基于相似拋物線和插值法的水泵轉(zhuǎn)速確定方法研究

1、基于相似拋物線和插值法的水泵轉(zhuǎn)速確定方法研究我國水資源時(shí)空分布不均，與人口、生態(tài)、經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)布局不相匹配，隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的高速發(fā)展，水資源供需矛盾日益突出，進(jìn)入21世紀(jì)以來，各地建設(shè)大型調(diào)水工程的速度明顯加快。珠江三角洲水資源配置工程是國務(wù)院要求加快建設(shè)的全國172項(xiàng)節(jié)水供水重大水利工程之一，其首級(jí)取水泵站鯉魚洲泵站流量與揚(yáng)程變化幅度極大，因此在設(shè)計(jì)中采用機(jī)組并聯(lián)加變頻調(diào)速的運(yùn)行方式1。目前，我國已建的南水北調(diào)中線工程中的惠南莊泵站、牛欄江-滇池補(bǔ)水工程干河泵站、山西萬家寨引黃工程三級(jí)提水泵站、引漢濟(jì)渭工程黃金峽泵站以及正在建設(shè)的滇中引水工程石鼓水源泵站等，均存在水泵運(yùn)行工況變化復(fù)雜的特點(diǎn)，因此泵

2、站采用了變速調(diào)節(jié)的運(yùn)行方式2-6。大容量變頻調(diào)速技術(shù)的日益成熟，使得單機(jī)大功率且運(yùn)行工況復(fù)雜的水泵變頻調(diào)速成為可能，這既方便了機(jī)組的啟停，又可使機(jī)組在各種復(fù)雜工況下高效運(yùn)行。在泵站設(shè)計(jì)和水泵選型階段，主要關(guān)注水泵的最佳轉(zhuǎn)速7；而在泵站建成投入運(yùn)行后，則要求水泵在滿足用戶需水量要求的情況下運(yùn)行，此時(shí)所需流量已知，且進(jìn)、出水池水位和管路阻力特性已經(jīng)確定，需要確定的是水泵的實(shí)際轉(zhuǎn)速。1 水泵最佳轉(zhuǎn)速的確定對(duì)于揚(yáng)程較高的泵站，當(dāng)進(jìn)、出水池水位變幅較大（即揚(yáng)程變化較大），且多年平均揚(yáng)程與水泵的設(shè)計(jì)揚(yáng)程相差較大時(shí)，或當(dāng)用戶的需水量變化較大時(shí)，常常采用變速調(diào)節(jié)的方法，使得水泵以最高的效率運(yùn)行。水泵在不同工況

3、下工作時(shí)，對(duì)應(yīng)最高效率點(diǎn)的轉(zhuǎn)速稱為最佳轉(zhuǎn)速nopt。如圖1所示，過水泵額定轉(zhuǎn)速n0的流量-揚(yáng)程（Q-H）曲線上對(duì)應(yīng)最高效率工況點(diǎn)A0(QA0,HA0)作相似工況拋物線，該拋物線上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速即為水泵的最佳轉(zhuǎn)速，相似工況拋物線方程如下式所示：H=HA0Q2A0Q2(1)式中：H為與流量相對(duì)應(yīng)的揚(yáng)程；HA0為最高效率工況點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的揚(yáng)程；QA0為最高效率工況點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的流量；Q為流量。圖1最佳轉(zhuǎn)速確定Fig. 1Determination of the optimum speed根據(jù)進(jìn)、出水池水位變幅得到裝置靜揚(yáng)程Hst，然后作裝置需要揚(yáng)程曲線，其與相似工況拋物線的交點(diǎn)為A1、A2等，交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的

