彈塑性力學(xué)與有限元單元插值函數(shù)的構(gòu)造課件

1、彈塑性力學(xué)與有限元單元插值函數(shù)的構(gòu)造彈塑性力學(xué)與有限元 彈塑性力學(xué)與有限元單元插值函數(shù)的構(gòu)造彈塑性力學(xué)與有限元概述一維單元插值函數(shù)的構(gòu)造Lagrange單元一維單元插值函數(shù)的構(gòu)造Hermite單元三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造二維、三維Lagrange單元族Serendipity單元族單元插值函數(shù)的構(gòu)造單元插值函數(shù)的構(gòu)造概述單元插值函數(shù)的構(gòu)造單元插值函數(shù)的構(gòu)造本章重點(diǎn)和應(yīng)掌握的內(nèi)容用以構(gòu)造單元插值函數(shù)規(guī)范化形式的兩類(lèi)自然坐標(biāo)（和物理坐標(biāo)系同維的曲線(xiàn)坐標(biāo)與和物理坐標(biāo)系不同維的面積坐標(biāo)及體積坐標(biāo)）的建立方法和特點(diǎn)。構(gòu)造單元插值函數(shù)的兩類(lèi)方法（廣義Lagrange插值函數(shù)法和變結(jié)點(diǎn)插值函數(shù)法）的步驟和特點(diǎn)

2、。單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分本章重點(diǎn)和應(yīng)掌握的內(nèi)容單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單單元的分類(lèi)幾何形式一維、二維、三維單元結(jié)構(gòu)形式結(jié)構(gòu)單元、實(shí)體單元一維單元單元和插值函數(shù)的構(gòu)造單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分 在單元的選擇上, 一維單元可以是2節(jié)點(diǎn)線(xiàn)元、3節(jié)點(diǎn)二次元等。單元的分類(lèi)幾何形式一維、二維、三維單元一維單元單元和插值二維單元三維單元單元和插值函數(shù)的構(gòu)造單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分在單元的選擇上, 二維單元常用3/6節(jié)點(diǎn)三角元、4/8/9節(jié)點(diǎn)四邊元等在單元的選擇上, 三維單元常用4/10節(jié)點(diǎn)四面體元、8/20節(jié)點(diǎn)六面體元,特殊

3、情況下, 也可采用五面體元等。二維單元三維單元單元和插值函數(shù)的構(gòu)造單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參由第二章知道：?jiǎn)卧逯岛瘮?shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元（平面問(wèn)題： 3個(gè)結(jié)點(diǎn)， 6 個(gè)自由度 ) 利用3個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo):xi ,yi (i=1,2 3)由第二章知道：?jiǎn)卧逯岛瘮?shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造利用廣義坐標(biāo)，建立有限單元法的插值函數(shù)方法繁瑣，形成的單元矩陣復(fù)雜。問(wèn)題：插值函數(shù)構(gòu)造取決于？必須注意：插值函數(shù)的構(gòu)成不取決于求解的微分方程式，插值函數(shù)構(gòu)造方法僅取決于： 幾何圖形（單元形狀）; 結(jié)點(diǎn)數(shù)量與位置； 以及在

4、單元結(jié)點(diǎn)處規(guī)定的因變量的數(shù)量。單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造利用單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分一維單元插值函數(shù)的構(gòu)造Lagrange單元一維自然坐標(biāo)系n個(gè)結(jié)點(diǎn)構(gòu)造n-1次Lagrange插值多項(xiàng)式：1)結(jié)點(diǎn)i的插值函數(shù)；2)i為第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo),3) 為自然坐標(biāo)即： 為結(jié)點(diǎn)i的n-1次插值函數(shù)， i=1,2n。單元和插值函數(shù)的構(gòu)造單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分一維單元插值函數(shù)的構(gòu)造 的性質(zhì) i=1,2n1) n-1次插值函數(shù),共有n個(gè)項(xiàng)2) 3)單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造一維單元插值函數(shù)的構(gòu)造Lagrange單元 的性質(zhì) i=

5、1,2構(gòu)造一維單元插值函數(shù)：a. Lagrange線(xiàn)性插值 (n=2)單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造一維單元插值函數(shù)的構(gòu)造Lagrange單元構(gòu)造一維單元插值函數(shù)：?jiǎn)卧逯岛瘮?shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造構(gòu)造一維單元插值函數(shù)：b. 二次Lagrange插值 (n=3)一維單元插值函數(shù)的構(gòu)造Lagrange單元單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造構(gòu)造單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造如果要求在單元的公共界面上保持場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性, 則節(jié)點(diǎn)參數(shù)中還應(yīng)當(dāng)包含場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值.

