信息與通信自動(dòng)控制原理課件大全4-2

1、第二節(jié) 知識(shí)要點(diǎn) 掌握繪制根軌跡的八個(gè)規(guī)律 掌握0度根軌跡的手工繪制方法 理解0度根軌跡與180度根軌跡的區(qū)別 掌握參數(shù)根軌跡的手工繪制方法一、根軌跡的根本規(guī)律1、根軌跡的起始點(diǎn)與終止點(diǎn)；4、根軌跡的漸近線；2、根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性和分支數(shù)；3、實(shí)軸上的根軌跡；5、根軌跡在實(shí)軸上的別離點(diǎn)和別離角；6、根軌跡的起始角和終止角(復(fù)數(shù)零極點(diǎn))；7、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；8、根之和。特征方程可寫(xiě)為：規(guī)律一 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。根軌跡終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。1當(dāng)m=n時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均為有限的值。討論：2當(dāng)mn時(shí)，即開(kāi)環(huán)

2、零點(diǎn)數(shù)大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n條根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)(稱為有限極點(diǎn))外，還有m-n條根軌跡起始于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無(wú)限極點(diǎn))。參數(shù)根軌跡 根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)(K*0)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)(K*)；如果開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，那么有n-m條根軌跡終止于s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，那么有m-n條根軌跡起始于s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處。結(jié)論：規(guī)律二 根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性和分支數(shù) 根軌跡的分支數(shù)(條數(shù))等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)n。(根軌跡描述特征根的變化規(guī)律) 根軌跡是連續(xù)的曲線。(K*是連續(xù)變化的) 根軌跡總是對(duì)稱于實(shí)軸。(實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)數(shù)學(xué)模型的系數(shù)是實(shí)數(shù)特征根不是實(shí)數(shù)

3、就是共軛復(fù)數(shù)) 結(jié)論：根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的曲線，其分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)。規(guī)律三 實(shí)軸上的根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)其中p1、p2、p3、z1、z2為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，p3、p4、z3、z4為共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)。假設(shè)實(shí)軸上某點(diǎn)右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，那么該點(diǎn)在實(shí)軸的根軌跡上。只有s0點(diǎn)右側(cè)實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足相角條件。 p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0151424323S0點(diǎn)符合相角條件：每一對(duì)共軛復(fù)數(shù)形式的零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量的相角之和為2；實(shí)軸上的零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量的相角只有0和兩種情況。規(guī)律四 漸近線 當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)

4、m時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，反響n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，漸近線也有n-m條，且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn)(對(duì)稱性)。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸正方向的夾角： 證明：思路：研究s值很大時(shí)根軌跡近似直線的表達(dá)方式通過(guò)列寫(xiě)直線的方程。多項(xiàng)式除法證明：研究s值很大時(shí)根軌跡近似直線的表達(dá)方式通過(guò)列寫(xiě)直線的方程。當(dāng)s值非常大時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以近似為：由特征方程G(s)H(s)=-1得漸進(jìn)線方程為：由二項(xiàng)式定理當(dāng)s值非常大時(shí)，近似有令實(shí)部和虛局部別相等得：點(diǎn)斜式方程漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸正方向的夾角： 例 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫(huà)出該系統(tǒng)根軌

5、跡的漸近線。 解 該系統(tǒng)n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實(shí)軸交點(diǎn) 為它們與實(shí)軸正方向的夾角分別是 根軌跡的漸近線swj-4-3-2-10BCAas60-60300as180四種情況下的漸近線規(guī)律五 根軌跡的別離點(diǎn)和別離角 兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開(kāi)的點(diǎn)，稱為根軌跡的別離點(diǎn)。 常見(jiàn)的根軌跡別離點(diǎn)位于實(shí)軸上。實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間或兩個(gè)相鄰的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間，至少有一個(gè)別離點(diǎn)。別離點(diǎn)也可能以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上。 實(shí)軸上的別離點(diǎn) 復(fù)平面上的別離點(diǎn) swj-4-3-2-10別離點(diǎn)swj4p3p1p2pAB0sd1d2Cs別離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實(shí)根實(shí)軸

