相似三角形的性質(zhì)及判定知識(shí)點(diǎn)總結(jié)經(jīng)典題型總結(jié)

1、 A B C C 相三形性及定中考要考試要求板塊A 級(jí)要求B 級(jí)要求C 級(jí)要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性質(zhì)，以及掌 握相關(guān)的模型會(huì)運(yùn)用相似三角形相關(guān)的 知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一、相似的有關(guān)概念1相似形具有一樣形狀的圖形叫做相似形相似形僅是形狀一樣大小不一定一 樣相似圖形之間的互相變換稱為相似變換2相似圖形的特性兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等3相似比兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例二、相似三角形的概念1相似三角形的定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形如圖， 與相似，記作，符號(hào) 讀作“相似于 B 與 A AM ABC B 與 A AM ABC

2、 BC B ABC BCAB C 2相似比相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比全等三角形的相似比是 1“全等三 角形一定是“相似形，“相似形不一定是“全等形三、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等如圖， 與相似，那么有 AAB C 2相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例 相似，那么有AB AC A B 為相似比3相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例都等于 相似比如圖 1 與相似， 是 中 邊上的中線，A是 A中B邊上的中線，那么有AB AC A 為相似比AAB C MC圖 1如圖 2， 與相似， 是 中 邊上的高線，A是 A中B邊上的高線，那么有AB AC AH 為相似比 AC AD ABC

3、 BAC k ABC k AC AD ABC BAC k ABC k B ABC BC AB H C BH圖 2如圖 3， 與相似， 是 中 的角平分線，A是 中 的角平分線，那么有AB BC 為相似比 A A D C BC圖 34相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比如圖 4， 與相似，那么有 BC AC A A 為相似比用比例的等比性質(zhì)有AB BC A B A AAAB C 5相似三角形面積的比等于相似比的平方圖 4如圖 5， 與相似， 是 中 邊上的高線，A是 A中B邊上的高線，那么有AB AC AH 為相似比而可得 eq oac(, ) eq oac(, )1 21 2 AH B AAB H C

4、 BH圖 5 A C BF E F A C BF E F A C DE EFD F1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線相交所構(gòu)成 的三角形與原三角形相似2如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等那么這兩 個(gè)三角形相似可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似3如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相 等，那么這兩個(gè)三角形相似4如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的你對(duì)應(yīng)成比例么這兩個(gè) 三角形相似可簡(jiǎn)單地說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似5果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和 一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似6直角三

5、角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形相似常用但要證明 7如果一個(gè)等腰三角形和另一個(gè)等腰三角形的頂角相等或一對(duì)底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似；如果它們的腰和底對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè) 等腰三角形也相似五、相似證明中的比例式或等積式、比例中項(xiàng)式、倒數(shù)式、復(fù)合式證明比例式或等積式的主要方法有“三點(diǎn)定形法1橫向定型法欲證 BC ，橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是 和 ，三個(gè)字 BE BF母 恰為 的頂點(diǎn)母的兩條線段是 和 個(gè)字母 恰為 的三個(gè)頂點(diǎn)因此只需證 EBF2縱向定型法欲證 AB DE ，縱向觀察，比例式左邊的比 和 中的三個(gè)字母 恰 EF為 的頂點(diǎn)；右邊的比兩條線段是 和 中的三個(gè)字母

6、恰為的三個(gè)頂點(diǎn)因此只需證 ABC DEF3中間比法由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會(huì)碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒(méi)有一樣點(diǎn)的情況，此 時(shí)可考慮運(yùn)用等線，等比或等積進(jìn)展變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找 相似三角形種方法就是等量代換法證明比例式時(shí)用到中間比AD BC AD ， ， AD， BE AC 比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到與公共邊有關(guān)的相似問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題的典 型模型是AD BC AD ， ， AD， BE AC 倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)展變形，將等式的一邊化為 另一邊化為 幾個(gè)比值和的形式，然后比照值進(jìn)展等量代換，進(jìn)而證明之復(fù)合式的證明比擬復(fù)雜通常需要進(jìn)展等線代換對(duì)線段進(jìn)展等量代換 等比代換積代換復(fù)合式轉(zhuǎn)化