6、 此時(shí)可以采用Hermite插值多項(xiàng)式作為單元插值函數(shù). 對(duì)于一維二節(jié)點(diǎn)元, Hermite插值多項(xiàng)式可以表示為：或者其中Hermite插值多項(xiàng)式具有以下性質(zhì)一維單元插值函數(shù)的構(gòu)造Hermite單元單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造如果單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分并且當(dāng)1=0, 2=1時(shí), 和 是以下形式的三次多項(xiàng)式單元和插值函數(shù)的構(gòu)造一維單元插值函數(shù)的構(gòu)造Hermite單元單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分并且當(dāng)1=0, 2=單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造保持場(chǎng)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的Hermite多項(xiàng)式稱(chēng)為一階Hermite多項(xiàng)式.0

7、階的Hermite多項(xiàng)式就是Lagrange多項(xiàng)式;在節(jié)點(diǎn)處保持至場(chǎng)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的Hermite多項(xiàng)式稱(chēng)為n階Hermite多項(xiàng)式. 在2節(jié)點(diǎn)時(shí),它是的2n+1次多項(xiàng)式.函數(shù)的2階Hermite多項(xiàng)式可以表示為:或者一維單元插值函數(shù)的構(gòu)造Hermite單元單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造保持其中單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造一維單元插值函數(shù)的構(gòu)造Hermite單元其中單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造對(duì)于3節(jié)點(diǎn)三角形單元,引入面積坐標(biāo):Li=Ai/A單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元

8、插值函數(shù)的構(gòu)造面積坐標(biāo)的定義：三角形內(nèi)任一點(diǎn)P,可表示為：P= Li , Lm , Lj 由于三角形的面積坐標(biāo)與該三角形的具體形狀及其在總體坐標(biāo)中的位置無(wú)關(guān)，因此，它是三角形的一種自然坐標(biāo)。在構(gòu)造三角形單元的插值函數(shù)時(shí),普遍采用自然(面積)坐標(biāo)來(lái)形成具體的形函數(shù),其方法直觀簡(jiǎn)單.對(duì)于3節(jié)點(diǎn)三角形單元,引入面積坐標(biāo):Li=Ai/A單元插值函1) 與j-m 邊平行線(xiàn)上的三角形內(nèi)點(diǎn)有相同的值 Li 面積坐標(biāo)的性質(zhì): 單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造iAiAjm2) 角點(diǎn)坐標(biāo)為: i(1,0,0）；j(0,1,0)；m(0,0,1)3) 每邊的方程為：在

9、j-m邊, Li =0；在m-i邊, Lj =0；在i-j邊, Lm =0；4)三個(gè)坐標(biāo)不是獨(dú)立的，只有兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo): Li + Lm + Lj =1.1) 與j-m 邊平行線(xiàn)上的三角形內(nèi)點(diǎn)有相同的值 Li 面積面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系:單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系:單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系:單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系:單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)面積坐標(biāo)的微分計(jì)算：導(dǎo)數(shù)計(jì)算（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）單

10、元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造同理：面積坐標(biāo)的微分計(jì)算：導(dǎo)數(shù)計(jì)算（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）單元插值函數(shù)的構(gòu)另設(shè)，以i-j為參考邊 ,S表示p點(diǎn)到i-j邊的距離根據(jù)形函數(shù)N 的構(gòu)造，N 滿(mǎn)足：用面積坐標(biāo)給出單元插值函數(shù)： 單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造另設(shè)，以i-j為參考邊 ,S表示p點(diǎn)到i-j邊的距離根據(jù)形函角結(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：i 結(jié)點(diǎn)形函數(shù)例：n=3,即單元結(jié)點(diǎn)數(shù)等于3，一次三角形單元，對(duì)于結(jié)點(diǎn)1 ：用面積坐標(biāo)給出單元插值函數(shù)： 單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)

