版圓證明計(jì)算版

1、圓的證明與計(jì)算專(zhuān)題解說(shuō)圓的證明與計(jì)算是中考取的一類(lèi)重要的問(wèn)題，本題達(dá)成狀況的利害對(duì)解決后邊問(wèn)題的發(fā)揮有重要的影響，因此解決好本題比較要點(diǎn)。圓的有關(guān)證明一、圓中的重要定理:圓的定義:主假如用來(lái)證明四點(diǎn)共圓.垂徑定理:主假如用來(lái)證明弧相等、線(xiàn)段相等、垂直關(guān)系等等.三者之間的關(guān)系定理:主假如用來(lái)證明弧相等、線(xiàn)段相等、圓心角相等.圓周角性質(zhì)定理及其推輪:主假如用來(lái)證明直角、角相等、弧相等.切線(xiàn)的性質(zhì)定理:主假如用來(lái)證明垂直關(guān)系.切線(xiàn)的判斷定理:主假如用來(lái)證明直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).切線(xiàn)長(zhǎng)定理:線(xiàn)段相等、垂直關(guān)系、角相等.2.圓中幾個(gè)要點(diǎn)元素之間的相互轉(zhuǎn)變:弧、弦、圓心角、圓周角等都能夠經(jīng)過(guò)相等來(lái)相互轉(zhuǎn)變.這在

2、圓中的證明和計(jì)算中常常用到.二、考題形式剖析：主要以解答題的形式出現(xiàn),第1問(wèn)主假如判斷切線(xiàn)；第2問(wèn)主假如與圓有關(guān)的計(jì)算：求線(xiàn)段長(zhǎng)（或面積）；求線(xiàn)段比；求角度的三角函數(shù)值（實(shí)質(zhì)仍是求線(xiàn)段比）。知識(shí)點(diǎn)一：判斷切線(xiàn)的方法：（1）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常有手法有：全等轉(zhuǎn)變；平行轉(zhuǎn)變；直徑轉(zhuǎn)變；中線(xiàn)轉(zhuǎn)變等；有時(shí)可經(jīng)過(guò)計(jì)算聯(lián)合相像、勾股定理證垂直；（2）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常有手法：角均分線(xiàn)定理；等腰三角形三線(xiàn)合一，隱蔽角均分線(xiàn)；總而言之，要達(dá)成兩個(gè)層次的證明：直線(xiàn)所垂直的是圓的半徑（過(guò)圓上一點(diǎn)）；直線(xiàn)與半徑的關(guān)系是相互垂直。在證明中的要點(diǎn)是要辦理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)變,要

3、擅長(zhǎng)進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常增添的協(xié)助線(xiàn).例：方法一：若直線(xiàn)l過(guò)O上某一點(diǎn)A，證明l是O的切線(xiàn)，只要連OA，證明OAl就行了，簡(jiǎn)稱(chēng)“連半徑，證垂直”，難點(diǎn)在于怎樣證明兩線(xiàn)垂直.例1如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交BC于D，交AC于E，B為切點(diǎn)的切線(xiàn)交OD延伸線(xiàn)于F.求證：EF與O相切.例2如圖，AD是BAC的均分線(xiàn)，P為BC延伸線(xiàn)上一點(diǎn)，且PA=PD.求證：PA與O相切.證明一：作直徑AE，連接EC.AD是BAC的均分線(xiàn)，DAB=DAC.PA=PD，2=1+DAC.2=B+DAB，1=B.又B=E，1=EAE是O的直徑，0ACEC，E+EAC=90.01+EAC=90.即O

4、APA.PA與O相切.證明二：延伸AD交O于E，連接OA，OE.AD是BAC的均分線(xiàn)，BE=CE，OEBC.0E+BDE=90.OA=OE，E=1.PA=PD，PAD=PDA.又PDA=BDE,01+PAD=90即OAPA.PA與O相切說(shuō)明：本題是經(jīng)過(guò)證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識(shí)的綜合運(yùn)用.例3如圖，AB=AC，AB是O的直徑，O交BC于D，DMAC于M求證：DM與O相切.0例4如圖，已知：AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，且CAB=30，BD=OB，D在AB的延伸線(xiàn)上.求證：DC是O的切線(xiàn)2例5如圖，AB是O的直徑，CDAB，且OA=ODOP.求證：PC是O的切線(xiàn).例6如圖，ABCD

