：樣本點均在直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)，A錯誤；樣本點可能都不在直線上，B錯誤；樣本點可能在直線上，即預(yù)報變量對應(yīng)的估計

6、值可能與可以相等，C錯誤；相關(guān)系數(shù)與符號相同D正確.詳解：選項A：所有樣本點都在，則變量間的相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)可以為 ， 故A錯誤.選項B：回歸直線必過樣本中心點，但樣本點可能都不在回歸直線上，故B錯誤.選項C：樣本點可能在直線上，即可以存在預(yù)報變量對應(yīng)的估計值與沒有誤差，故C錯誤.選項D：相關(guān)系數(shù)與符號相同，若斜率，則，樣本點分布從左至右上升，變量與正相關(guān)，故D正確.點睛：本題考查線性回歸分析的相關(guān)系數(shù)、樣本點、回歸直線、樣本中心點等基本數(shù)據(jù)，基本概念的準確把握是解題關(guān)鍵.4、D【解析】分別取代入式子，相加計算得到答案.【詳解】取得：取得：兩式相加得到 故答案選D【點睛】本題考查了二項式定理

7、，取特殊值是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】打光所有子彈，分中0次、中一次、中2次?！驹斀狻?次中0次：5次中一次： 5次中兩次： 前4次中一次，最后一次必中 則打光子彈的概率是+=,選B【點睛】本題需理解打光所有子彈的含義：可能引爆，也可能未引爆。6、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，原不等式等價于兩次求導(dǎo)可證明在上遞減，從而可得結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)，設(shè)，在單調(diào)遞減，且，,所以在遞減，故選C.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）求出；（2）令 求出的范圍，可得增區(qū)間；（3）令求出的范圍， 可得減區(qū)間.7、D【解析】整理得：，由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)列方程即可得解

8、【詳解】因為又它是純虛數(shù)，所以，解得：故選D【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，還考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題8、B【解析】根據(jù)逆否命題的概念、必要不充分條件的知識、含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的知識、特稱命題的否定是全稱命題的知識，對四個命題逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】對于，根據(jù)逆否命題的概念可知，正確.對于，當(dāng)“a0”時，a2+a=0可能成立，當(dāng)“a2+a0”時，“a0”，故“a0”是“a2+a0”的必要不充分條件，即正確.對于，若pq為假命題，則【點睛】本小題主要考查逆否命題、必要不充分條件、含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性、全稱命題與特稱命題等知識的運用，屬于基

9、礎(chǔ)題.9、C【解析】由題設(shè)，故，應(yīng)選答案C10、A【解析】由條件求得、的值，可得的值，從而可得極坐標.【詳解】點的直角坐標，可取直角坐標化成極坐標為故選A.【點睛】本題主要考查把點的直角坐標化為極坐標的方法，屬于基礎(chǔ)題注意運用、(由所在象限確定).11、C【解析】由二項式展開式通項公式，再由展開式的中間項為展開式的第3項，代入求解即可.【詳解】解：的展開式的中間項為展開式的第3項，即，故選：C.【點睛】本題考查了二項式展開式的通項公式，重點考查了展開式的中間項，屬基礎(chǔ)題.12、B【解析】根據(jù)奇函數(shù)的定義或性質(zhì)求出，然后可求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率，從而得切線方程【詳解】是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，切線方程

10、為，即故選B【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的奇偶性，本題難度一般二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】先求內(nèi)層函數(shù)的值，解得函數(shù)值為2，再將2代入求值即可【詳解】當(dāng)時，滿足對應(yīng)的表達式，先求內(nèi)層函數(shù)，當(dāng)時，滿足對應(yīng)的表達式，再求，所以【點睛】分段函數(shù)求值問題需注意先求解內(nèi)層函數(shù)，再依次求解外層函數(shù)，每一個括號內(nèi)對應(yīng)的值都必須在定義域?qū)?yīng)的區(qū)間內(nèi)進行求值14、【解析】利用先求得,再利用求解即可,注意利用角的范圍確定三角函數(shù)值的符號.【詳解】由題,因為,且,則或,因為為第四象限角,所以,則,所以,故答案為:【點睛】本題考查利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求三角函數(shù)值,屬于

