數(shù)學(xué)建模作業(yè)新

1、The final edition was revised on December 14th, 2020.習(xí)題一 在節(jié)存儲(chǔ)模型中的總費(fèi)用中增加購(gòu)買(mǎi)貨物本身的費(fèi)用，重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量。證明在不允許缺貨模型和允許缺貨模型中結(jié)果都與原來(lái)一樣。一、 不允許缺貨的存儲(chǔ)模型問(wèn)題分析 若生產(chǎn)周期短、產(chǎn)量少，會(huì)使存儲(chǔ)費(fèi)用小，準(zhǔn)備費(fèi)用大，貨物價(jià)格不變；而周期長(zhǎng)、產(chǎn)量多，會(huì)使存儲(chǔ)費(fèi)大，準(zhǔn)備費(fèi)小，貨物價(jià)格不變。所以必然存在一個(gè)最佳周期，使總費(fèi)用最小。顯然，應(yīng)建立一個(gè)優(yōu)化模型。模型假設(shè) 為了處理的方便，考慮連續(xù)模型，即設(shè)生產(chǎn)周期T和產(chǎn)量Q為連續(xù)量。根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)作如下假設(shè)：（1） 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r。

2、（2） 每次生產(chǎn)費(fèi)用為c，每天每件產(chǎn)品存儲(chǔ)費(fèi)為c，購(gòu)買(mǎi)每件貨物所需費(fèi)用為21c.3（3） 生產(chǎn)能力為無(wú)限大（相對(duì)于需求量），當(dāng)存儲(chǔ)量降為零時(shí)，Q件 產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來(lái)供給需求，即不允許缺貨。模型建立 將存儲(chǔ)量表示為時(shí)間t的函數(shù)q（t），t=0生產(chǎn)Q件，存儲(chǔ)量q(0)=Q，q(t)以需求速率r遞減，直到q(T)=0，如圖，顯然有：Q=rTqQ -A圖（1）不允許缺貨模型的存儲(chǔ)量q（t）0Tt一個(gè)周期內(nèi)的存儲(chǔ)費(fèi)是cq(t)dt,其中積分恰好等于圖中三角形面積QT/2，因2為一個(gè)周期的準(zhǔn)備費(fèi)是c，購(gòu)買(mǎi)每件貨物的費(fèi)用為c，得到一個(gè)周期的總費(fèi)用13為：C=c+cQT/2+r Tc=c+c r T/2+ r

3、 T c321則每天的平均費(fèi)用是2312C(T)=c/T+r c+c r T/2132上式為這個(gè)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)。模型求解 求T使上式的C最小。容易得到T=2c/（cr）則Q=2cr/c1212二、允許缺貨的存儲(chǔ)模型(1) 模型假設(shè)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r。(2) 每次生產(chǎn)費(fèi)用為c，每天每件產(chǎn)品存儲(chǔ)費(fèi)為c，購(gòu)買(mǎi)每件貨物所需費(fèi)用為c.123(3) 生產(chǎn)能力為無(wú)限大（相對(duì)于需求量），允許缺貨，每天每件損失費(fèi)為c 但缺4,貨數(shù)量需在下次生產(chǎn)（或訂貨）時(shí)補(bǔ)足。，模型建立 因存儲(chǔ)量不足造成缺貨時(shí)，可以認(rèn)為存儲(chǔ)量函數(shù)q(t)為負(fù)值，如圖所示，周期仍記為T(mén),Q是每周期初的存儲(chǔ)量，當(dāng)t=T時(shí)q(t)=0,于

4、是有 Q=r T11qQ_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _R rt圖（2）允許缺貨模型的存儲(chǔ)量q(t)在T到T這段時(shí)間內(nèi)需求率r不變，q(t)按原斜率繼續(xù)下降。由于規(guī)定缺貨量需1補(bǔ)足，所以在t=T時(shí)數(shù)量為R的產(chǎn)品立即到達(dá)，使下周期初的存儲(chǔ)量恢復(fù)為Q.所以 C=c+cQT/2+ r Tc+cr(T-T)/221213將模型的目標(biāo)函數(shù)-每天的平均費(fèi)用-記作T和Q的二元函數(shù)41C(T,Q)=c/T+cQ/(2rT)+ +r c+c(Rt-Q)/(2Tr)22123模型求解 利用微分法求T和Q使C(T,Q)最小，令dC/dT=0 ,dC /dQ =0,可得3T =2c(c+c)/(rc

5、c) , Q 2crc/(c(c+c)=1242 414223由以上兩個(gè)模型可以看出在不允許缺貨模型和缺貨模型中結(jié)果都與原來(lái)一樣存儲(chǔ)模型問(wèn)題：建立不允許缺貨存儲(chǔ)模型。設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)k，銷售速率為常數(shù)r,kr,在每個(gè)生產(chǎn)周期T內(nèi),開(kāi)始的一段時(shí)間（0tT一邊生產(chǎn)一邊銷售,后來(lái)0的一段時(shí)間TtT只銷售不生產(chǎn).畫(huà)出儲(chǔ)存量q(t)的圖形,設(shè)每次生產(chǎn)0準(zhǔn)備費(fèi)為c,單位時(shí)間每件產(chǎn)品儲(chǔ)存費(fèi)為c,以總費(fèi)用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生12產(chǎn)周期。討論Kr和Kr的情況。問(wèn)題分析：在t T時(shí)間內(nèi)kr有儲(chǔ)存量以kr速率增加，在TtT時(shí)間內(nèi)，00儲(chǔ)存量以r速率遞減，而一個(gè)周期的總費(fèi)用為C（t）與生產(chǎn)周期，產(chǎn)量與需求量，生產(chǎn)準(zhǔn)備

6、費(fèi)，儲(chǔ)存費(fèi)之間的關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)模型。可根據(jù)數(shù)學(xué)最值定理求出最優(yōu)周期。模型假設(shè)：為處理方便考慮連續(xù)模型，即生產(chǎn)周期T和生產(chǎn)量Q都是連續(xù)量，故作出如下假設(shè)1. 生產(chǎn)速率為常數(shù)k，銷售速率為常數(shù)r,kr。2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c,單位時(shí)間每件產(chǎn)品儲(chǔ)存費(fèi)為c。123. 開(kāi)始的一段時(shí)間（0tT一邊生產(chǎn)一邊銷售,后來(lái)的一段時(shí)間T00tT只銷售不生產(chǎn).4. 不允許缺貨。模型建立：將存儲(chǔ)量表示為時(shí)間T的函數(shù)q(t)，在0tT，q(t)以的速率增加；0在TtT時(shí)間內(nèi)，q(t)以r的速率遞減，直到q(t) 0 ，如圖所0示，顯然有krt0tT0q(t)=krTrtT TtT000q(t)krT0t則一個(gè)周期內(nèi)的儲(chǔ)存費(fèi)為c q(t)dtt0一個(gè)周期的總費(fèi)用為C（t）= c+ckrT T0則平均費(fèi)用為g(t)=C(t)/T= c /T+ ckrT /T + ckrT（TT）/T2120200由于krT=r（TT）0故g(t)= c /T+ckrrT/2k1模型求解：02使平均費(fèi)用最小的最