7、為根本的比例式或等積式后進(jìn)展證明六、相似證明中常見(jiàn)輔助線的作法在相似的證明中，常見(jiàn)的輔助線的作法是做平行線構(gòu)造成比例線段或相似 三角形，同時(shí)再結(jié)合等量代換得到要證明的結(jié)論常見(jiàn)的等量代換包括等 線代換、等比代換、等積代換等如圖： 平分 交 于 ，求證：BD DC 證法一：過(guò) 作 ，交 的延長(zhǎng)線于 AC AE ， BD BA BA DC BE AC點(diǎn)評(píng)：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“A型圖的根本 模型證法二；過(guò) 作 的平行線，交 的延長(zhǎng)線于 AB ， BE DC AC D 點(diǎn)評(píng)平行線構(gòu)造成比例線段用了“X型圖的根本模型七、相似證明中的面積法面積法主要是將面積的比線段的比進(jìn)展相互解決問(wèn)題常用的面積

8、法根本模型如下： 轉(zhuǎn)化來(lái)如圖： eq oac(, ) eq oac(, )1212 CD圖 1 山字 ”型ABHOGCDB B 如圖： eq oac(, ) eq oac(, ) AO DG 如圖： eq oac(,S) eq oac(, ) AD eq oac(, ) eq oac(, ) AE AE AED八、相似證明中的根本模型BA AA圖 3 燕尾 型D EEDDFE IFB C B CBGC B D H B E BFC D D C F D DADAAA HDEEB C DB C DB C D B C D BD A D AAAADDDG DEGEEEB FBF B F CF D E A

9、C AB D E AC ABD 證： AD D E BC ABAC 如 圖， 中， ABCHD FDFDFDF E B C B B H 例題精一、與三角形有關(guān)的相似問(wèn)題【例】如圖，在 中， ，點(diǎn) 在 邊上，假設(shè)在增加一個(gè)條件就能使 ACB，那么這個(gè)條件可以是 AB C【穩(wěn)固圖， 、 是 的邊 、 上的點(diǎn) AE ADE .D C【穩(wěn)固】如圖，在 中， 于 ， 于 ， 的面積是 面積 的 4 倍， ，求 的長(zhǎng).【例】 ，那么 PC ，點(diǎn) 是 內(nèi)一點(diǎn)，使得 APB BPC CPA，B.1 C. B.1 C. DEM N ABC BC【穩(wěn)固】如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形相鄰并排，求 PB CA GFB

10、C E【例】如圖，中，AE : 1:3，BC CD ，AD與CE相交于F，那么AF EFFC FD的值為 A.5 2 2 固】 在 ， ， 延長(zhǎng) 線交BC 線于， 求證 ：AD . P【穩(wěn)固】如圖， 、 為 邊 上的兩點(diǎn)，且滿足BM MN NC，一條平行于 E F， 假設(shè) ， ， ， E F， 假設(shè) ， ， ，求證：AB BDCD BDB AC BDE EF D AC的直線分別交 、 和 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) 、 和 .求證：EF .D MN F【例】如圖，AB / / EF / / CD AB EF 1 c .AEB F DC【穩(wěn)固圖， ，足分別為 、 ， 和 相交于點(diǎn) ， ，垂足為 .證明： 1

11、1 AB EF.D， 找出ABCD AC BDBD ABO l、 ， 找出ABCD AC BDBD ABO l、 、M R P AC EF ACE FABCDEF EG GF【穩(wěn)固】如圖，AB / / EF / / CD ABD、SBED、S之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.ACEB H F M D N【例】如圖在四邊形 中， 與 相交于點(diǎn) 直線 平行于 且與 、 DC BC AD及 的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn) 、 、 、 和 .求證：PM ABDClMN P S【穩(wěn)固圖，四邊形 ，兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后交于 、 ，對(duì)角線 ， 的延長(zhǎng)線交 于 求證： 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定 【難度】5 【題型】解答D【關(guān)

12、鍵詞】CG F BC AB BC AB ABC ABCP P ABCABCD【例】如圖，中， ，假設(shè)D E1 1分別是 的中點(diǎn)，那么 E ；假設(shè)假設(shè)D 、 D 分別是分別是D D 的中點(diǎn)，那么；的中點(diǎn)，那么；假設(shè)D 、 分別是D B、 C 的中點(diǎn)么D E .C【例】如圖， 內(nèi)有一點(diǎn) ，過(guò) 作各邊的平行線，把 分成三個(gè)三角形和三個(gè)平行四邊形假設(shè)三個(gè)三角形的面積 的面積是 S S 分別為1 2，那么【例】如圖，梯形 的兩條對(duì)角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為ABCD BD OAC ABCD BD OAC AD CDABCD F G EF FG AB OA q，那么梯形的面積是 A B Cpq

