彈性變形能(應(yīng)變能)

1、彈性變形能（）m構(gòu)件由于發(fā)生彈性變形而儲(chǔ)存的能量（如同彈簧）, 。表示為變形體的功能原理 彈性范圍內(nèi)，構(gòu)件受靜載外力產(chǎn)生變形的過(guò)程中，能量守恒，即： 外力功=變形能略去動(dòng)能及能量損耗3-2應(yīng)變能 余能9/17/20221(a) 軸向拉（壓）桿 應(yīng)變能 （1）線彈性體 1. 基本變形形式【材料力學(xué)（）】 利用應(yīng)變能 在數(shù)值上等于外力功W，可得9/17/20222 (b) 扭轉(zhuǎn)9/17/20223(c) 彎曲純彎曲 9/17/20224彎曲應(yīng)變能各種基本變形的應(yīng)變能統(tǒng)一表達(dá)式：MMdMMdx橫力彎曲對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁來(lái)說(shuō)一般可略去剪切應(yīng)變能9/17/20225 也可以把應(yīng)變能統(tǒng)一寫成式中，F(xiàn) 為廣義力，可

2、以代表一個(gè)力,一個(gè)力偶,一對(duì)力或一對(duì)力偶等。D為廣義位移，可以代表一個(gè)線位移,一個(gè)角位移,一對(duì)線位移或一對(duì)角位移等。9/17/202261. 構(gòu)件上有一組廣義力共同作用令F=F1 ,wC=D1 ,Me=F2 , qA= D2 ,則（ ）（ ）CwCFEIABMel / 2l / 2qA,9/17/20227 Fi 為廣義力，Di 為Fi 的作用點(diǎn)沿Fi 方向的廣義位移，它是由所有廣義力共同產(chǎn)生的。 2. 組合變形（用內(nèi)力形式表示的應(yīng)變能）M(x) 只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角 小變形時(shí)不計(jì)FS 產(chǎn)生的應(yīng)變能，F(xiàn)N (x) 只產(chǎn)生軸向線位移T(x) 只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角有 n 個(gè)廣義力同時(shí)作用時(shí)9/17/20228對(duì)

3、于dx 微段， FN(x) , T(x) , M(x) 均為外力。略去高階微量后，dx段的應(yīng)變能為桿的應(yīng)變能為9/17/20229(a) 由于應(yīng)變能是外力（內(nèi)力）或位移的二次齊次式，所以產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能，不等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。小變形時(shí)，產(chǎn)生不同變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。 3. 應(yīng)變能的特點(diǎn):EAF2F1ab例F1F2Me9/17/202210應(yīng)變能與內(nèi)力（或載荷）不是線性關(guān)系，故多個(gè)載荷作用時(shí)，求應(yīng)變能不可隨意用疊加法。注意組合變形分解為各基本變形后（互不偶合），分別計(jì)算并求和：變形能與加載次序無(wú)關(guān)

4、；相互獨(dú)立的力（矢）引起的變形能可以相互疊加。9/17/202211(b) 應(yīng)變能的大小與加載順序無(wú)關(guān)（能量守恒） F 和Me 同時(shí)作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值簡(jiǎn)單加載。 在線性彈性范圍時(shí)，力和位移成正比，位移將按和力相同的比例，由零逐漸增加到最終值。上圖中CwCFEIABMel / 2l / 2qA,(a)9/17/202212 先加F, 再加Me (圖 b，c)式中， 為力F在由Me產(chǎn)生的C點(diǎn)處的撓度上作功，所以無(wú) 系數(shù) 。(b)CwC,FFEIABl / 2l / 2qA,F,cFEIABMel / 2l / 2wC,F (c),還可以先加Me ，再加F，得到的應(yīng)變能 和

5、以上的值相同。9/17/202213FSMNMTAAFNBjT例1 圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力P的作用，求A點(diǎn)的垂直位移。解：用能量法（外力功等于應(yīng)變能）求內(nèi)力AFR9/17/202214外力功等于應(yīng)變能變形能：9/17/202215 . 余能 圖 a為非線性體彈性體的受拉桿，其F D和se關(guān)系如圖b,c 所示。（1）余功的定義為9/17/202216其大小為曲面OF1a的面積如圖d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量綱，且Wc 為矩形OF1aD1 的面積與曲面OaD1 的面積（W）之差（圖d）,故稱Wc 為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無(wú)物理概念，即沒有什么力作的功為Wc 。FF1WcaWD1Do(d)9/17/202217 余能密度為 （38）(37)和（38）式，分別以 F 和 s 為自變量，D= f (F ),e =f (s )。所以Vc= f (F ) 為受力狀態(tài)的函數(shù)。VcVeF1 FD D1 a(e)o（3）線彈性體（圖e） Ve 和 Vc 數(shù)值相等，但概念和計(jì)算方法不同，即 Ve = f (D) , Vc = f (F )。仿照 , 余能為（37）（2）余能（39）余能為9/17/202218 例 圖a中兩桿的長(zhǎng)度均為l,橫截面面積均為A。材料在單軸拉伸時(shí)的 s e 關(guān)系如圖b