5、是正方形，G是BC延伸線(xiàn)上一點(diǎn)，AG交BD于E，交CD于F.求證：CE與CFG的外接圓相切.剖析：本題圖上沒(méi)有畫(huà)出CFG的外接圓，但CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點(diǎn)，為此我們?nèi)G的中點(diǎn)O，連接OC，證明CEOC即可得解.證明：取FG中點(diǎn)O，連接OC.ABCD是正方形，BCCD，CFG是RtO是FG的中點(diǎn)，O是RtCFG的外心.OC=OG，3=G，ADBC，G=4.AD=CD，DE=DE，0ADE=CDE=45，ADECDE（SAS）4=1，1=3.2+3=900,1+2=900.即CEOC.CE與CFG的外接圓相切方法二：若直線(xiàn)l與O沒(méi)有已知的公共點(diǎn)，又要證明l是O的切線(xiàn)，只要作OA

6、l，A為垂足，證明OA是O的半徑就行了，簡(jiǎn)稱(chēng)：“作垂直；證半徑”(一般用于函數(shù)與幾何綜合題）例1：如圖，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，D與AB切于E點(diǎn).求證：AC與D相切.剖析：說(shuō)明：證明一是經(jīng)過(guò)證明三角形全等證明DF=DE的，證明二是利用角均分線(xiàn)的性質(zhì)證明DF=DE的，這種習(xí)題多半與角均分線(xiàn)有關(guān).例2：已知：如圖，AC，BD與O切于A、B，且ACBD，若0COD=90.求證：CD是O的切線(xiàn).證明一：連接OA，OB，作OECD，E為垂足.AC，BD與O相切，ACOA，BDOB.ACBD，1+2+3+4=1800.0COD=90，2+3=900，1+4=900.4+5=900.1=5.RtAOCRt

7、BDO.ACOC.OBODOA=OB，ACOC.OAOD0又CAO=COD=90，AOCODC，1=2.又OAAC，OECD,OE=OA.E點(diǎn)在O上.CD是O的切線(xiàn).證明二：連接OA，OB，作OECD于E，延伸DO交CA延伸線(xiàn)于F.AC，BD與O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F(xiàn)=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.0COD=90，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E點(diǎn)在O上.CD是O的切線(xiàn).證明三：連接AO并延伸，作OECD于AC與O相切，ACAO.ACBD，AOBD.BD與O相切于B，AO的延伸線(xiàn)必經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.AB是O的直徑.ACBD，OA=OB，

8、CF=DF，OFAC，1=COF.0COD=90，CF=DF，E，取CD中點(diǎn)F，連接OF.OF1CDCF.22=COF.1=2.OAAC，OECD，OE=OA.E點(diǎn)在O上.CD是O的切線(xiàn)說(shuō)明：證明一是利用相像三角形證明1=2，證明二是利用等腰三角形三線(xiàn)合一證明1=2.證明三是利用梯形的性質(zhì)證明1=2，這種方法必要先證明A、O、B三點(diǎn)共線(xiàn).課后練習(xí)：（1）如圖，AB是O的直徑，BCAB，ADOC交O于D點(diǎn)，求CD證：CD為O的切線(xiàn)；ABO（2）如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑作O，交斜邊AC于CD，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，求證：DE是O的切線(xiàn).DEAOB（3）如圖，以等腰ABC的一腰為直

9、徑作O，交底邊BC于AD，交另一腰于F，若DEAC于E（或E為CF中點(diǎn)），求證：DE是OO的切FE線(xiàn).BDC（4）如圖，AB是O的直徑，AE均分BAF，交O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)EA作直線(xiàn)EDAF，交AF的延伸線(xiàn)于點(diǎn)D，交AB的延伸線(xiàn)于點(diǎn)OC，求證：CD是O的切線(xiàn).BFCED知識(shí)點(diǎn)二：與圓有關(guān)的計(jì)算計(jì)算圓中的線(xiàn)段長(zhǎng)或線(xiàn)段比，往常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相像等知識(shí)的聯(lián)合，形式復(fù)雜，無(wú)規(guī)律性。剖析時(shí)要要點(diǎn)注意察看已知線(xiàn)段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線(xiàn)段或許角度的轉(zhuǎn)變。特別是要借助圓的有關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)變，找出所求線(xiàn)段與已知線(xiàn)段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問(wèn)題。此中重要而常有的數(shù)學(xué)思想

