非線性控制系統(tǒng)分析

1、非線性控制系統(tǒng)分析第1頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四$1 引言非線性：指元件或環(huán)節(jié)的靜特性不是按線性規(guī)律變化。非線性系統(tǒng)：如果一個(gè)控制系統(tǒng)，包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性靜特性的元件或環(huán)節(jié)，則稱這類系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，其特性不能用線性微分方程來描述。一控制系統(tǒng)中的典型非線性特性下面介紹的這些特性中，一些是組成控制系統(tǒng)的元件所固有的，如飽和特性，死區(qū)特性和滯環(huán)特性等，這些特性一般來說對(duì)控制系統(tǒng)的性能是不利的；另一些特性則是為了改善系統(tǒng)的性能而人為加入的，如繼電器特性，變?cè)鲆嫣匦?，在控制系統(tǒng)中加入這類特性，一般來說能使系統(tǒng)具有比線性系統(tǒng)更為優(yōu)良的動(dòng)態(tài)特性。第2頁，共78頁，2

2、022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四(1) 飽和特性（2）死區(qū)特性式中 a-線性區(qū)寬度 k-線性區(qū)特性的斜率 第3頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四危害：使系統(tǒng)輸出信號(hào)在相位上產(chǎn)生滯后，從而降低系統(tǒng)的相對(duì) 穩(wěn)定性，使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。（3）間隙特性第4頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四功能：改善系統(tǒng)性能的切換元件（4）繼電器特性第5頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四特點(diǎn)：使系統(tǒng)在大誤差信號(hào)時(shí)具有較大的增益，從而使系統(tǒng)響應(yīng)迅速；而在小誤差信號(hào)時(shí)具有較小的增益，從而提高系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。同時(shí)抑制高頻低振幅噪聲，提高系統(tǒng)響應(yīng)控制信

3、號(hào)的準(zhǔn)確度。本質(zhì)非線性：不能應(yīng)用小偏差線性化概念將其線性化非本質(zhì)非線性：可以進(jìn)行小偏差線性化的非線性特性二非線性控制系統(tǒng)的特性（1）對(duì)于線性系統(tǒng)，描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，它的根本標(biāo)志就在于能使用疊加原理。而非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，不能使用疊加原理。(5)變?cè)鲆嫣匦缘?頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四對(duì)非線性系統(tǒng)，一般并不需要求解其輸出響應(yīng)過程。通常是把討論問題的重點(diǎn)放在系統(tǒng)是否穩(wěn)定，系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩，計(jì)算自持振蕩的振幅和頻率，消除自持振蕩等有關(guān)穩(wěn)定性的分析上。（2）在線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。對(duì)于

4、線性定常系統(tǒng)，穩(wěn)定性僅取決于特征根在s平面的分布。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性除和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)有關(guān)外，還和初始條件有關(guān)。在不同的初始條件下，運(yùn)動(dòng)的最終狀態(tài)可能完全不同。如有的系統(tǒng)初始值處于較小區(qū)域內(nèi)時(shí)是穩(wěn)定的，而當(dāng)初始值處于較大區(qū)域內(nèi)時(shí)則變?yōu)椴环€(wěn)定。反之，也可能初始值大時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，而初始值小則不穩(wěn)定。甚至還會(huì)出現(xiàn)更為復(fù)雜的情況。（3）在非線性系統(tǒng)中，除了從平衡狀態(tài)發(fā)散或收斂于平衡狀態(tài)兩種運(yùn)動(dòng)形式外，往往即使無外作用存在，系統(tǒng)也可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定的等幅振蕩。第7頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四自持振蕩：無外作用時(shí)非線性系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的穩(wěn)定的等幅振蕩稱為自持振蕩

5、，簡(jiǎn)稱自振蕩。改變非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，可以改變自持振蕩的振幅和頻率，或消除自持振蕩。對(duì)線性系統(tǒng)，圍繞其平衡狀態(tài)只有發(fā)散和收斂?jī)煞N運(yùn)動(dòng)形式，其中不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩。（4）在線性系統(tǒng)中，輸入為正弦函數(shù)時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，輸入和穩(wěn)態(tài)輸出之間僅在振幅和相位上有所不同，因此可以用頻率響應(yīng)來描述系統(tǒng)的固有特性。而非線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量在一般情況下并不具有與輸入相同的函數(shù)形式。第8頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四三非線性系統(tǒng)的研究方法 現(xiàn)在尚無一般的通用方法來分析和設(shè)計(jì)非線性控制系統(tǒng)。對(duì)非本質(zhì)非線性系統(tǒng) 基于小偏差線性化概念來處理對(duì)本質(zhì)非線性系統(tǒng) 二

