選修2-3教案：121排列

1、文檔編碼 : CQ1M10Z8Z2Q8 HV10I3Z10J7S8 ZA9Q1V8Z8J81 2 1 排列教學(xué)目標(biāo)：學(xué)問與技能：明白排列數(shù)的意義,把握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法,從中體會(huì)“ 化歸” 的數(shù)學(xué)思 想,并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算；過程與方法：能運(yùn)用所學(xué)的排列學(xué)問,正確地解決的實(shí)際問題 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：能運(yùn)用所學(xué)的排列學(xué)問,正確地解決的實(shí)際問題 .教學(xué)重點(diǎn)： 排列、排列數(shù)的概念 教學(xué)難點(diǎn)： 排列數(shù)公式的推導(dǎo) 授課類型： 新授課 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 第一課時(shí) 一、復(fù)習(xí)引入：1 分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情,完成它可以有 n 類方法,在第一類方法中有 m 種不同的方法,在其次類方法中

2、有 m 種不同的方法, ,在第 n 類方法中有 m 種不同的方法 那么完成這件事共有 N m 1 m 2 m 種不同的方法2. 分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事情,完成它需要分成 n 個(gè)步驟,做第一步有 m 種不同的方法,做其次步有 m 種不同的方法, ,做第 n 步有 m 種不同的方法,那么完成這件事有 N m 1 m 2 m n 種不同的方法分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題,區(qū)分在于 :分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“ 分類”問題 ,其中各種方法相互獨(dú)立,每一種方法只屬于某一類 ,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“ 分步” 問題

3、,各個(gè)步驟中的方法相互依存 ,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個(gè)步驟 ,只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事 應(yīng)用兩種原懂得題 :1.分清要完成的事情是什么；2.是分類完成仍是分步完成 ,“ 類” 間相互獨(dú)立, “ 步” 間相互聯(lián)系；3.有無特別條件的限制二、講解新課：1 問題：?jiǎn)栴} 1從甲、乙、丙3 名同學(xué)中選取2 名同學(xué)參加某一天的一項(xiàng)活動(dòng),其中一名同學(xué)參加上午的活動(dòng),一名同學(xué)參加下午的活動(dòng),有多少種不同的方法？分析： 這個(gè)問題就是從甲、乙、丙 3 名同學(xué)中每次選取 2 名同學(xué), 依據(jù)參加上午的活動(dòng)在前, 參加下午活動(dòng)在后的次序排列,一共有多少種不同的排法的問題,共有 6 種不同的排

4、法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙,其中被取的對(duì)象叫做 元素解決這一問題可分兩個(gè)步驟：第 1 步,確定參加上午活動(dòng)的同學(xué),從 3 人中任選 1 人,有 3 種方法；第 2 步,確定參加下午活動(dòng)的同學(xué),當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后,參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從余下的 2 人中去選, 于是有 2 種方法 依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,在 3 名同學(xué)中選出 2 名,依據(jù)參加上午活動(dòng)在前,參加下午活動(dòng)在后的次序排列的不同方法共有 3 2=6 種,如圖 1.2 一 1 所示圖 1.2 一 1 把上面問題中被取的對(duì)象叫做元素,于是問題可表達(dá)為：從3 個(gè)不同的元素 a , b ,；中任取 2 個(gè),然后依據(jù)確定的次序排

5、成一列,一共有多少種不同的排列方法？全部不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 3 2=6 種問題 2從 1,2,3,4這 4 個(gè)數(shù)字中,每次取出3 個(gè)排成一個(gè)三位數(shù),共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？分析 ：解決這個(gè)問題分三個(gè)步驟：第一步先確定左邊的數(shù),在 4 個(gè)字母中任取1 個(gè), 有4 種方法； 其次步確定中間的數(shù),從余下的 3 個(gè)數(shù)中取, 有 3 種方法； 第三步確定右邊的數(shù),從余下的 2 個(gè)數(shù)中取,有2 種方法由由分步計(jì)數(shù)原理共有：4 3 2=24 種不同的方法, 用樹型圖排出, 并寫出全部的排列此可寫出全部的排法明顯,從 4 個(gè)數(shù)字中,每次取出 3 個(gè),按“ 百” “