4、轉(zhuǎn)速即不同靜揚(yáng)程下的最佳轉(zhuǎn)速，裝置需要揚(yáng)程方程如下式所示：H=Hst+SQ2(2)式中：Hst為裝置靜揚(yáng)程；S為管路系統(tǒng)阻力系數(shù)。聯(lián)立式（1）和（2）可得Q=QA0HstHA0SQ2A0(3)H=HA0HstHA0SQ2A0(4)將所得的Q和H值代入比例律公式即可用解析法求得水泵的最佳轉(zhuǎn)速：nopt=n0A0=n0HstHA0SQ2A0(5)式中：nopt為最佳轉(zhuǎn)速；n0為額定轉(zhuǎn)速。水泵最佳轉(zhuǎn)速的確定對(duì)泵站設(shè)計(jì)以及水泵選型具有一定的參考價(jià)值。而對(duì)于建成投入運(yùn)行泵站，則需要根據(jù)用戶的需水量（即流量）來進(jìn)行調(diào)速。本文提出了基于相似拋物線和變斜率線性插值的方法，對(duì)調(diào)速運(yùn)行中的水泵進(jìn)行轉(zhuǎn)速確定。當(dāng)水泵

5、調(diào)速范圍不大時(shí)、水泵變速后揚(yáng)程和效率不需要修正8，9，可根據(jù)比例律和相似拋物線借助計(jì)算機(jī)程序來求解水泵實(shí)際運(yùn)行轉(zhuǎn)速（簡稱相似拋物線法）；當(dāng)水泵調(diào)速范圍較大、水泵變速后用比例律公式換算產(chǎn)生的誤差較大時(shí)，揚(yáng)程和效率均需要修正10，11，則借助計(jì)算機(jī)的插值程序來求解水泵轉(zhuǎn)速（簡稱插值法）比較合適。2 基于相似工況拋物線的水泵轉(zhuǎn)速確定當(dāng)調(diào)速范圍較小時(shí)，可以認(rèn)為變速前后水泵的效率不變，相似工況點(diǎn)的流量、揚(yáng)程等參數(shù)滿足比例律且相似工況點(diǎn)位于同一條相似拋物線上。為了便于計(jì)算，往往需要根據(jù)水泵性能試驗(yàn)實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)求出水泵擬合性能曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式12，13。2.1基本性能曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式水泵的基本性能曲線可用1組

6、n次多項(xiàng)式來表示，以Q-H性能曲線為例，對(duì)于水泵性能試驗(yàn)實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)(Qi,Hi)，1iN（N為工況點(diǎn)最大個(gè)數(shù)），可用下面的n次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合：H=f(Q)=a0+a1Q+a2Q2+anQn=k=0nakQk(6)式中：i為試驗(yàn)實(shí)測(cè)工況點(diǎn)編號(hào)；Qi、Hi分別為第i個(gè)工況點(diǎn)水泵流量和揚(yáng)程；ak（k=0,1,n）為多項(xiàng)式的系數(shù)。為了使擬合出的近似曲線盡可能地反映所給數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，要求在所有數(shù)據(jù)點(diǎn)上的殘差|i|=|f(Qi)Hi|為較小值。為此可以令上述偏差的平方和i=1N(i)2=i=1Nf(Qi)Hi2為最小值。這種方法稱為最小二乘原則，利用這一原則確定擬合多項(xiàng)式f(x)的方法即為最小二乘法多

7、項(xiàng)式擬合。確定上述多項(xiàng)式的過程也就是確定f(Q)中的系數(shù)ak（k=0,1,n）的過程，根據(jù)最小二乘原則，偏差平方和應(yīng)為系數(shù)ak的函數(shù)，即S(a0,a1,an)=i=1N(i)2=i=1Nf(Qi)Hi2(7)為了使上式取值最小，則其關(guān)于ak（k=0,1,n）的1階導(dǎo)數(shù)應(yīng)為0，即Sa0=i=1N2f(Qi)Hi=0i=1Nf(Qi)=i=1NHiSa1=i=1N2Qif(Qi)Hi=0i=1NQif(Qi)=i=1NQiHiSak=i=1N2kQkif(Qi)Hi=0i=1NQkif(Qi)=i=1NQkiHiSan=i=1N2nQnif(Qi)Hi=0i=1NQnif(Qi)=i=1NQniH

