數(shù)學(xué)分析課件第17章多元函數(shù)微分_第1頁
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文檔簡介

3 方向?qū)?shù)與梯度 方向?qū)?shù)的概念 定義1 設(shè)函數(shù) 導(dǎo)數(shù), 記作 存在, 則稱此極限為函數(shù) 在點(diǎn) 沿方向 的方向 若極限 給 方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的一般關(guān)系 當(dāng) 的方向?yàn)?x 軸的負(fù)方向時，則有圖 17 5 其中 證 設(shè) 為 有 (參見圖17 5 ) 在點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在, 且為 的方向余弦 上任一點(diǎn)，于是 (2)由假設(shè)在點(diǎn)可微，則有解 對于二元函數(shù) 來說, 相應(yīng)于 (1) 的結(jié)果為 其中 是 中向量 的方向角 按公式 (1) 可求得 例2 設(shè)函數(shù) 此函數(shù)示于圖 16 15, 已知它在原點(diǎn)不連續(xù) (當(dāng)然 也就不可微)但在始于原點(diǎn)的任何射線上, 都存在 包含原點(diǎn)的充分小的一段，在這一段上 f 的函數(shù)值 恒為零. 于是由方向?qū)?shù)定義, 在原點(diǎn)處沿任何方 向 都有 說明 (i) 函數(shù)在一點(diǎn)可微是方向?qū)?shù)存在的充分條 件而不是必要條件；(ii) 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)同樣不是方向?qū)?shù)存在的必要 條件, 當(dāng)然也不是充分條件 ( 對此讀者應(yīng)能舉出反 例 ) 梯度的概念 則方向?qū)?shù)計(jì)算公式 (1) 又可寫成 的長度 (或模) 為 在定理17.6 的條件下, 若記 方向上的單位向量為 解

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