6、十” “ 個(gè)” 位的次序排成一列,就得到一個(gè)三位數(shù) 因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù)可以分三個(gè)步驟來解決這個(gè)問題：第 1 步,確定百位上的數(shù)字,在 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個(gè)數(shù)字中任取 1 個(gè),有 4 種方法；第 2 步,確定十位上的數(shù)字, 當(dāng)百位上的數(shù)字確定后, 十位上的數(shù)字只能從余下的 3 個(gè)數(shù)字中去取,有 3 種方法；第 3 步,確定個(gè)位上的數(shù)字,當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后,個(gè)位的數(shù)字只能從余下的 2 個(gè)數(shù)字中去取,有 2 種方法這 4 個(gè)不同的數(shù)字中,每次取出 3 個(gè)數(shù)依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,從 1 , 2 , 3 , 4 字,按“ 百”“ 十” “ 個(gè)” 位

7、的次序排成一列,共有4 3 2=24 種不同的排法,因而共可得到24 個(gè)不同的三位數(shù),如圖1. 2一 2 所示由此可寫出全部的三位數(shù)：123,124, 132, 134, 142, 143,213,214, 231, 234, 241, 243,312,314, 321, 324, 341, 342,412,413, 421, 423, 431, 432 ；同樣,問題 2 可以歸結(jié)為：從 4 個(gè)不同的元素 a, b, c,d 中任取 3 個(gè),然后依據(jù)確定的次序排成一列,共有多少 種不同的排列方法？全部不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, b

8、ca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有 4 3 2=24 種. 樹形圖如下 a b 2排列的概念：從 n 個(gè)不同元素中,任取 m （ m n ）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）依據(jù)確定的次序排成一列,叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的 一個(gè)排列說明：（1）排列的定義包括兩個(gè)方面：取出元素,按確定的次序排列；（2）兩個(gè)排列相同的條件：元素完全相同,元素的排列次序也相同 3排列數(shù)的定義：n 個(gè)元素中取 從 n 個(gè)不同元素中,任取 m （ m n ）個(gè)元素的全部排列的個(gè)

9、數(shù)叫做從出 m 元素的 排列數(shù) ,用符號(hào) A 表示 n m留意區(qū)分排列和排列數(shù)的不同：“ 一個(gè)排列” 是指：從 n 個(gè)不同元素中,任取 m 個(gè)元素 依據(jù)確定的次序 排成一列,不是數(shù)； “ 排列數(shù)” 是指從 n 個(gè)不同元素中,任取 m （ m n ）m 個(gè)元素的全部排列的個(gè)數(shù),是一個(gè)數(shù) 所以符號(hào) A 只表示排列數(shù),而不表示具體的排列4排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：由2 A 的意義：假定有排好次序的 n2 個(gè)空位,從 n 個(gè)元素a a 1 2,a 中任取 2 個(gè)元素去 n填空, 一個(gè)空位填一個(gè)元素,每一種填法就得到一個(gè)排列,反過來,任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到,因此,全部不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)述

10、填空共有n n1種填法,2 A = n n12 A 由分步計(jì)數(shù)原理完成上求由此,求3 A 可以按依次填3 個(gè)空位來考慮,3 A = n n1n2,m A 以按依次填 m 個(gè)空位來考慮m A nn n1 nm1,2n排列數(shù)公式：m A nn n1 n2nm1（m nN,mn）說明：（ 1）公式特點(diǎn)：第一個(gè)因數(shù)是n ,后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少 1,最終一個(gè)因數(shù)是 n m 1,共有 m 個(gè)因數(shù)；（2）全排列 ：當(dāng) n m 時(shí)即 n 個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列全排列數(shù)：A n nn n 1 n 2 2 1 n （叫做 n 的階乘 ）另外,我們規(guī)定 0. =1 . 4 5 18 13例 1用運(yùn)算器

11、運(yùn)算： 1 ）A ； 2 ）A ; 3）A 18 A 13 .解：用運(yùn)算器可得：由（ 2 3 ）我們看到,5 A 1818 A 1813 A 13那么,這個(gè)結(jié)果有沒有一般性呢？即m A nn A n nn. n m A n mm .排列數(shù)的另一個(gè)運(yùn)算公式：即m A nn n1 n2nm1. 0,n n1n2nm1nm 3 2 1nn.=n A nnm nm13 2 1m .n mA n mm A =nn.10m .例 2解方程： 33 A x22 A x12 6 A 解：由排列數(shù)公式得：3 x x1x22x1x6 x x1,x3,3x1x22x16x1,即3 x217x解得x5或x2,x3,且

