《工程力學》動載荷

1、工程力學-動載荷11.2慣性力的問題 桿件在靜載荷作用下產(chǎn)生的應(yīng)力和變形分別稱為靜應(yīng)力和靜變形。 若載荷使桿件內(nèi)各質(zhì)點產(chǎn)生的加速度較顯著，或者載荷隨時間而變化，則這樣的載荷稱為動載荷。 在動載荷作用下，桿件產(chǎn)生的應(yīng)力和變形分別稱為動應(yīng)力和動變形。 勻加速直線運動時構(gòu)件的慣性力和動應(yīng)力 當構(gòu)件各點的加速度為已知時或可以求出時，可以采用動靜法求解構(gòu)件的動應(yīng)力問題。這類問題稱為慣性力問題。例11-1 梁由鋼索起吊，以等加速度a上升(如圖11-2 所示)。已知梁的橫截面面積為A，彎曲截面系數(shù)為Wz，單位體積的重力為。求梁中央截面上的最大動應(yīng)力。解：(1) 受力分析當?shù)踯囈缘燃铀俣萢起吊時，梁除了受自重

2、(載荷集度為qst A )和鋼索橫截面起吊的拉力，還需附加梁由于自重引起的慣性力，其集度為 ，在這些力的共同作用下，梁處于假想的平衡狀態(tài)。在這些力的共同作用下，梁處于假想的平衡狀態(tài)。于是，梁的載荷集度為 鋼索起吊的拉力為 (2) 計算內(nèi)力 梁中央截面上的彎矩為 （a）(3) 計算梁中央截面上的最大動應(yīng)力 相應(yīng)的應(yīng)力(一般稱為動應(yīng)力)為 （b） 當加速度等于零時，由上式求得桿件在靜載下的應(yīng) （c）故梁中央截面上的最大動應(yīng)力d可以表示為 （d）括號中的因子可稱為動荷系數(shù)，并記為 （e） 于是式(d)寫成 (f)這表明動應(yīng)力等于靜應(yīng)力乘以動荷系數(shù)。強度條件可以寫為 (g)由于在動荷系數(shù)Kd中已經(jīng)包含

3、了動載荷的影響，所以即為靜載許用應(yīng)力。 等角速度轉(zhuǎn)動時構(gòu)件的應(yīng)力計算 如圖11-3(a)所示,設(shè)飛輪的平均半徑為R，輪緣的橫截面面積為A，材料每單位體積的重量為，飛輪旋轉(zhuǎn)的角速度為。若不計輪輻對于輪緣的影響，可將飛輪簡化為一個繞著中心旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)如圖11-3(b)所示。由于此圓環(huán)作等角速度轉(zhuǎn)動，因而環(huán)內(nèi)各點只有向心加速度。又因飛輪的輪緣厚度遠比飛輪的平均半徑小，可以認為環(huán)上各點的向心加速度與圓環(huán)軸線上各點的加速度相等。即aN =2R。根據(jù)動靜法，將集度為 的離心慣性力加在圓環(huán)軸線上，就可像靜載荷那樣進行計算。 用截面法把輪緣對稱截開，保留上半部分，并用 表示截面上的拉應(yīng)力，由靜力學平衡條件F y

4、 =0 ，得經(jīng)過積分并簡化得 將qd之值代入上式得式中v為飛輪在半徑R處的切向線速度。根據(jù)強度條件，為保證飛輪安全，必須使 所以 v由此可見，飛輪轉(zhuǎn)速的提高，應(yīng)有一定限制。所允許的飛輪最大切向線速度v ，取決于許用應(yīng)力和材料單位體積的重量，而與飛輪的直徑以及輪緣的截面尺寸無關(guān)。11.3 疲勞強度與疲勞強度 交變應(yīng)力與疲勞失效的概念 交變應(yīng)力引起的失效與靜應(yīng)力作用下全然不同。在交變應(yīng)力作用下，雖然應(yīng)力低于屈服極限，但長期反復之后，構(gòu)件也會突然斷裂。即使是塑性較好的材料，斷裂前卻無明顯的塑性變形。這種現(xiàn)象稱為疲勞失效。 疲勞失效是構(gòu)件在名義應(yīng)力低于強度極限，甚至低于屈服極限的情況下，突然發(fā)生斷裂。