11、造角結(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：i 結(jié)點(diǎn)形函數(shù)例：n=3,即單元結(jié)點(diǎn)數(shù)等于例：當(dāng)n=6時(shí)，每邊有3個(gè)結(jié)點(diǎn)，k=3同理有： 考慮邊中點(diǎn)N4的插值函數(shù), 也滿(mǎn)足：用面積坐標(biāo)給出單元插值函數(shù)： 單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造例：當(dāng)n=6時(shí)，每邊有3個(gè)結(jié)點(diǎn)，k=3同理有： 考慮邊中點(diǎn)N用面積坐標(biāo)給出單元插值函數(shù)： 單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造1) 線(xiàn)性單元：（三結(jié)點(diǎn)三角形單元） 單元的插值函數(shù)可以表示為:Ni=Li （i=1,2,3）2) 二次單元：（六結(jié)點(diǎn)三角形單元） 二次單元有六個(gè)節(jié)點(diǎn),單元插值函數(shù)可以表示為

12、:用面積坐標(biāo)給出單元插值函數(shù)： 單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)用面積坐標(biāo)給出單元插值函數(shù)： 單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造其中, 是通過(guò)除節(jié)點(diǎn)i以外所有節(jié)點(diǎn)的二根直線(xiàn)方程 的左端項(xiàng).例如,當(dāng)i=1時(shí), 分別是通過(guò)節(jié)點(diǎn)4,6的直線(xiàn)方程 的左端項(xiàng)和通過(guò)節(jié)點(diǎn)2,5,3的直線(xiàn)方程 的左端項(xiàng).6145231(, ,0)(0, )(,0,)用面積坐標(biāo)給出單元插值函數(shù)： 單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù) 是節(jié)點(diǎn)i到直線(xiàn)j的正則化的距離(也即面積坐標(biāo)值),因此可以得到形函數(shù):645231(, ,0)(0, )(,0,)用面積坐標(biāo)給出單元插值函數(shù)： 單元插值函數(shù)的

13、構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造 是節(jié)點(diǎn)i到直線(xiàn)j的正則通過(guò)類(lèi)似的步驟, 可以得到其余各點(diǎn)形函數(shù):645231(, ,0)(0, )(,0,)用面積坐標(biāo)給出單元插值函數(shù)： 單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造通過(guò)類(lèi)似的步驟, 可以得到其余各點(diǎn)形函數(shù):645231(,3) 三次單元：（十結(jié)點(diǎn)三角形單元） 單元插值函數(shù)可以表示為:用面積坐標(biāo)給出單元插值函數(shù)： 單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造三角形單元插值函數(shù)的構(gòu)造645231(2/3,1/3,0)789(1/3,2/3,0)(2/3,0,1/3)

14、(1/3,0,1/3)(0,1/3, 2/3)(0,2/3,1/3)10(1/3,1/3,1/3)(i=1,2,3,4)對(duì)于邊內(nèi)節(jié)點(diǎn),例如4節(jié)點(diǎn):對(duì)于中心節(jié)點(diǎn):對(duì)于角節(jié)點(diǎn):3) 三次單元：（十結(jié)點(diǎn)三角形單元） 單元插值函數(shù)可以表示為二維、三維Lagrange單元族：可證明： 1)插值函數(shù)：（一般情況）很明顯，有： 單元結(jié)點(diǎn)： 方向n+1個(gè)點(diǎn) n階插值函數(shù) 方向m+1個(gè)點(diǎn) m階插值函數(shù)單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造二維情況：二維、三維Lagrange單元族：可證明： 常用當(dāng)有：一次單元、二次單元或三次單元2).一次單元4結(jié)點(diǎn)單元（矩形），雙線(xiàn)性Lagrange 這里插值

15、函數(shù)以結(jié)點(diǎn)編號(hào)，而不是兩個(gè)方向。原因是為了在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)方便。二維、三維Lagrange單元族：?jiǎn)卧逯岛瘮?shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造常用當(dāng)有：一次單元、二次單元或三次單元這里插值函數(shù)以結(jié)點(diǎn)編號(hào)3).二次單元 9結(jié)點(diǎn)矩形單元 (記作： ) 插值函數(shù)： 內(nèi)部中結(jié)點(diǎn)： 邊中結(jié)點(diǎn)： 角結(jié)點(diǎn)：二維、三維Lagrange單元族：?jiǎn)卧逯岛瘮?shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造3).二次單元 9結(jié)點(diǎn)矩形單元 (記作： 由33次Lagerange 展開(kāi)式所產(chǎn)生的項(xiàng)是 3次完全多項(xiàng)式由nn次Lagerange 展開(kāi)式所產(chǎn)生的項(xiàng)是 n次完全多項(xiàng)式二維、三維Lagrange單元族：?jiǎn)卧?/p>