6、階系統(tǒng)：相平面法 高階系統(tǒng)：描述函數(shù)法第9頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四$2 相平面法 相平面法是一種通過圖解法求解二階非線性系統(tǒng)的準(zhǔn)確方法。一基本概念第10頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四二線性系統(tǒng)的相軌跡相軌跡的斜率不能由該點(diǎn)的坐標(biāo)值單值地確定的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。第11頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第12頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第13頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四（6）第14頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四三.相軌跡的繪制第15頁，共78頁

7、，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四b.直接積分法第16頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四（2）圖解法a.等傾線法等傾線：在相平面內(nèi)對(duì)應(yīng)相軌跡上具有等斜率點(diǎn) 的連線原理第17頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四步驟：a.根據(jù)等傾線方程式（*），做出不同值的等傾線b.根據(jù)初始條件確定相軌跡的起始點(diǎn)c.從起始點(diǎn)處的等傾線向相鄰的第二條等傾線畫直線，它的斜率近似等于這兩條相鄰等傾線斜率的平均值。再?gòu)脑撝本€與第二條等傾線的交點(diǎn)向相鄰的第三條等傾線畫直線。這段直線的斜率等于第二.第三等傾線斜率的平均值，如此繼續(xù)下去，即可作出相軌跡。 第18頁，共78頁，

8、2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第19頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第20頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第21頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第22頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第23頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四四.由相軌跡求時(shí)間解第24頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四2根據(jù)求時(shí)間解以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)則有如下軌跡便是陰影部分的面積第25頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第26頁，共78頁，2022年，5月20

9、日，15點(diǎn)5分，星期四五非線性系統(tǒng)的相平面分析1基本概念實(shí)奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域內(nèi)虛奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域外極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。極限環(huán)內(nèi)部（或外部）的相軌跡，總是不可能穿過極限環(huán)而進(jìn)入它的外部（或內(nèi)部）。第27頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四（1）穩(wěn)定極限環(huán) 在極限環(huán)附近，起始于極限環(huán)外部或內(nèi)部的相軌跡均收斂于該極限環(huán)。這時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為等幅持續(xù)振蕩。第28頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四（2）不穩(wěn)定極限環(huán) 在極限環(huán)附近的相軌跡總是從極限環(huán)發(fā)散出去。

10、在這種情況下，如果相軌跡起始于極限環(huán)內(nèi)，則該相軌跡收斂于極限環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)，如果相軌跡起始于極限環(huán)外，則該相軌跡發(fā)散至無窮遠(yuǎn)。第29頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四（3）半穩(wěn)定極限環(huán) 如果起始于極限環(huán)外部的相軌跡，從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡，收斂于極限環(huán); 或者相反，起始于極限環(huán)外部各點(diǎn)的相軌跡收斂于極限環(huán)，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡收斂于原點(diǎn)。第30頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四 一般非線性系統(tǒng)可用分段線性微分方程來描述。在相平面的不同區(qū)域內(nèi)，代表該非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微分方程是線性的，因而每個(gè)區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是線性系統(tǒng)

11、的相軌跡，僅在不同區(qū)域的邊界上相軌跡要發(fā)生轉(zhuǎn)換。區(qū)域的邊界線稱為開關(guān)線或轉(zhuǎn)換線。2非線性系統(tǒng)相軌跡 因此，一般非線性系統(tǒng)相軌跡實(shí)際上就是分段線性系統(tǒng)相軌跡，我們只需做好相軌跡在開關(guān)線上的銜接工作。第31頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四（1）將非線性特性用分段的直線特性來表示，寫出相應(yīng)線段的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（2）首先在相平面上選擇合適的坐標(biāo)，一般常用誤差及其導(dǎo)數(shù)分別為橫縱坐標(biāo)。然后將相平面根據(jù)非線性特性分成若干區(qū)域，使非線性特性在每個(gè)區(qū)域內(nèi)都呈線性特性。（3）確定每個(gè)區(qū)域的奇點(diǎn)類別和在相平面上的位置。（4）在各個(gè)區(qū)域內(nèi)分別畫出各自的相軌跡。（5）將相鄰區(qū)域的相軌跡，根據(jù)在相鄰