5、 交變應(yīng)力的循環(huán)特征、應(yīng)力幅和平均應(yīng)力 圖11-9表示按正弦曲線變化的應(yīng)力 與時間t的關(guān)系。由a到b應(yīng)力經(jīng)歷了變化的全過程又回到原來的數(shù)值，稱為一個應(yīng)力循環(huán)。完成一個應(yīng)力循環(huán)所需要的時間(如圖中的T)，稱為一個周期。以 和 分別表示循環(huán)中的最大和最小應(yīng)力，比值 (11-1) 稱為交變應(yīng)力的循環(huán)特征或應(yīng)力比。max和min代數(shù)和的二分之一稱為平均應(yīng)力，即m=(max+min) (11-2)max和min代數(shù)差的二分之一稱為應(yīng)力幅，即m=(maxmin) (11-3)若交變應(yīng)力的max和min大小相等，符號相反，例如圖11-6 中的火車軸就是如此，這種情況稱為對稱循環(huán)。 這時由公式(11-1)、(

6、11-2)和(11-3)得r = 1，m = 0，a =max (b)各種應(yīng)力循環(huán)中，除對稱循環(huán)外，其余情況統(tǒng)稱為不對稱循環(huán)。由公式11-2 和11-3知 max =m+a，min =ma (11-4) 可見，任一不對稱循環(huán)都可看成是，在平均應(yīng)力m上疊加一個幅度為a的對稱循環(huán)。這一點已由圖11-9表明。若應(yīng)力循環(huán)中的min =0 (或max= 0 )，表示交變應(yīng)力變動于某一應(yīng)力與零之間。圖 11-5中齒根A點就是這樣的。這種情況稱為脈動循環(huán)。這時r = 0，m =a=1/2max 或 r = ，a =m=min。 靜應(yīng)力也可看作是交變應(yīng)力的特例，這時應(yīng)力并無變化，故r =1，max=m =a。

7、11.4 持久極限及其影響因素 交變應(yīng)力與疲勞失效的概念 在對稱循環(huán)下測定疲勞強度指標，技術(shù)上比較簡單，最為常見。測定時將金屬加工成d = 7 10mm，表面光滑的試樣(光滑小試樣)，每組試樣約為 10 根左右。把試樣裝于疲勞實驗機上(圖11-10)，使它承受純彎曲。在最小直徑截面上，最大彎曲應(yīng)力為 保持載荷F的大小和方向不變，以電動機帶動試樣旋轉(zhuǎn)。每旋轉(zhuǎn)一周，截面上的點便經(jīng)歷一次對稱應(yīng)力循環(huán)。試驗時，使第一根試樣的最大應(yīng)力max，1較高，約為強度極限b的70%。經(jīng)歷N1次循環(huán)后，試樣疲勞。N1稱為應(yīng)力為max，1時的疲勞壽命(簡稱壽命)。然后，使第二根試樣的應(yīng)力max，2略低于第一根試樣，疲

8、勞時的循環(huán)數(shù)為N2。一般說，隨著應(yīng)力水平的降低，循環(huán)次數(shù)(壽命)迅速增加。逐步降低應(yīng)力水平，得出各試樣疲勞時的相應(yīng)壽命。以應(yīng)力為縱坐標，壽命N為橫坐標，由試驗結(jié)果描成的曲線，稱為應(yīng)力-壽命曲線或S N 曲線(圖11-11)。鋼試樣的疲勞實驗表明，當應(yīng)力降到某一極限值時，S N 曲線趨近于水平線。這表明只要應(yīng)力不超過這一極限值，N可無限增長，即試樣可以經(jīng)歷無限次循環(huán)而不發(fā)生疲勞。交變應(yīng)力的這一值稱為疲勞極限或持久極限。對稱循環(huán)的持久極限記為-1，下標“ -1”表示對稱循環(huán)的循環(huán)特征為r = 1。 常溫下的實驗結(jié)果表明，若鋼制試樣經(jīng)歷107次循環(huán)仍未疲勞，則再增加循環(huán)次數(shù)，也不會疲勞。所以，就把在

9、107次循環(huán)下仍未疲勞的最大應(yīng)力，規(guī)定為鋼材的持久極限，而把N0 =107稱為循環(huán)基數(shù)。有色金屬的S N曲線無明顯趨于水平的直線部分。通常規(guī)定一個循環(huán)基數(shù)，例如N0 =108，把它對應(yīng)的最大應(yīng)力作為這類材料的“條件”持久極限。 構(gòu)件外形的影響 構(gòu)件外形的突然變化，例如構(gòu)件上有槽、孔、缺口、軸肩等，將引起應(yīng)力集中。在應(yīng)力集中的局部區(qū)域更易形成疲勞裂紋，使構(gòu)件的持久極限顯著降低。在對稱循環(huán)下，若以(-1) d或(-1) d 表示無應(yīng)力集中的光滑試樣的持久極限；(-1) d或(-1) d表示有應(yīng)力集中因素，且尺寸與光滑試樣相同的試樣的持久極限，則比值 或 稱為有效應(yīng)力集中因數(shù)。 構(gòu)件尺寸的影響 在對