8、i（8）將上面各等式寫成方程組的形式，則有i=1Nf(Qi)=i=1NHia0N+a1i=1NQi+a2i=1NQ2i+ani=1NQni=i=1NHii=1NQif(Qi)=i=1NQiHia0i=1NQi+a1i=1NQ2i+a2i=1NQ3i+ani=1NQn+1i=i=1NQiHii=1NQkif(Qi)=i=1NQkiHia0i=1NQki+a1i=1NQk+1i+a2i=1NQk+2i+ani=1NQn+ki=i=1NQkiHii=1NQnif(Qi)=i=1NQniHia0i=1NQni+a1i=1NQn+1i+a2i=1NQn+2i+ani=1NQ2ni=i=1NQniHi（9

9、）寫成矩陣形式，則有Ni=1NQii=1NQkii=1NQnii=1NQii=1NQ2ii=1NQk+1ii=1NQn+1ii=1NQkii=1NQk+1ii=1NQ2kii=1NQn+kii=1NQnii=1NQn+1ii=1NQn+kii=1NQ2nia0a1akan=i=1NHii=1NQiHii=1NQkiHii=1NQniHi(10)解此方程組，即可求得Q-H曲線數(shù)學(xué)表達(dá)式的系數(shù)ak(k=0,1,n)。為了提高計(jì)算速度和精度，還應(yīng)考慮相關(guān)系數(shù)R和標(biāo)準(zhǔn)殘差s，其表達(dá)式分別為R=i=1N(QiQ)(HiH)i=1N(QiQ)2(HiH)2(11)s=1Ni=1Nk=0nakQkiHi2(

10、12)式中：Q=1Ni=1NQi，H=1Ni=1NHi。相關(guān)系數(shù)表示1組數(shù)據(jù)的離散程度，通過計(jì)算RR值，可確定擬合多項(xiàng)式的方次，以達(dá)到減少不必要的計(jì)算，提高計(jì)算速度的目的。RR值越小，說明該組數(shù)據(jù)的離散程度越大。標(biāo)準(zhǔn)殘差ss表示曲線方程對(duì)各點(diǎn)擬合的程度，ss值越小，說明擬合程度越高。在實(shí)際計(jì)算過程中，為了防止運(yùn)算溢出，QiQi常用QiQQi-Q代替，則擬合多項(xiàng)式為H=a0+a1(QQ)+a2(QQ)2+an(QQ)n=k=0nak(QQ)k(13)利用上述方法即可求出適當(dāng)精度的Q-H、Q-P（軸功率）、Q-NPSH（空化余量）和Q-（水泵效率）曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2.2滿足需水量要求的水泵實(shí)際運(yùn)

11、行轉(zhuǎn)速水泵的性能曲線與水泵的轉(zhuǎn)速有關(guān)。改變水泵的轉(zhuǎn)速，可使水泵的性能曲線發(fā)生改變，從而達(dá)到調(diào)節(jié)水泵工作點(diǎn)的目的。變速調(diào)節(jié)只改變了水泵的性能曲線，裝置需要揚(yáng)程曲線并未改變，如圖2所示。圖中曲線0、1分別為水泵轉(zhuǎn)速為n0n0和n1n1時(shí)的QQ-HH曲線，方程Hr=Hst+SQ2Hr=Hst+SQ2對(duì)應(yīng)的曲線為裝置需要揚(yáng)程（HrHr）曲線。由圖2可知，當(dāng)水泵在轉(zhuǎn)速n0n0下運(yùn)行時(shí)，其工作點(diǎn)為A0A0，對(duì)應(yīng)的流量為QA0QA0；轉(zhuǎn)速減小為n1n1后，工作點(diǎn)變?yōu)锳1A1，流量、功率和效率也分別從原來的QA0QA0、PA0PA0和A0A0變?yōu)镼A1QA1、PA1PA1和A1A1。圖2變速調(diào)節(jié)Fig. 2S

12、peed regulation通常遇到的情況如圖3所示，已知水泵在額定轉(zhuǎn)速為n0n0的Q-H曲線和裝置需要揚(yáng)程曲線Hr=Hst+SQ2Hr=Hst+SQ2，此時(shí)水泵的工作點(diǎn)為A0(QA0,HA0)A0(QA0,HA0)，對(duì)應(yīng)的流量為QA0QA0，但實(shí)際用戶所需流量為QA1QA1，由進(jìn)、出水池水位和管路阻力特性計(jì)算出需要揚(yáng)程為HA1HA1，對(duì)應(yīng)的水泵工作點(diǎn)A1(QA1,HA1)A1(QA1,HA1)不在轉(zhuǎn)速為n0n0時(shí)的Q-H曲線上。為了使水泵能在新的工作點(diǎn)A1A1工作，需要求出轉(zhuǎn)速n1n1。圖3變速調(diào)節(jié)的轉(zhuǎn)速確定Fig. 3Speed determination of variable spe