16、值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造由33次Lagerange 展開(kāi)式所產(chǎn)生的項(xiàng)是 3次完全多2.Lagrange單元族的特點(diǎn)：1)Lagrange單元族、插值函數(shù)構(gòu)造方便2)但存在一些問(wèn)題：以二維為例， a)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)較多 (n-1)(m-1)個(gè),單元的次數(shù)越高，插值函數(shù)構(gòu)造方便。相應(yīng)自由度增多。二維、三維Lagrange單元族：?jiǎn)卧逯岛瘮?shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造b)但非完全高次項(xiàng)較多，位移模式包括的多項(xiàng)式的項(xiàng)為：2.Lagrange單元族的特點(diǎn)：二維、三維Lagrange通常：p次多項(xiàng)式，結(jié)點(diǎn)數(shù)n，n=(p+1)2一次單元：多項(xiàng)式 4(項(xiàng)):完全的一次式:

17、 3, 75%;多余的高次項(xiàng)：1, 25%二次單元： 9(項(xiàng)):完全的二次式: 6, 67%;多余的高次項(xiàng)：3, 33%三次單元： 16(項(xiàng))完全的三次式: 10, 62.5%,多余的高次項(xiàng)：6, 37.5%而多余的項(xiàng)對(duì)于提高單元精度沒(méi)有多少好處。給我們提出一個(gè)問(wèn)題：如何減少一些不必要的項(xiàng)，以提高效率。二維、三維Lagrange單元族：?jiǎn)卧逯岛瘮?shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造通常：p次多項(xiàng)式，結(jié)點(diǎn)數(shù)n，n=(p+1)2二維、三維Lag此類(lèi)單元 Zienkiewicz 首先提出，現(xiàn)在使用較多,目的是減少內(nèi)部結(jié)點(diǎn),顯然，如果是線(xiàn)性單元，則得到的問(wèn)題與Lagrange單元族一樣。Se

18、rendipity單元族單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造作用是：不改變精度的條件下，減少內(nèi)部結(jié)點(diǎn)，即對(duì) Lagrange 單元簡(jiǎn)化.此類(lèi)單元 Zienkiewicz 首先提出，現(xiàn)在使用較多,目Serendipity單元族單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造對(duì)于二次以上的單元,就減少內(nèi)部結(jié)點(diǎn)：1) 8結(jié)點(diǎn)四邊形二維單元右下圖表示邊中結(jié)點(diǎn)5插值函數(shù)的變化規(guī)律：方向二次Lagrange插值，方向一次Lagrange插值， 顯然滿(mǎn)足，Serendipity單元族單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值2)角結(jié)點(diǎn)插值函數(shù)：雙線(xiàn)性插值函數(shù)構(gòu)成以 為例，顯然： a)b)為了滿(mǎn)足 ，需要修正上述函數(shù)Serendipity單元族單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造2)角結(jié)點(diǎn)插值函數(shù)：雙線(xiàn)性插值函數(shù)構(gòu)成Serendipity角結(jié)點(diǎn)插值函數(shù)也可以按照以下劃線(xiàn)法構(gòu)成:以(1)和(1)的乘積與通過(guò)其相鄰的兩邊中點(diǎn)的直線(xiàn)方程相乘構(gòu)成,以保證在兩個(gè)鄰邊和對(duì)邊滿(mǎn)足插值函數(shù)為零.很容易驗(yàn)證上式與前面已有的相同：Serendipity單元族單元插值函數(shù)的構(gòu)造、等參元和數(shù)值積分單元和插值函數(shù)的構(gòu)造角結(jié)點(diǎn)插值函數(shù)也可以按照以下劃線(xiàn)法構(gòu)成:以(1)和(13）二次變結(jié)點(diǎn)與二次 Lagrange 單元 Serendipity單元族單元插值函數(shù)的構(gòu)造