6、上的別離點(diǎn)或重共軛復(fù)根復(fù)平面上的別離點(diǎn)。 別離點(diǎn)的坐標(biāo)d是以下方程的解：證明：閉環(huán)特征方程有重根的條件為：變換形式1、當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)無(wú)有限零點(diǎn)時(shí)，應(yīng)取 別離點(diǎn)方程為 。 2、只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的別離點(diǎn)。別離點(diǎn)確實(shí)定需代入特征方程中驗(yàn)算。3、只有當(dāng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布非常對(duì)稱時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)復(fù)平面上的別離點(diǎn)。說(shuō)明例 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函，試求出系統(tǒng)根軌跡別離點(diǎn)。 解 本系統(tǒng)無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，所以 d2=-2.58不在根軌跡上上，舍去。 d1=-1.42是實(shí)軸根軌跡上的點(diǎn)，根軌跡在實(shí)軸上的別離點(diǎn)。比照較復(fù)雜的方程(次數(shù)大于2)，也可用試探法求解。別離角：根軌跡進(jìn)入別離點(diǎn)的切線方向和離開(kāi)別離點(diǎn)的切線方向之間

7、的夾角。設(shè)l為進(jìn)入別離點(diǎn)的根軌跡的條數(shù)，那么別離角當(dāng)l=2時(shí)，別離角為起始角pi 根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。 規(guī)律六 起始角與終止角 wjs3P2P1P0s1pq2pq終止角zi 根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。1z2z所以證明： 設(shè)A為根軌跡上離極點(diǎn)pi很近的一點(diǎn)。A離pi很近A點(diǎn)滿足相角條件同理得：代入：進(jìn)一步具體分析起始角與終止角的表示。例 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 其中p1和p2為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，各零級(jí)點(diǎn)在s平面上的分布如以下圖。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1的起始角p1。 sswj1z1p2p0解 對(duì)于根軌跡上無(wú)限靠近p1

8、的點(diǎn)A，由相角條件可得 由于A點(diǎn)無(wú)限靠近p1點(diǎn) sswj1z1p2p3p)(31pp-)(21pp-)(11zp-01pqA角度替換后得：規(guī)律七 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)由此可得虛部方程和實(shí)部方程為 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根實(shí)部為零。用s=j代入特征方程可得 解虛部方程可得角頻率c，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)值；用c代入實(shí)部方程，可求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值 。 對(duì)如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。例 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函如下，試求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 及相應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值 。令s=j并代入特征方程得其虛部和實(shí)部方程分別為解 系統(tǒng)特征方程是解方程

9、組得： 當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程將會(huì)遇到困難，此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。規(guī)律八 根之和 當(dāng)n-m2時(shí)，閉環(huán)傳函特征根之和等于開(kāi)環(huán)傳函所有極點(diǎn)之和(常數(shù))。證明：n-m2時(shí)，將開(kāi)環(huán)傳函表示的特征式展開(kāi)后得：將閉環(huán)極點(diǎn)表示的特征式展開(kāi)后得：兩式相等當(dāng)一些根隨K*的增加而增加時(shí)，必有另一些根隨K*的增加而減小。當(dāng)K*變化時(shí)，隨K*變化的n個(gè)閉環(huán)特征根的和具有常數(shù)性。在根軌跡圖上表現(xiàn)為一些根軌跡分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸。(根軌跡的自平衡性)結(jié)論根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益值K*的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。要標(biāo)出一

10、些特殊點(diǎn)的K*值，如起點(diǎn)(K*0)，終點(diǎn)(K*)；根軌跡在實(shí)軸上的別離點(diǎn)d(K*=Kd*)；與虛軸的交點(diǎn)(K*=Kr*)。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)s及其對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益K*，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合。根軌跡的起點(diǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)pi)用符號(hào)“標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn)(開(kāi)環(huán)零點(diǎn)zj)用符號(hào)“o標(biāo)示。手工繪圖時(shí)還需注意：第三節(jié) 知識(shí)要點(diǎn)了解廣義根軌跡的概念掌握參數(shù)根軌跡和零度根軌跡的繪制方法掌握繪制廣義參數(shù)根軌跡時(shí)閉環(huán)傳函的變形方法掌握零度根軌跡和廣義根軌跡的區(qū)別根軌跡的分類(lèi)常規(guī)根軌跡： 負(fù)反響系統(tǒng)中K*變化時(shí)的根軌跡廣義根軌跡 根軌跡增益K*以外，其它情形下的根軌跡參數(shù)根軌跡零度