11、基礎(chǔ)題.15、1【解析】根據(jù)定積分求面積【詳解】.【點睛】本題考查利用定積分求面積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16、.【解析】先化簡得到數(shù)列an是一個等比數(shù)列和其公比，再求數(shù)列an的前n項和.【詳解】因為，所以，因為數(shù)列各項是正項，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且其公比為3，所以數(shù)列an的前n項和為.故答案為：【點睛】（1）本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)的判定，考查等比數(shù)列的前n項和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)解答本題的關(guān)鍵是得到.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、 () () 【解析】（）方法一：由A（0，）可得，利用，即可得出，方法二：利用，即可

12、得出；（）方法一：由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA，可得c，即可得出三角形面積計算公式，方法二：由正弦定理得，從而，可得cosB可得sinC=sin（A+B），利用三角形面積計算公式即可得出【詳解】()方法一： 由得，因此方法二：，由于，所以 ()方法一：由余弦定理得 而，得，即因為，所以故的面積 方法二：由正弦定理得從而又由，知，所以為銳角， 故 所以【點睛】本題考查了三角形面積計算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題18、（）（）見解析【解析】（1）直接對函數(shù)進行求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求最大值；（2）對方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化

13、為函數(shù)零點個數(shù)，通過對參數(shù)進行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點存在定理等，判斷函數(shù)圖象與軸的交點個數(shù).【詳解】（）的導(dǎo)數(shù)為.在區(qū)間，是增函數(shù)；在區(qū)間上，是減函數(shù).所以的最大值是.（），方程的實數(shù)根個數(shù)，等價于函數(shù)的零點個數(shù).在區(qū)間上，是減函數(shù)；在區(qū)間上，是增函數(shù).在處取得最小值.當(dāng)時，沒有零點；當(dāng)時，有唯一的零點；當(dāng)時，在區(qū)間上，是增函數(shù)，并且.，所以在區(qū)間上有唯一零點；在區(qū)間上，是減函數(shù)，并且，所以在區(qū)間上有唯一零點.綜上所述，當(dāng)時，原方程沒有實數(shù)根；當(dāng)時，原方程有唯一的實數(shù)根；當(dāng)時，原方程有兩個不等的實數(shù)根.【點睛】在使用零點存在定理時，證明在某個區(qū)間只有唯一的零點，一定要證明函數(shù)在

14、該區(qū)間是單調(diào)的，且兩個端點處的函數(shù)值相乘小于0；本題對數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等進行綜合考查，對解決問題的綜合能力要求較高.19、（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【解析】（1）可求得，分別在、四種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為：，令，利用導(dǎo)數(shù)求得和，可證得，從而證得結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)時，時，；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)時，和時，；時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)時，在上恒成立在上單調(diào)遞增當(dāng)時，和時，；時，在和上

15、單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）對，恒成立即為：，等價于：令，則時，；時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增令，則時，；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上可得：，即在上恒成立對，恒成立【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的求解.解決本題中的恒成立問題的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺C不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)之間最值的比較，通過最小值與最大值的大小關(guān)系得到結(jié)論.20、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求的圖象在處的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的在上的極值和最值，即可得到結(jié)論試題解析：（1）當(dāng)時，切點坐標為，切線的斜率，則切線方程為，即.（2），則.，當(dāng)時，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在處取得極大值.又，則，在上的最小值是在上有兩個零點的條件是，解得，實數(shù)的取值范圍是考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.21、（1）（2）猜想：；證明見解析【解析】（1）分別代入并化簡，可得，即可求出答案；（2）猜想：；分別代入表達式，化簡并整理即可證明.【詳解】解：（1）.因為函數(shù)與具有相同的單調(diào)性，且都是單調(diào)函數(shù)，所以是單調(diào)函數(shù).（2）由，猜想：.證明: .所以.【點睛】本題考查了歸納推理，考查了學(xué)生的推理能力，