13、ed regulation假定變速后的轉(zhuǎn)速n1n1和水泵額定轉(zhuǎn)速n0n0相差不大，變速前后各效率可以認(rèn)為是相等的，由比例律可知，水泵的流量、揚(yáng)程與轉(zhuǎn)速的關(guān)系為QA2QA1=n0n1(14)HA2HA1=n20n21(15)只有相似工況拋物線上的工況點(diǎn)才能應(yīng)用比例律來進(jìn)行性能的換算，為此，將所需流量QA1QA1值與揚(yáng)程HA1HA1值代入相似工況拋物線方程H=KQ2=Q2HA1/Q2A1H=KQ2=Q2HA1/QA12，求出K=HA1/Q2A1K=HA1/QA12的值，相似工況拋物線通過點(diǎn)A1A1并與原有的QQ-HH曲線相交于A2A2點(diǎn)，由此求出A2A2點(diǎn)的坐標(biāo)（QA2QA2，HA2HA2），如圖

14、3所示，用下式可求出n1n1：n1=n0QA1QA2(16)由以上可得，采用相似拋物線法數(shù)值求解所需流量QA1QA1所對(duì)應(yīng)水泵轉(zhuǎn)速n1n1的計(jì)算步驟如下：1）將用戶實(shí)際需流量QA1QA1代入裝置需要揚(yáng)程方程Hr=Hst+SQ2Hr=Hst+SQ2，計(jì)算得到變速后工作點(diǎn)A1A1的揚(yáng)程HA1HA1。2）計(jì)算過點(diǎn)A1A1的相似工況拋物線的KK值，K=HA1/Q2A1K=HA1/QA12。3）聯(lián)立求解相似工況拋物線方程和水泵在轉(zhuǎn)速為n0n0時(shí)的QQ-HH曲線方程，如下式所示：H=KQ2H=a0+a1(QQ)+a2(QQ)2+an(QQ)n(17)求解得到的交點(diǎn)坐標(biāo)（QA2QA2，HA2HA2）即為工況

15、點(diǎn)A2A2的流量QA2QA2和揚(yáng)程HA2HA2。4）采用比例律公式，計(jì)算水泵對(duì)應(yīng)于工況點(diǎn)A1A1時(shí)的轉(zhuǎn)速n1n1：n1=n0QA1QA2或n1=n0HA1HA2(18)3 基于插值法的水泵轉(zhuǎn)速確定當(dāng)水泵調(diào)速范圍較大時(shí)，變速前后水泵的流動(dòng)效率不相等，雖然相似工況點(diǎn)的流量、揚(yáng)程等參數(shù)仍滿足相似律，相似工況點(diǎn)仍位于同一條相似曲線上，但該曲線不再為拋物線，無法如前所述推導(dǎo)出相似拋物線方程，基于相似工況拋物線的方法無法實(shí)現(xiàn)對(duì)水泵轉(zhuǎn)速的確定，針對(duì)這種情況，提出了插值法。3.1變速通用性能曲線基本性能曲線反映了水泵在額定轉(zhuǎn)速下的性能。然而，在實(shí)際運(yùn)行中常常采用改變轉(zhuǎn)速的方法來適應(yīng)工況變化對(duì)水泵性能的要求。為