12、 xN ,原方程的解為x53例 3解不等式：x A 96x A 92解：原不等式即99.69.x.,x11也就是91x .11x6x 9x .,化簡(jiǎn)得：x221x1040, 10解得x8或x13,又 2x9,且 xN ,所以,原不等式的解集為2,3,4,5,6,7例 4求證：（1）n A nm A nn mA n m；（2）2 . n2 n .1 3 52n1證明：（ 1）m A nn m A n mnn.nm .n.n A ,原式成立m .（2）2 . n2 n .2n2n1 2nn24 3 2 1n 2.2nnn12 1 2n12n33 1n 2n.n. 1 32n.32n11 3 52n

13、1右邊n原式成立說明：（ 1）解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要留意排列數(shù)m A 中,m nN 且 mn 這些限制條件,要留意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范疇；式（2）公式m A nn n1 n2nm1常用來求值,特別是m n 均為已知時(shí),公m A =nn .,常用來證明或化簡(jiǎn)n.1； 1 1.22.3 3.nn.m .例 5化簡(jiǎn)：1232.3.4.n解：原式1.11111n11.1112.2.3.3.4.n.n.提示：由n1 .n1n.nn .n ,得n n.n1 .n ,原式n1 . 1說明：n.1n11.1nn.其次課時(shí)例 1課本 例 2某年全國(guó)足球甲級(jí)（A 組）聯(lián)賽共有14 個(gè)隊(duì)參加

14、,每隊(duì)要與其余各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別競(jìng)賽一次,共進(jìn)行多少場(chǎng)競(jìng)賽？解：任意兩隊(duì)間進(jìn)行 1 次主場(chǎng)競(jìng)賽與 1 次客場(chǎng)競(jìng)賽, 對(duì)應(yīng)于從 14 個(gè)元素中任取 2 個(gè)元2素的一個(gè)排列因此,競(jìng)賽的總場(chǎng)次是 A =14 13=182. 例 2課本 例 31 ）從 5 本不同的書中選 3 本送給 3 名同學(xué),每人各 1 本,共有多少種不同的送法？2 ）從 5 種不同的書中買 3 本送給 3 名同學(xué),每人各 1 本,共有多少種不同的送法？解：1 ）從 5 本不同的書中選出 3 本分別送給 3 名同學(xué), 對(duì)應(yīng)于從 5 個(gè)不同元素中任取3 個(gè)元素的一個(gè)排列,因此不同送法的種數(shù)是3A =5 4 3=60. 2 ）由于有

15、5 種不同的書,送給每個(gè)同學(xué)的 給 3 名同學(xué)每人各 1 本書的不同方法種數(shù)是 5 5 5=125. 1 本書都有 5 種不同的選購(gòu)方法,因此送例 8 中兩個(gè)問題的區(qū)分在于： 1 ）是從 5 本不同的書中選出 3 本分送 3 名同學(xué),各人得到的書不同,屬于求排列數(shù)問題；而（ 2 ）中,由于不同的人得到的書可能相同,因此不符合使用排列數(shù)公式的條件,只能用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行運(yùn)算例 3課本 例 4用 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分 析：在本問題的；到 9 這 10 個(gè)數(shù)字中,由于；不能排在百位上,而其他數(shù)可以排在任意位置上,因此； 是一個(gè)特別的元素題一般的,

16、我們可以從特別元素的排列位置人手來考慮問解法 1：由于在沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,百位上的數(shù)字不能是 O,因此可以分兩步完成排列第 1 步,排百位上的數(shù)字,可以從 1 到 9 這九個(gè)數(shù)字中任選 1 個(gè),有 A 種選法；第 12 步,排十位和個(gè)位上的數(shù)字,可以從余下的 9 個(gè)數(shù)字中任選 2 個(gè),有 A 種選法（圖 9 21.2 一5 依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,所求的三位數(shù)有1 A 92 A =9 9 8=648（個(gè)） . 解法 2 ：如圖 1.2 一 6 所示,符合條件的三位數(shù)可分成 3 類每一位數(shù)字都不是位數(shù)有 A 母?jìng)€(gè),個(gè)位數(shù)字是 O 的三位數(shù)有揭個(gè),十位數(shù)字是 0 的三位數(shù)有揭個(gè)依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)