10、稱循環(huán)下，若光滑小試樣的持久極限為-1，光滑大試樣的持久極限為(-1) d，則比值 稱為尺寸因數(shù)，其數(shù)值小于1。對扭轉(zhuǎn)，尺寸因數(shù)為 (11-7) 構(gòu)件表面質(zhì)量的影響 若表面磨光的試樣的持久極限為(-1)d，而表面為其他加工情況時構(gòu)件的持久極限為(-1)，則比值 (11-8)稱為表面質(zhì)量因數(shù)。 11.5 對稱循環(huán)下構(gòu)件的疲勞強度計算 對稱循環(huán)下，構(gòu)件的持久極限由公式 來計算。將除以安全因數(shù)n得許用應(yīng)力為 （a） 構(gòu)件的強度條件應(yīng)為 max 或max (b) 式中max是構(gòu)件危險點的最大工作應(yīng)力。也可把強度條件寫成由安全因數(shù)表達的形式。由(b)式知 n (c)上式左側(cè)是構(gòu)件持久極限 與最大工作應(yīng)力

11、max之比，代表構(gòu)件工作時的安全儲備，稱為構(gòu)件的工作安全因數(shù)，用來表示，即 (d)于是強度條件(c)可以寫成 (11-11)將公式(11-9)代入(d)式，便可把工作安全因數(shù)和強度條件表為 n (11-12)若為扭轉(zhuǎn)交變應(yīng)力，公式(12.12)應(yīng)寫成 n (11-13) 例11-3 某減速器第一軸如圖11-15所示。鍵槽為端銑加工，A-A 截面上的彎矩 M = 860N.m，軸的材料為A5鋼，b = 520MPa ，-1 = 220MPa。若規(guī)定安全因數(shù)n =1.4，試校核截面A-A的強度。 解：計算軸在A-A截面上的最大工作應(yīng)力。若不計鍵槽對彎曲截面系數(shù)的影響，則A-A截面的彎曲截面系數(shù)為

12、=12.3cm3= 12.310-6 m3 軸在不變的彎矩M作用下旋轉(zhuǎn)，故為彎曲變形下的對稱循環(huán)。 max= =70106 Pa=70Mpa min=-70Mpa r = -1 現(xiàn)在確定軸在A-A截面上的系K、。由圖11-13(a)中的曲線2查得端銑加工的鍵槽，當b = 520MPa時，K=1.65。由表11-1查得= 0.84。由表11-2，使用插入法，求得= 0.936。 把以上求得的max、K、等代入公式(11-12)，求出A-A處的工作安全因數(shù)為 規(guī)定的安全因數(shù)為n =1.4。所以，軸在截面A-A處滿足強度條件式(11-11)。 11.6 持久極限曲線 在非對稱循環(huán)的情況下，用r表示持

13、久極限，r的腳標r代表循環(huán)特征。如圖11-16所示。 選取以平均應(yīng)力m為橫軸，應(yīng)力幅a為縱軸的坐標系如圖11-17所示。對任一個應(yīng)力循環(huán)，由它的m和a便可在坐標系中確定一個對應(yīng)的P點。由公式max =m+a，min =ma 知，若把一點的 縱、橫坐標相加，就是該點所代表的應(yīng)力循環(huán)的最大應(yīng)力，即 a+m=max (a)由原到P點作射線OP，其斜率為 tan (b) 11.7 非對稱循環(huán)下構(gòu)件的疲勞強度計算 例11-4 圖11-19所示圓桿上有一個沿直徑的貫穿圓孔，非對稱交變彎矩為Mmax = 5Mmin = 512Nm。材料為合金鋼，b = 950MPa ，s = 540MPa ，-1 = 430MPa， =0.2。圓桿表面經(jīng)磨削加工。若規(guī)定安全因數(shù)n = 2，ns =1.5，試校核此桿的強度。 解：(1) 計算圓桿的工作應(yīng)力。 cm3 Pa =81.5Mpa =16.3Mpa =0.2 =48.9Mpa =32.6 Mpa (2) 確定系數(shù)K、。按照圓桿的尺寸，。由圖11-13(