11、根軌跡定義：以非根軌跡增益(比方比例微分環(huán)節(jié)或慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) )為可變參數(shù)繪制的根軌跡。閉環(huán)傳函等效閉環(huán)系統(tǒng)其開(kāi)環(huán)傳函與常規(guī)根軌跡的開(kāi)環(huán)傳函具有相同形式變形參數(shù)根軌跡繪制思路：解題關(guān)鍵：要將開(kāi)環(huán)傳函變形，將非開(kāi)環(huán)增益的參數(shù)變換到開(kāi)環(huán)增益的地位 而且繪制根軌跡的相角、幅值條件和根本法那么均 是根據(jù)特征方程得到的。2假設(shè)選其它參量為可變參數(shù)，可以利用等效傳遞函數(shù) 構(gòu)造一個(gè)新系統(tǒng)，使其特征方程與原系統(tǒng)的特征 方程相同的概念，將系統(tǒng)特征方程也轉(zhuǎn)化為上式 的形式，以所選可變參量a代替K1位置： 1中選K1為可變參量時(shí)，特征方程為上一節(jié)的相角、幅值條件和繪制法那么都依然有效。 (1)以比例一微分環(huán)節(jié)的

12、時(shí)間常數(shù)為參量例 如以下圖系統(tǒng)，繪出以時(shí)間常數(shù)T為參量 的根軌跡。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：分子分母同除以 由閉環(huán)傳函標(biāo)準(zhǔn)形式知等效系統(tǒng)中等效系統(tǒng)為繪制T從0變化時(shí)原系統(tǒng)的根軌跡如以以下圖：由開(kāi)環(huán)傳函原系統(tǒng)和等效系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函不同，但它們具有相同的閉環(huán)傳函。繪出的根軌跡是參數(shù)T從0到變化時(shí)原系統(tǒng)閉環(huán)特征根的變化軌跡，因?yàn)榈刃到y(tǒng)與原系統(tǒng)的特征根是一樣的。說(shuō) 明等效變形時(shí)要化成閉環(huán)傳函的標(biāo)準(zhǔn)形式(分母中要出現(xiàn)“1+的形式)。繪制步驟(1)列出原系統(tǒng)的特征方程。(2)以特征方程中不含參量的項(xiàng)去除特征方程，得到等效系統(tǒng)的根軌跡方程，該方程中原系統(tǒng)的參量為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。(3)繪

13、制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參量根軌跡。(2)以慣性環(huán)節(jié)的慣性時(shí)間常數(shù)為參量例 如以下圖系統(tǒng)，繪出以時(shí)間常數(shù)T 為 參量的根軌跡。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ：閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ：分子分母同除以 由閉環(huán)傳函標(biāo)準(zhǔn)形式知等效系統(tǒng)中所以等效系統(tǒng)為原因：閉環(huán)特征式等于開(kāi)環(huán)傳函的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的和，開(kāi)環(huán)傳函為G(s)H(s)和1/G(s)H(s)時(shí)，系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式相同。作出的根軌跡是相同的特征方程的根隨同一個(gè)參數(shù)變化的軌跡，因此，根軌跡的形狀相同。 對(duì)于開(kāi)環(huán)傳函分母的階數(shù)小于分子的階數(shù)，無(wú)法用MATLBA繪制根軌跡。解決方法：繪制的根軌跡。開(kāi)環(huán)傳函：閉環(huán)傳函：進(jìn)一步說(shuō)明兩系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函，分別繪

14、制系統(tǒng)的根軌跡如下：繪制T從 0變化時(shí)原系統(tǒng)的根軌跡如以以下圖：說(shuō) 明 得到的根軌跡圖和開(kāi)環(huán)傳函為G(s)H(s)的根軌跡圖相比：形狀上相同；起點(diǎn)和終點(diǎn)相反(零極點(diǎn)相反)；根軌跡增益互為倒數(shù)。定義：如果負(fù)反響系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分 母中s最高次冪系數(shù)不同號(hào)，或者正反響系 統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函的分子、分母中s最高次冪同 號(hào)，系統(tǒng)根軌跡為零度根軌跡。零度根軌跡m個(gè)零點(diǎn)n個(gè)極點(diǎn)nm幅值條件“+“-“1幅角條件（k =0, 1, 2, ） “2k”正反響系統(tǒng)的根軌跡由根軌跡方程1-G(s)H(s)=0推得相角條件為所以，零度根軌跡和常規(guī)根軌跡相比但凡和相角有關(guān)系的規(guī)律都要發(fā)生變化。實(shí)軸上的根軌跡：假設(shè)實(shí)軸上某點(diǎn)右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，那么該點(diǎn)在實(shí)軸的根軌跡上。漸進(jìn)線與實(shí)軸的夾角為 根軌跡的起始角和終止角 變化的規(guī)律根軌跡的分支數(shù) (相同)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) (相同)根軌跡的對(duì)稱性 (相同)實(shí)鈾上的根軌跡：實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)(實(shí)軸上)開(kāi) 環(huán)實(shí)零、