17、原理,符合條件的三位數(shù)有3 A 92 A 92 A =648 個(gè)3解法 3：從 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字中任取 3 個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 A ,其中 O 在百位上的排列數(shù)是 A ,它們的差就是用這 210 個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù),即所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是3 2A -A =10 9 8-9 8=648. 對(duì)于例 9 這類計(jì)數(shù)問題,可用適當(dāng)?shù)姆椒▽栴}分解,而且摸索的角度不同,就可以有不同的解題方法解法 1 依據(jù)百位數(shù)字不能是；的要求, 分步完成選 3 個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事,依據(jù)的是分步乘法計(jì)數(shù)原理；解法 2 以 O 是否顯現(xiàn)以及顯現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn), 分類完成這件事情,依

18、據(jù)的是分類加法計(jì)數(shù)原理；解法 3 是一種逆向摸索方法：先求出從 10 個(gè)不同數(shù)字中選 3 個(gè)不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù),然后從中減去百位是；的排列數(shù)（即不是三位數(shù)的個(gè)數(shù)） ,就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)從上述問題的解答過程可以看到,引進(jìn)排列的概念,以及推導(dǎo)求排列數(shù)的公式,可以更加簡(jiǎn)便、快捷地求解“ 從 n 個(gè)不同元素中取出 m m n）個(gè)元素的全部排列的個(gè)數(shù)” 這類特別的計(jì)數(shù)問題1.1 節(jié)中的例 9 是否也是這類計(jì)數(shù)問題？你能用排列的學(xué)問解決它嗎？四、課堂練習(xí) ： 1 如 x n .,就 x（ ）3. A A n 3 B A n n 3 C A 3 n D A n 332與 A 10 3A 不等的

19、是 7（ ）9 8 9 10 A A 10 B 81A 8 C 10A 9 D A 105 33如 A m 2 A ,就 m 的值為（ ） A 5 B 3 C 6 D 75 64運(yùn)算：2 A 9 36 A 9；n 1 m 1.9. A 10 A m 1 m n .5如 2 mm 1.1 42,就 m 的解集是A m 1m6（ 1）已知 A 10 10 9 5,那么 m；（ 2）已知 9. 362880 ,那么 A = ；7（3）已知 A n 256,那么 n；（4）已知 A n 27 A n 24,那么 n7一個(gè)火車站有 8 股岔道,停放 4 列不同的火車,有多少種不同的停放方法（假定每股岔道

20、只能停放 1 列火車）？8一部紀(jì)錄影片在 4 個(gè)單位輪映,每一單位放映 1 場(chǎng),有多少種輪映次序？答案： 1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. 2,3,4,5,66. 1 6 2 181440 3 8 4 5 7. 1680 8. 24 鞏固練習(xí)： 書本 20 頁, ,4,5,6課外作業(yè)：第27 頁習(xí)題 1.2 A 組 1 , 2 , 3,4,5 教學(xué)反思：排列的特點(diǎn)：一個(gè)是“ 取出元素” ；二是“ 依據(jù)確定次序排列” , “ 確定次序” 就是與位置有關(guān), 這也是判定一個(gè)問題是不是排列問題的重要標(biāo)志；依據(jù)排列的定義,兩個(gè)排列相同,且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素完全相同,而且元素的排列次序也相

21、同 . 明白排列數(shù)的意義,掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法,從中體會(huì)“ 化歸” 的數(shù)學(xué)思想,并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算；對(duì)于較復(fù)雜的問題,一般都有兩個(gè)方向的列式途徑,一個(gè)是“ 正面湊”,一個(gè)是“ 反過來剔” 前者指,依據(jù)要求,一點(diǎn)點(diǎn)選出符合要求的方案；后者指,先按全局性的要求,選出方案, 再把不符合其他要求的方案剔出去明白排列數(shù)的意義,把握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法,從中體會(huì)“ 化歸” 的數(shù)學(xué)思想,并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算；第三課時(shí)例 1（1）有 5 本不同的書,從中選3 本送給 3 名同學(xué),每人各1 本,共有多少種不同的送法？（2）有 5 種不同的書, 要買 3 本送給 3 名同學(xué), 每人各 1 本,共

22、有多少種不同的送法？解：（1）從 5 本不同的書中選出3 本分別送給3 名同學(xué), 對(duì)應(yīng)于從 5 個(gè)元素中任取3 個(gè)元素的一個(gè)排列,因此不同送法的種數(shù)是：3 A 55 4 360,所以,共有60 種不同的送法（ 2）由于有 5 種不同的書,送給每個(gè)同學(xué)的1 本書都有 5 種不同的選購(gòu)方法,因此送給3 名同學(xué),每人各1 本書的不同方法種數(shù)是：555125 ,所以,共有125 種不同的送法說明： 此題兩小題的區(qū)分在于：第（1）小題是從 5 本不同的書中選出 3 本分送給 3 位同學(xué),各人得到的書不同,屬于求排列數(shù)問題；而第（2）小題中,給每人的書均可以從 5 種不同的書中任選 1 種,各人得到那種書