13、D【穩(wěn)固】如圖，梯形 中， ，兩條對(duì)角線AC、 相交于 ，假設(shè) eq oac(, ): eq oac(,S)1:9，那么 eq oac(, ): eq oac(, )二、與平行四邊形有關(guān)的相似問(wèn)題【例】如圖，平行四邊形 中，過(guò)點(diǎn) 的直線順次與 、 及 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) 、 、 ，假設(shè) ， ，那么 的長(zhǎng)是 AFDEB 【穩(wěn)固】如圖， ，OC ，求證： .DO B【 例1】 ABCDO AB OE 【 例1】 ABCDO AB OE F, 的值 AE ADABCD AF DE O FOD如圖， 的對(duì)角線相交于點(diǎn) ，在 的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn) ，連接交 于點(diǎn) ，假設(shè) BE D KFFA BE BE【穩(wěn)固

14、圖 的面積是 36 邊上分別取點(diǎn) 得 ，且 與 的交點(diǎn)為點(diǎn) ，求 的面積。C OOC， AABCD AB / / ABAC BD ， 且 ABCD AB / / ABAC BD ， 且 與 交于點(diǎn) ， 與 交于 . CD ABCD AD BC E F AD AF P Q PQ如 圖梯形 中， ， ， , , ( ), ,【例1】如圖梯形 中， ， 是 的中點(diǎn)分別連接 、 、 、 AC E DB 1求證：EF / / CD2假設(shè) , ，求 的長(zhǎng).D【穩(wěn)固圖梯形 中， ， 分別是 的中點(diǎn)， 交 于 ， 交 于 ，求 的長(zhǎng)AEDPB F C【例1】 ABCD / AD b DE 交 于點(diǎn) ，連接 .

15、DCE DCE 交 于點(diǎn) ，連接 .DCE DCE BCG EFGHAC BC AD 【 穩(wěn)固】如圖， 中，DEGFAC F G 判斷 與 ， 與 是否分別一定相似，假設(shè)相似， 請(qǐng)加以證明.2如果不一定相似，請(qǐng)指出 、 滿足什么關(guān)系時(shí)，它們就能相似.四、與內(nèi)接矩形有關(guān)的相似問(wèn)題【例1】 ABC中，正方形 的兩個(gè)頂點(diǎn) 、 在 上，另兩個(gè)頂點(diǎn) 、 分別在 、 上， , 邊上的高 ,.EFGHAHGMFB D F D CABC AC BC 90，四邊形 為正方形，其中D 在邊 上， 在 上，求正方形的邊長(zhǎng)CD EA FB【 例1】 ABCD E F【 例1】 ABCD E F G ABDEGF， C

16、ABC AB AC 邊 上， 交 于ECFCEECFCE EF如圖， 中，四邊形 為正方形， 在線段 上， 在上，如果 ，求 的面積CD EA FB【穩(wěn)固】如圖，在 中， ， ， ，動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn) ， 不重合)AC EF BC F點(diǎn)當(dāng) 的面積與四邊形 的面積相等時(shí)，求 的長(zhǎng)當(dāng) 的周長(zhǎng)與四邊形 的周長(zhǎng)相等時(shí)，求 的長(zhǎng)試問(wèn)在 上是否存在點(diǎn) ，使得 為等腰直角三角形？假設(shè)不存 在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；假設(shè)存在，請(qǐng)求出 的長(zhǎng)CFDE AB； ； ADE ABC DE AB； ； ADE ABC AB E AD AE AC CP E1.直線 與 的 邊相交于點(diǎn) ，與AC邊相交于點(diǎn) ，以下條件： AE AD 相似的條件有 ；AE ED BC中，能使 與A 個(gè) B 個(gè) C 個(gè) D 個(gè)2.如圖在 的邊 上取一點(diǎn) 取一點(diǎn) 直線 和的延長(zhǎng)線相交于 ，求證：BP D 3.： 為 的中位線 上任意一點(diǎn)， 、 的延長(zhǎng)線分別交對(duì)邊 、于 、 ，求證：AD AE DC EBDM ADEF AB F AB ADEF AB