高等數(shù)學(xué)方明亮43分部積分法課件

1、新課引入(Introduction)在前一節(jié)，我們利用復(fù)合函數(shù)的求到法則得到了“換元積分法” 。但是，對(duì)于形如的積分用直接積分法或換元積分法都無(wú)法計(jì)算. 注意到，這些積分的被積函數(shù)都有共同的特點(diǎn)都是兩種不同類(lèi)型函數(shù)的乘積。這就啟發(fā)我們把兩個(gè)這就是另一個(gè)基本的積分方法：分部積分法. 函數(shù)乘積的微分法則反過(guò)來(lái)用于求這類(lèi)不定積分，9/26/20221新課引入(Introduction)在前一節(jié)，我們利用復(fù)合函積分得:分部積分公式或1) v 容易求得 ;容易計(jì)算 .由導(dǎo)數(shù)乘法公式：9/26/20222積分得:分部積分公式或1) v 容易求得 ;容易計(jì)算 .由第三節(jié) 分部積分法 第四章 （Integra

2、tion by Parts）例1 求解: 令則 原式另解: 令則 原式9/26/20223第三節(jié) 分部積分法 第四章 （Integration b解: 令則原式 =例2 求（課本 例3）9/26/20224解: 令則原式 =例2 求（課本 例3）9/24/202解: 令則 原式例3 求（課本例4）9/26/20225解: 令則 原式例3 求（課本例4）9/24/202解: 令, 則 原式再令, 則故 原式 =說(shuō)明: 也可設(shè)為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類(lèi)型必須一致 . 例4 求（課本例7）9/26/20226解: 令, 則 原式再令, 則故 原式 =說(shuō)把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 ,按 “ 反對(duì)冪指

3、三” 的順序,前者為 后者為例5（補(bǔ)充題）求解: 令, 則原式 =反: 反三角函數(shù)對(duì): 對(duì)數(shù)函數(shù)冪: 冪函數(shù)指: 指數(shù)函數(shù)三: 三角函數(shù)解題技巧:（自學(xué)課本例56）9/26/20227把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 ,按 “ 反對(duì)冪指三” 的順序,解: 令, 則原式 =例6（補(bǔ)充題）求9/26/20228解: 令, 則原式 =例6（補(bǔ)充題）求9/24/20228解: 令則原式令例7（課本 例10）求9/26/20229解: 令則原式令例7（課本 例10）求9/24/20229解: 令則得遞推公式例8 求（課本 例9）9/26/202210解: 令則得遞推公式例8 求（課本 例9）9/24/202遞

4、推公式已知利用遞推公式可求得例如,說(shuō)明:9/26/202211遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,說(shuō)明:9/24/2022分部積分題目的類(lèi)型:1) 直接分部化簡(jiǎn)積分 ;2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ;(注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類(lèi)型不變 , 解出積分后加 C )例43) 對(duì)含自然數(shù) n 的積分, 通過(guò)分部積分建立遞 推公式 .說(shuō)明:9/26/202212分部積分題目的類(lèi)型:1) 直接分部化簡(jiǎn)積分 ;2) 分部的一個(gè)原函數(shù)是求解:說(shuō)明: 此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.例9 已知（補(bǔ)充題）9/26/202213的一個(gè)原函數(shù)是求解:說(shuō)明: 此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.解法

5、1 先換元后分部令即則故例10 求（補(bǔ)充題）9/26/202214解法1 先換元后分部令即則故例10 求（補(bǔ)充題）9/解法2 用分部積分法9/26/202215解法2 用分部積分法9/24/202215本節(jié)小結(jié)分部積分公式1. 使用原則 :易求出,易積分2. 使用經(jīng)驗(yàn) :“反對(duì)冪指三” , 前 u 后3. 題目類(lèi)型 :分部化簡(jiǎn) ;循環(huán)解出;遞推公式9/26/202216本節(jié)小結(jié)分部積分公式1. 使用原則 :易求出,易積分2. 使課后練習(xí)習(xí)題4-3 （偶數(shù)題）思考與練習(xí)1. 下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里? 應(yīng)如何改正?得 0 = 1答: 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 .9/26/202217課后練習(xí)習(xí)題4-3 （偶數(shù)題）思考與練習(xí)1. 下述運(yùn)2. 求不定積分解：方法1(先分部 , 再換元)令則9/26/2022182. 求不定積分解：方法1(先分部 , 再換元)令則9/24方法2(先換元,再分部)令則故9/26/202219方法2(先換元,再分部)令則故9/24/2022193