23、相互之間沒有聯(lián)系,要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行運(yùn)算例 2某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3 面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào),每次可以任意掛 1 面、2 面或 3 面,并且不同的次序表示不同的信號(hào),一共可以表示多少種不同的信號(hào)？解：分 3 類：第一類用1 面旗表示的信號(hào)有1 A 種；33232 115,其次類用 2 面旗表示的信號(hào)有2 A 種；第三類用 3 面旗表示的信號(hào)有3 A 種,3由分類計(jì)數(shù)原理,所求的信號(hào)種數(shù)是：1 A 32 A 33 A 3答：一共可以表示15 種不同的信號(hào)例 3將 4 位司機(jī)、 4 位售票員支配到四輛不同班次的公共汽車上,每一輛汽車分別有一位司機(jī)和一位售票員,共有多少種不同的支配方

24、案？分析： 解決這個(gè)問題可以分為兩步,第一步： 把 4 位司機(jī)支配到四輛不同班次的公共汽車上,即從 4 個(gè)不同元素中取出 4 個(gè)元素排成一列,有 A 種方法；4其次步：把 4 位售票員支配到四輛不同班次的公共汽車上,也有 A 種方法,4 4利用分步計(jì)數(shù)原理即得支配方案的種數(shù)解：由分步計(jì)數(shù)原理,支配方案共有N4 A 44 A 4576（種）答：共有 576 種不同的支配方案例 4用 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法 1：用分步計(jì)數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：1 A 92 A 999 8648數(shù)字都不解法 2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位是 0 的三位

25、數(shù)有3 A 個(gè),個(gè)位數(shù)字是0 的三位數(shù)有2 A 個(gè),十位數(shù)字是0 的三位數(shù)有2 A 9個(gè),由分類計(jì)數(shù)原理,符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：A 9 3 A 9 2 A 9 2 6483解法 3：從 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字中任取 3 個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 A ,其中以 0 為排頭的排列2 3 2 2數(shù)為 A ,因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是 A 10 A 9 648-A 說明： 解決排列應(yīng)用題,常用的摸索方法有直接法和間接法直接法：通過對(duì)問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惡头植?直接運(yùn)算符合條件的排列數(shù)如解法 1,2；間接法：對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題, 可先不考慮限制條件,把全部情形的種數(shù)求出來,然后再減去不符合限制

26、條件的情形種數(shù)如解法 3對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題,要恰當(dāng)?shù)卮_定分類與分步的標(biāo)準(zhǔn),防止重復(fù)與遺漏第四課時(shí)例 5（1）7 位同學(xué)站成一排,共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：7 個(gè)元素的全排列A 50407 7（2）7 位同學(xué)站成兩排（前 解：依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：3 后 4）,共有多少種不同的排法？7 6 5 4 3 2 17！ 5040（ 3）7 位同學(xué)站成一排,其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的6 個(gè)元素的全排列A =7206（ 4）7 位同學(xué)站成一排,甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有 A 種；2其次步 余

27、下的 5 名同學(xué)進(jìn)行全排列有 A 種,所以,共有 5 5A 2 2 A =240 種排列方法 5 5（5）7 位同學(xué)站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法 1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5 位同學(xué)中選 2 位同學(xué)站在排頭和排2 5尾有 A 種方法；其次步從余下的 5 位同學(xué)中選 5 位進(jìn)行排列（全排列）有 A 種方法,所以2 5一共有 A 5 A 2400 種排列方法解法 2：（排除法）如甲站在排頭有 A 種方法；如乙站在排尾有 6A 種方法；如甲站在 6排頭且乙站在排尾就有 A 種方法, 所以,甲不能站在排頭,5 5乙不能排在排尾的排法共有 A 7 76 52A