16、此，需要知道水泵在各種不同轉(zhuǎn)速時(shí)的性能。同一直角坐標(biāo)中繪制的一臺(tái)水泵在不同轉(zhuǎn)速時(shí)的一簇性能曲線稱為變速通用性能曲線。通過對(duì)水泵的性能試驗(yàn)，可以得到某一轉(zhuǎn)速下水泵的基本性能曲線，如果在試驗(yàn)中改變水泵轉(zhuǎn)速并重復(fù)試驗(yàn)，可以得到不同轉(zhuǎn)速下水泵相應(yīng)的基本性能曲線。但該曲線使用不方便，且轉(zhuǎn)速變化檔次越多，線條越密集。為便于使用，通常將性能曲線變換為僅在圖中反映不同轉(zhuǎn)速下的QQ-HH曲線，且用等效率線代替不同轉(zhuǎn)速時(shí)的效率曲線，如圖4所示。圖4不同轉(zhuǎn)速下的通用性能曲線Fig. 4General performance curves at different rotating speeds水泵在不同轉(zhuǎn)速下的基本

17、性能曲線還可以通過理論公式換算得到。按照葉片泵的相似理論，同一臺(tái)水泵的轉(zhuǎn)速變化時(shí)，其變化前后的性能是相似的。因此，可以利用相似律換算變速后的性能，即可根據(jù)已知轉(zhuǎn)速的性能曲線換算出另一轉(zhuǎn)速的性能曲線。但相似律只適用于2個(gè)相似的工況，即只有同一條相似工況曲線上的點(diǎn)才能應(yīng)用相似律公式進(jìn)行相似性能換算。水泵變轉(zhuǎn)速下的流量、揚(yáng)程和流動(dòng)效率按下式換算：Q0Q1=n0n1q0q1H0H1=n20n21h0h11h1h0=(n0n1)(19)式中：qq、hh分別為容積效率、水力效率；下標(biāo)0代表額定轉(zhuǎn)速n0n0下的相應(yīng)參數(shù)；下標(biāo)1代表其他任意轉(zhuǎn)速n1n1下的相應(yīng)參數(shù)；由試驗(yàn)確定，不同的文獻(xiàn)所給出的值有所不同，=

18、0.160.514-19，本文按IEC 60193的規(guī)定取=0.169；一般認(rèn)為，水泵改變轉(zhuǎn)速時(shí)其機(jī)械效率mm和容積效率qq不變9，即有q0=q1q0=q1。可以看出，通過實(shí)測(cè)得到的不同轉(zhuǎn)速下通用性能曲線來發(fā)現(xiàn)不同轉(zhuǎn)速下相似工況點(diǎn)之間的關(guān)系是困難的，并且即便使用相似換算，但變速前后效率不相等時(shí)，無法如前所述導(dǎo)出相似工況拋物線方程進(jìn)而求出水泵變速運(yùn)行時(shí)的轉(zhuǎn)速，此時(shí)，采用插值法確定水泵變速調(diào)節(jié)運(yùn)行時(shí)的轉(zhuǎn)速更為合適。3.2插值法確定水泵變速調(diào)節(jié)運(yùn)行時(shí)的轉(zhuǎn)速泵站建成投入運(yùn)行后，水泵機(jī)組一般按用戶需水量要求來運(yùn)行。假定根據(jù)用戶需要的流量確定水泵流量為QAQA，由于水泵的工作點(diǎn)須落在裝置需要揚(yáng)程曲線上，根

19、據(jù)裝置需要揚(yáng)程方程確定水泵揚(yáng)程為HAHA。如圖5所示，裝置需要揚(yáng)程HrHr可表示為Hr=ZdZs+pdpsg+2d2s2g+hs+hd(20)Hst=Htpdpsg(21)hw=hs+hd=SQ2(22)式中：Ht=ZdZsHt=Zd-Zs，為出水池與進(jìn)水池的水位差，ZdZd為出水池的水位，ZsZs為進(jìn)水池的水位；(pdps)/g(pd-ps)/g為出水池與進(jìn)水池的水面壓頭差，pdpd為出水池的壓力，psps為進(jìn)水池的壓力，為水的密度，gg為重力加速度；(2d2s)/2g(d2-s2)/2g為出水池與進(jìn)水池的流速水頭差，一般可忽略，dd為出水池的流速，ss為進(jìn)水池的流速；hshs為進(jìn)水池的水力