10、方法有：1）結(jié)構(gòu)思想：如：建立矩形轉(zhuǎn)變線(xiàn)段；建立“射影定理”基本圖研究線(xiàn)段（已知隨意兩條線(xiàn)段可求其余全部線(xiàn)段長(zhǎng)）；射影定理：所謂射影，就是正投影。此中，從一點(diǎn)到一條直線(xiàn)所作垂線(xiàn)的垂足，叫做這點(diǎn)在這條直線(xiàn)上的正投影。一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線(xiàn)上的正投影之間的線(xiàn)段，叫做這條線(xiàn)段在這直線(xiàn)上的正投影。由三角形相像的性質(zhì)：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比率中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比率中項(xiàng)。公式RtABC中,BAC=90,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BDDC,(2)(AB)2;=BDBC,(3)(AC)2;=CDBC。等積式

11、(4)ABXAC=BCXAD(可用面積來(lái)證明)結(jié)構(gòu)垂徑定理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑；結(jié)構(gòu)勾股定理模型（已知線(xiàn)段長(zhǎng)度）；結(jié)構(gòu)三角函數(shù)(已知有角度的狀況）;6找不到，找相像（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示要點(diǎn)線(xiàn)段，經(jīng)過(guò)線(xiàn)段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)此中的相等關(guān)系成立方程，解決問(wèn)題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的線(xiàn)段關(guān)系，把問(wèn)題分解為若干基本圖形的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)基本圖形的解題模型迅速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，從而找出隱蔽的線(xiàn)段之間的數(shù)目關(guān)系。典型基本圖型：圖形1：如圖1：AB是O的直徑，點(diǎn)E、C是O上的兩點(diǎn)，基本結(jié)論有：（1）在“AC均分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切線(xiàn)”三個(gè)論斷中，知

12、二推一。（2）如D圖2、3，DE等于D弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（D或弓形ECECECECBCE的半弦EF）。FFAOBAOBAOBAOKB圖1圖2圖3圖4DEC（3）如圖（4）：若CKAB于K，則：GCK=CD；BK=DE；CK=1BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;2AOB圖52ADCACBAC=AD?AB4）在(1)中的條件、中任選兩個(gè)條件，當(dāng)BGCD于E時(shí)（如圖5），則：122DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；AD?BG=DG=DC4圖形2：如圖：RtABC中，ACB=90。點(diǎn)O是BAC上一點(diǎn)，以O(shè)CBB為半徑作O交AC于點(diǎn)E，基本結(jié)論有：GDDDGFHFCOE

13、ACOEACAOE圖3圖1圖21）在“BO均分CBA”;“BODE”;“AB是O的切線(xiàn)”;“BD=BC”。四個(gè)論斷中，知一推三。（2）G是BCD的CG=GD心里；BCO12CDEBO?DE=CO?CE=CE；23）在圖（1）中的線(xiàn)段BC、CE、AE、AD中，知二求四。4）如圖（3），若BC=CE，則：AE=1=tanADE；BC：AC：AD2AB=3：4：5；（在、中知一推二）設(shè)BE、CD交于點(diǎn)H，,則BH=2EH圖形3：如圖：RtABC中，ABC=90,以AB為直徑作O交AC于CD，基本結(jié)論有：DE如右圖：（1）DE切OE是BC的中點(diǎn)；AOB2）若DE切O，則：DE=BE=CE；D、O、B、

14、E四點(diǎn)共圓CED=2A2CDCA=4BE,DECDBCRBDBA圖形特別化：在（1）的條件下如圖1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；CD如圖2：若DE的延伸線(xiàn)交AB的延伸線(xiàn)于點(diǎn)F，若AB=BF，則：ECAOBFDE1;BE1EF3R2DEABO圖形4：如圖，ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，圖2E圖1FCD基本結(jié)論有：AOB1）DEACDE切O；2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；BFEF=EC；D是的中點(diǎn)。與基本圖形1的結(jié)論重合。連AD，產(chǎn)生母子三角形。圖形5：以直角梯形ABCD的直腰為直徑的圓切斜腰于，基本結(jié)論有：ADADADEEG

