廣西南寧市2022屆高三第一次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)(理)試題(含答案解析)

1、 PAGE 5 5 頁廣西南寧市 2022 屆高三第一次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理）試題學(xué):姓名班級考號 一、單選題B （1設(shè)集合A x2B 則B （A1,1,2C1,2,3D1,1,2,352已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z (i則| z （）55A25C2D2223已知sin cos ，則sin （）22 2 252425725C 2325D 24254(1 2x)4 的展開式中含x2項的系數(shù)為（）A24B24C16D161111ABCD ABC 1111OAABB的中心，O1ABC 的中心.若 E111111為CD 中點，則異面直線 AE 與OO1111111所成角的余弦值為（）105A2 5BC10

2、555D 5 5設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x x 12, x2022的平均數(shù)為 100，方差為 10，則0.1x1 1,0.1x21的平均數(shù)和方差分別為（）,0.1x2022A10,1B10,0.1C11,1,0.1x20227己知直線l m 2) x m 1)y m 1 0(m R) 與圓C x y 2)2 9 交于B 兩點，則| AB |的最小值為（）5377AB2CD25377sinx cos x 14 14 8函數(shù)f (x) ABAB e 的圖像可能是（）CD過拋物線Cy22pxp0的焦點F 60的直線交拋物線C于ACDAFFBAFFBA3C32D1f (x) 2sin(x0,| 的圖象如圖所示，

3、則下列說法正確的22是（）f (x) 個單位長度，得到新函數(shù)為奇函數(shù)12 8f (x) 的圖象關(guān)于點 80 對稱f (xf (x) 2sin2x 33f (x) 在區(qū)間 上的值域為12632設(shè)FF 是雙曲線C: x2 y2 1(a 0,b 0) 的左 右焦點.若雙曲線 C 上存在點 P 滿足12a2b2PF : PF2:1且F 90，則雙曲線C的漸近線方程是（）1212Ax 2 y 0B2x y 0C5x 4y 0D4x5y 0f (x) 是定義在(0,，都有x f xf x fff 123.1211x x1220.記a ,b , c3.23.13.23.13.2，則（）AabcBbacCc

4、a bDcba二、填空題13已知向量a (2,2),b (1,m)，若(2a b)b ，則實數(shù)m .14已知函數(shù) f (x) x2 x a在x1處取得極值，則f (x) 的極小.ex152021 9 17 3 名英航天員的神舟十二號載人飛船返回艙成功著陸.假設(shè)返回艙 D CB D 的仰角分別為B 間距離為10 千米（其中向量CA與CB同向|CD |約為3 千米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)： 1.732）.33ABCDABD , BCD和ABD均是邊長為23的正三角形，則該三棱錐的外接球體積.三、解答題己知數(shù)列nn 項和為n，滿足Sn nn1, a2 3.求n的通項公式；設(shè)b 1 的前n項和為.若T

5、 2 對于任意n N*恒成立，求 n 的取值范na an圍.nn1nn5某市公安交管部門曾于 2017 涉及電動自行車的交通事故（一般程序）共3558 326 人死亡（因顱腦損傷導(dǎo)致死亡占81.2%，死亡人數(shù)中有263人未佩戴頭盔（占80.7%.駕乘電動自行車必需該市經(jīng)過長期開展安全教 表一是該市某主干路口連續(xù)5 年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕乘人員未佩戴頭盔的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：表一年度20172018201920202021年度序號 x12345未佩戴頭盔人數(shù)y125012001010920870yx，2022 年駕乘人員未佩戴頭盔的人數(shù)；交管部門從2017 202150起作為樣本制作出表二：未佩戴頭盔佩戴頭

6、盔合計傷亡61016無傷亡43034合計104050請問能否有95%的把握認為駕乘電動自行車未佩戴頭盔的行為與事故傷亡有關(guān)？附：參考公式及數(shù)據(jù)：n x y nxyx x y y b i ii1ii1, y x,x y 14710 ；n x22x xi ii1ii1ii1K2n(ad bc)2(ad)(ad)，其中n a b c d .P K 2 k 0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879如圖所示，已知四棱錐PABCDABCD是矩形，平面PAD 底面ABCDAB 1,PA AD 2, E PD 中點.AEPC；PBABCD ，求二面角