12、兩區(qū)分界線上的點(diǎn)對(duì)于相鄰兩區(qū)具有相同工作狀態(tài)的原則連接起來，便得到整個(gè)非線性系統(tǒng)的相軌跡。（6）基于該相軌跡，全面分析二階非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性。用相平面法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟：第32頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四例1.非線性系統(tǒng)方框圖如圖所示，試取其系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的相軌跡，并分析該系統(tǒng)的特性。初始狀態(tài)-M-e0M第33頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四 第34頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四例2.非線性系統(tǒng)方框圖如圖所示，試取其系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的相軌跡，并分析該系統(tǒng)的特性。初始狀態(tài)第35頁，共78頁，2

13、022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四解：死區(qū)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為線性部分微分方程為而根據(jù)死區(qū)特性，系統(tǒng)可分為三個(gè)區(qū)I區(qū)區(qū)區(qū)故有第36頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四(1)I區(qū)區(qū)區(qū)三個(gè)區(qū)的微分方程分別為在I區(qū)奇點(diǎn)正好位于I，區(qū)分界線上;說明相軌跡是斜率為的 直線或在區(qū)第37頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四同理在區(qū)，等傾線為起始坐標(biāo)第38頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四(2)漸近線虛奇點(diǎn)實(shí)奇點(diǎn)第39頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四例3解：第40頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四I

14、區(qū)區(qū)區(qū)衰減振蕩，最終穩(wěn)態(tài)誤差為常值 第41頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四例1 求下列方程的奇點(diǎn)，并確定奇點(diǎn)類型解：奇點(diǎn)故奇點(diǎn)為中心點(diǎn) 令在奇點(diǎn)處，將 進(jìn)行泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)展開故有特征方程第42頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四所以為不穩(wěn)定焦點(diǎn)第43頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四$3 描述函數(shù)法一本質(zhì)非線性特性的諧波線性化1諧波線性化：具有本質(zhì)非線性的非線性元件在正弦輸入作用下，在其非正弦周期函數(shù)的輸出響應(yīng)中，假設(shè)只有基波分量有意義，從而將本質(zhì)非線性特性在這種假設(shè)下視為線性特性的一種近似。3應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性

15、系統(tǒng)的前提a.非線性特性具有奇對(duì)稱性b.非線性系統(tǒng)具有圖a所示的典型結(jié)構(gòu)c.非線性部分輸出x(t)中的基波分量最強(qiáng)d.非線性部分G(s)的低通濾波效應(yīng)較好第44頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四4.描述函數(shù)第45頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四b.非線性特性的描述函數(shù)的求取方法非線性元件的正弦輸入為式中其非線性周期輸出 付立葉級(jí)數(shù)為第46頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四的基波分量為若非線性特性是奇對(duì)稱的式中第47頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四二典型非線性特性的描述函數(shù)（1）飽和特性的描述函數(shù)第48頁

16、，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第49頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第50頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四（2）死區(qū)特性描述函數(shù)第51頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第52頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四（3）間隙特性的描述函數(shù)第53頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第54頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第55頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四（4）繼電特性描述函數(shù)第56頁，共78頁，2022年，5月20日，

17、15點(diǎn)5分，星期四第57頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第58頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四（5）變?cè)鲆嫣匦缘拿枋龊瘮?shù)第59頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第60頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第61頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四(6)典型非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的描述函數(shù)例1 求取非線性環(huán)節(jié)的等效形式第62頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四例2 第63頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四三.非線性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析(1)控制系統(tǒng)的穩(wěn)

18、定性分析特征方程為相當(dāng)于非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)第64頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四Nyquist圖上分析諧波線性化系統(tǒng)穩(wěn)定的準(zhǔn)則是第65頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四類型非線性特性描述函數(shù) 負(fù)倒描述函數(shù)曲線 理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性第66頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四類型非線性特性描述函數(shù) 負(fù)倒描述函數(shù)曲線 滯環(huán)繼電器特性 死區(qū)加滯環(huán)繼電器特性第67頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四類型非線性特性描述函數(shù) 負(fù)倒描述函數(shù)曲線 飽和特性死區(qū)特性第68頁，共78頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四類型非線性特性描述函數(shù) 負(fù)倒描