28、 A =2400 種說明： 對(duì)于“ 在” 與“ 不在” 的問題,常常使用“ 直接法” 或“ 排除法”,對(duì)某些特別元素可以優(yōu)先考慮例 6. 從 10 個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6 個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單,假如某女演員的獨(dú)唱節(jié)目確定不能排在其次個(gè)節(jié)目的位置上,就共有多少種不同的排法？解法一：（從特別位置考慮）1 5A 9A 9136080；6 A ,9解法二：（從特別元素考慮）如選：5 5 A ；如不選：9就共有55 A 96 A 9136080種；解法三：（間接法）6 A 105 A 9136080第五課時(shí)例 7 7 位同學(xué)站成一排,（1）甲、乙兩同學(xué)必需相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“ 捆綁

29、” 在一起看成一個(gè)元素與其余的5 個(gè)元素（同學(xué)）一起 2 A 種方法所以這樣的進(jìn)行全排列有6 A 種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“ 松綁” 進(jìn)行排列有排法一共有6 A 62 A 21440種（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上,一共有5 A 53 A 720 種（3）甲、乙兩同學(xué)必需相鄰,而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“ 捆綁” 在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有 6 個(gè)元素,由于丙不能站在排頭和排尾, 所以可以從其余的 5 個(gè)元素中選取 2 個(gè)元素放在排頭和排尾,有 A 種 5 24方法；將剩下的 4 個(gè)元素進(jìn)行全排列有 A 種方法；最終將甲、

30、乙兩個(gè)同學(xué)“ 松綁” 進(jìn)行排列有 A 種方法所以這樣的排法一共有 2A 5 2A 4 4A 960 種方法 2解法二：將甲、乙兩同學(xué)“ 捆綁” 在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有 6 個(gè)元素,如丙站在排頭或排尾有 2 A 種方法,56 5 2所以,丙不能站在排頭和排尾的排法有 A 6 2 A 5 A 2 960 種方法解法三：將甲、乙兩同學(xué)“ 捆綁” 在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有 6 個(gè)元素,由于丙1不能站在排頭和排尾,所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有 A 種方法,再將其余的 5 個(gè)元5素進(jìn)行全排列共有 A 種方法,最終將甲、乙兩同學(xué)“ 松綁”,所以,這樣的排法一共有1 5 2A 4 A 5 A

31、 960 種方法（4）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)必需站在一起,另外四個(gè)人也必需站在一起解：將甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)“ 捆綁” 在一起看成一個(gè)元素,另外四個(gè)人“ 捆綁” 在一起看成一個(gè)元素,時(shí)一共有2 個(gè)元素,一共有排法種數(shù)：3 4 2A A A 3 4 2288（種）說明： 對(duì)于相鄰問題,常用“ 捆綁法”（先捆后松） 例 8 7 位同學(xué)站成一排,（1）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）7 A 76 A 62 A 23600；解法二：（插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有5 A 種方法,此時(shí)他們留下六個(gè)位置（就稱為“ 空” 吧） ,再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置（空）有2 A 種方法,所以

32、一共有5 2A 5A 63600種方法（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？4 解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有 A 種方法,此時(shí)他們留下五個(gè)“ 空”,再將甲、乙和丙三3 4 3 個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“ 空” 有 A 種方法,所以一共有 A 4 A 1440 種說明： 對(duì)于不相鄰問題,常用“ 插空法” （特別元素后考慮）第六課時(shí)例 95 男 5 女排成一排,按以下要求各有多少種排法：次序排列（1）男女相間；（2）女生按指定解：（1）先將男生排好,有A 種排法；再將 5 55 名女生插在男生之間的6 個(gè)“ 空擋” （包5A 種排法；余下括兩端）中,有5 2A 種排法故此題的排法有N25

33、A 55 A 528800（種）；（2）方法 1：NA 10 105 A 1030240；5 A 5方法 2：設(shè)想有 10 個(gè)位置,先將男生排在其中的任意5 個(gè)位置上,有的 5 個(gè)位置排女生,由于女生的位置已經(jīng)指定,所以她們只有一種排法故此題的結(jié)論為N5 A 10130240（種）高考題1（ 天津卷）如圖,用6 種不同的顏色給圖中的4 個(gè)格子涂色,每個(gè)格子涂一種顏色,要求最多使用3 種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同,就不同的涂色方法共有 390 種（用數(shù)字作答） 2（ 江蘇卷）某校開設(shè) 9 門課程供同學(xué)選修,其中 A B C 三門由于上課時(shí)間相同,至多項(xiàng)一門,學(xué)校規(guī)定每位同學(xué)選修 4 門,共有 75 種不同選修方案； （用數(shù)值作答）3（ 北京卷）記