15、EFOOOFBCBCBC圖3圖1圖2（1）如圖1：AD+BCCD；COD=AEB=90；OD均分ADC（或OC均分BCD）；（注：在、及“CD是O的切線(xiàn)”四個(gè)論斷中，知一推三）ADBC1AB2=R2；4（2）如圖2，連AE、CO，則有：COAE，CO?AE=2R2(與基本圖形2重合)（3）如圖3，若EFAB于F，交AC于G，則：EG=FG.圖形6：如圖：直線(xiàn)PRO的半徑OB于E，PQ切O于Q，BQ交直線(xiàn)PQ于R?；窘Y(jié)論有：BBREPBOQQERAPBQEAPROOEPROQ（1）PQ=PR(PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一2（3）2PRRE

16、=BRRQ=BE2R=AB圖形7：如圖，ABC內(nèi)接于O，I為ABC的心里。基本結(jié)論有：2（1）如圖1，BD=CD=ID；DIDEDA；AAOIDEAIB=90+1ACB;OIBEC2BCD圖1圖22）如圖2，若BAC=60，則：BD+CE=BC.圖形8：已知，AB是O的直徑，C是中點(diǎn)，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F?；窘Y(jié)論有：GFC（1）CD=1BG；BE=EF=CE；GF=2DEHE2ABOD(反之，由CD=1BGBG或BE=EF可得：C是中點(diǎn))2（2）1，；2（3）BEBG=BDBABC=CG=AG（4）若D是OB的中點(diǎn)，則：CEF是等邊三角形；典范解說(shuō)：例題1：ABP中，ABP

17、=90，以AB為直徑作O交AP于C點(diǎn)，弧CF=CB，過(guò)C作AF的垂線(xiàn)，垂足為M，MC的延伸線(xiàn)交BP于D.1）求證：CD為O的切線(xiàn)；2）連BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求EF的值。AF例題2：直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB為直徑的圓交BC于E，連OC、BD交于F.求證：CD為O的切線(xiàn)若BE3，求BF的值A(chǔ)B5DFADOFBEC例題3：如圖，AB為直徑，PB為切線(xiàn)，點(diǎn)C在O上，ACOP。（1）求證：PC為O的切線(xiàn)。（2）過(guò)D點(diǎn)作DEAB，E為垂足，連AD交BC于G，CG=3，DE=4，求DG的值。DB例題4（2009調(diào)考）：如圖，已知ABC中，以邊BC為直徑的O與

18、邊AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，AF為ABC的角均分線(xiàn)，且AFEC。1）求證：AC與O相切；2）若AC6，BC8，求EC的長(zhǎng)ADEHBOFC家庭練習(xí)：BD=DE1如圖，RtABC，以AB為直徑作O交AC于點(diǎn)D，過(guò)D作AE的垂線(xiàn)，F(xiàn)為垂足.1）求證：DF為O的切線(xiàn)；2）若DF=3，O的半徑為5，求tanBAC的值.FCDEAOBAD=DC2如圖，AB為O的直徑，C、D為O上的兩點(diǎn)，過(guò)D作直線(xiàn)BC的垂線(xiàn)交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為垂足.FDC（1）求證：EF為O的切線(xiàn)；EAOB（2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.3如圖，AB為O的直徑，半徑OCAB，D為AB延伸線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)D作O的切線(xiàn)，E為切點(diǎn)，連接CE交AB于點(diǎn)F.1）求證：DE=DF；（2）連接AE，若OF=1，BF=3，求tanA的值.CAFBDOE4如圖，RtABC中，C=90，BD均分ABC，以AB上一點(diǎn)O為圓心過(guò)B、D兩點(diǎn)作O，O交AB于點(diǎn)一點(diǎn)E，EFAC于點(diǎn)F.1）求證：O與AC相切；2）若EF=3，BC=4，求tanA的值.BOEAFDC5如圖，等腰ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O交BC于點(diǎn)D，DEAC于E.（1）求證：DE為O的切線(xiàn)；（2）若BC=45，AE=1，求cosAEO的值.C