20、損失；hdhd為出水池的水力損失；HstHst為裝置的凈揚(yáng)程；hwhw為管路系統(tǒng)中的總水力損失，與阻力系數(shù)和管中流量之間的關(guān)系為hw=SQ2hw=SQ2。因此，裝置的需要揚(yáng)程可寫為Hr=Hst+SQ2(23)由上式可得用戶需水量QAQA所對(duì)應(yīng)的水泵揚(yáng)程HAHA，則問題即為已知水泵流量QAQA和揚(yáng)程HAHA，求水泵轉(zhuǎn)速nAnA。以某水泵為例說明插值法求水泵實(shí)際運(yùn)行轉(zhuǎn)速的過程。假設(shè)已知的工況點(diǎn)為A(QA,HA)A(QA,HA)，如圖6所示，QAQA=10.0 m3/s，HAHA=12.3 m。圖5水泵裝置示意圖Fig. 5Schematic diagram of water pump device

21、圖6某水泵變速運(yùn)行區(qū)域Fig. 6Variable speed operation zone of a water pump1）確定運(yùn)行區(qū)域。假定水泵各不同轉(zhuǎn)速下的性能由試驗(yàn)實(shí)測(cè)得到。插值區(qū)域的上邊界為水泵在最高轉(zhuǎn)速nmaxnmax下的QQ-HH曲線，下邊界為最低轉(zhuǎn)速nminnmin下的QQ-HH曲線，不同轉(zhuǎn)速下的性能曲線采用式（13）的擬合多項(xiàng)式來表達(dá)。插值區(qū)域的左邊界線采用過2點(diǎn)B1(x1,y1)B1(x1,y1)、B2(x2,y2)B2(x2,y2)的直線，B1B1位于下邊界曲線的左側(cè)，B2B2位于上邊界曲線的左側(cè)，B1B1和B2B2為等效率點(diǎn)或相似工況點(diǎn)（兩工況點(diǎn)對(duì)應(yīng)的水泵效率較接近即

22、可，無需完全相等）。插值區(qū)域的右邊界線采用過2點(diǎn)B3(x3,y3)B3(x3,y3)、B4(x4,y4)B4(x4,y4)的直線，B3B3位于下邊界曲線的右側(cè)，B4B4位于上邊界曲線的右側(cè)，B3B3和B4B4為等效率點(diǎn)或相似工況點(diǎn)。如圖6所示。2）左、右邊界兩直線求交點(diǎn)。過2點(diǎn)B1(x1,y1)B1(x1,y1)、B2(x2,y2)B2(x2,y2)的直線方程為(yy1)(x2x1)=(y2y1)(xx1)(24)過2點(diǎn)B3(x3,y3)B3(x3,y3)、B4(x4,y4)B4(x4,y4)的直線方程為(yy3)(x4x3)=(y4y3)(xx3)(25)若兩直線不平行且交點(diǎn)設(shè)為B0(xx,

23、yy)B0(xx,yy)，則B0B0點(diǎn)的坐標(biāo)值可計(jì)算為xx=(y4y3)(x2x1)x3(y2y1)(x4x3)x1(x4x3)(x2x1)(y3y1)(y4y3)(x2x1)(y2y1)(x4x3)yy=(x4x3)(y2y1)y3(x2x1)(y4y3)y1(y4y3)(y2y1)(x3x1)(x4x3)(y2y1)(x2x1)(y4y3)(26)3）求直線B0B0A與各不同轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的QQ-HH曲線的交點(diǎn)。4）用插值法求解對(duì)應(yīng)于流量QAQA時(shí)的轉(zhuǎn)速nAnA。由以上過程可以看出，當(dāng)用戶需要的流量和揚(yáng)程變化時(shí)，則水泵QAQA和HAHA也隨之變化。水泵運(yùn)行工作點(diǎn)A(QA,HA)A(QA,HA)變化時(shí)，直線B0B0A的斜率會(huì)隨工作點(diǎn)的變化而變化，從而避免了直線B0B0A與QQ-HH曲線無交點(diǎn)，導(dǎo)致求解失敗的可能。3.3算例為了便于與相似拋物線法比較，假定在式（19）中=0=0，即變速后相似工況的各效率不變，用戶需要水泵在流量QAQA=10.0 m3/s和揚(yáng)程HAHA=12.3 m下運(yùn)行，水泵運(yùn)行區(qū)域