實對稱矩陣特征值和特征向量

1、一、向量內(nèi)積4.3 實對稱矩陣的特征值和特征向量二、正交向量組四、正交矩陣三、施密特正交化方法五、實對稱矩陣的對角化1. 定義2.性質(zhì)一 、向量內(nèi)積內(nèi)積.(1) 定義(2) 性質(zhì)3. 長度 的長度(或范數(shù)).(3) 單位向量 長度為1的向量. 4 夾角例1解定義1 (1) 零向量與任意向量正交.定義2 兩兩正交且不含零向量的向量組稱為正交向量組.二 、正交向量組證定理1 正交向量組線性無關(guān) .同理可得線性無關(guān),但不是正交向量組.注意：線性無關(guān)向量組未必是正交向量組.解例2定義3 2 、標(biāo)準(zhǔn)正交向量組為標(biāo)準(zhǔn)(規(guī)范)正交向量組.任一線性無關(guān)向量組都可標(biāo)準(zhǔn)正交化 .等價即為可以互相線性表示.-線性無

2、關(guān)向量組正交化的方法：三、施密特(Schmidt)正交化方法 解正交化.例3 將標(biāo)準(zhǔn)正交化2. 把線性無關(guān)向量組(2) 單位化：(1) 正交化: 用施密特(Schmidt)正交化方法解標(biāo)準(zhǔn)正交化.例4 將解練習(xí) 將標(biāo)準(zhǔn)正交化.四、正交矩陣1. 定義2. 性質(zhì) Q為正交矩陣 若Q為正交矩陣, 則 (4) 若P, Q是同階正交矩陣, 則PQ為也是正交矩陣(5) 設(shè)Q為n階實矩陣, 則Q為正交矩陣的充分必要條件是其列(行)向量組是單位正交向量組證Q為正交矩陣 其列向量組是單位正交向量組.即(5) 設(shè)Q為n階實矩陣, 則Q為正交矩陣的充分必要條件是其列(行)向量組是單位正交向量組Q為正交矩陣 其行向量

3、組是單位正交向量組.即解例5 將標(biāo)準(zhǔn)正交化.解例5 定理1 實對稱矩陣的特征值為實數(shù).五、實對稱矩陣的對角化1、實對稱矩陣的特征值與特征向量. 推論 實對稱矩陣的特征向量都是實向量. 定理2 實對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量 正交.證明于是定理2 實對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交.定理3 定理4 具體步驟為：2、利用正交矩陣將實對稱矩陣對角化解例1解例2A 對應(yīng)于特征值 1, 2 的特征向量分別是 ：解例3 設(shè) 3 階實對稱矩陣 A 的特征值是 1, 2, 3,例4 設(shè)解例5 設(shè) A2 = A , 證明：A 的特征值為 0 或 1.證1. 實對稱矩陣的性質(zhì)：六、小結(jié) (1)特征值為實數(shù)； (2)屬于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相等； (4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值2. 利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)將同一個特征值對應(yīng)的特征向量正交化；(4)最后將特征