7、A CE B 的正弦值.626已知橢圓C: x2 y2 1FFxCB43Bx軸的兩條直線ll12，設(shè)l , l1分別與直線x 4 交于點M N R 是MN 的中點(1)AR/FN ；S(2若AR 與x軸交于點D（異于點R，求S FDN的取值范圍.f xlnxax a 0.x當(dāng)a 1f x的單調(diào)性，并證明：21 1 1 1 3 111 1e4nN*,n2 ；22 32 42 n2 y f xyln2的圖象恰有三個不同的交點，求實數(shù)a的取值范x圍.22x 22 t2在直角坐標(biāo)系xOy 中，直線l 的參數(shù)方程為（t為參數(shù)以O(shè)為極2y2t2點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C 的極坐標(biāo)方程為

8、4sin (1)設(shè)點M (xyC 上的一個動點，求2x y 的取值范圍；x 1 x(2)經(jīng)過變換公式2把曲線C變換到曲線C ，設(shè)點P是曲線C 上的一個動點，y y21 1求點 P 到直線l . 23fx2xm|,(mR) . (1)當(dāng)m0f(xx1|(2)若對任意的 x 1,2 ，不等式 f (x) x 1恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍. PAGE 18 18 頁參考答案：1A【解析】【分析】B .解不等式求得集合A ，由此求得 B .【詳解】x2 9,x2 9x3x30 A3,3， 所以AB 故選：A 2C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)運算求得z ，由此求得z.【詳解】2z (i 1)3 i3 3

9、i2 3i 1 i 3 3i 1 2 2i ，222 222 22故選：C 3C2.已知式由誘導(dǎo)公式變形后平方，然后由平方關(guān)系和正弦的二倍角公式化簡可得【詳解】2因為sin cos ，2 2 252所以cos sin 25，所以2(cossin)2 cos2 2sincos sin2 1sin ，25sin 2 23 25故選：C4B【解析】【分析】結(jié)合二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】(12x)的展開式中含x2的項為C22x4 24x2 ，系數(shù)為24 .故選：B 5B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線AE 與OO1所成角的余弦值.【詳解】設(shè)正方體的邊長為2

10、，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，A2,0,0 E ,O，AE 2,1,0 ,OO111,0,1，設(shè)異面直線 AE 與OO1所成角為 ，AEOOAE OO1AEOOAE OO12521105故選：B6D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的公式計算出正確答案.【詳解】依題意 x 100, S 2 10 ，所以0.1 x 1 0.1100 1 11 ，0.2 S2 0.01100.1.故選：D 7D【解析】【分析】先求得直線l 所過定點坐標(biāo)，然后利用勾股定理求得的最小.【詳解】圓C 的圓心為C 1,2，半徑為3 .直線l 的方程(m 2) x (m 1)y m 1 0 可化為x y 1m 2x y 1

11、0 ，x y 1 0所以2x y 1 0，解得 x 2, y 3 ，即直線l 過定點 D2,3.(2 1)2 (3 2)2 2 9 ，所以 D 在圓C 內(nèi).當(dāng)AB 的中點為D，也即CDAB時，最小，32 32 CD 222.9 27故選：D 89 27【解析】【分析】f (x) f (xf (x) D 錯誤，然后取0 x ，4通過sin x cos x 判斷出此時 f (x) 0 ，即可得出結(jié)果.4444【詳解】sin x cos x cos x sin x 14 14 14 14因為f (x) e e e e f (x) ，x R ，所以函數(shù) f (x) 為奇函數(shù)，C、D 錯誤，當(dāng)0 x ，

12、4sin x cos x sin x ，x，sin x x，sin x cos x 4424 4 14 14 14 14 ee e ， f (x) e e 0 ，B 錯誤，【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)圖像的判斷，在判斷函數(shù)的圖像的時候，可以通過函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)值的大小、是否過定點等函數(shù)性質(zhì)來判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.9A【解析】【分析】首先，寫出拋物線的焦點坐標(biāo)，然后，求解直線的方程，利用焦半徑公式求解比值【詳解】y2 2 pxp 0) 的焦點坐標(biāo)為p 0) ，2直線l 傾斜角為60，直線l 的方程為：y 03( x)2設(shè)直線與拋物線的交點為A(x y 、B(x y

13、 ，1122| AF | x p ， | BF | x p ，1222y03( x聯(lián)立方程組y22pxp )2y 并整理，得12x2 20px3p2 0，解得 x 3 p ， p ，1226| AF | x p 2 p ， | BF p 2 p ，12223AF |:| BF | 3:1 ，|AF |3,| FB |故選： A10C【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出函數(shù) f (x) 的解析式，再逐一分析各個選項判斷作答.【詳解】3T函數(shù) f (x) 的周期T ，依題意， 5 3，解得T ，則 2 2 ，46124T而當(dāng) x 時， f (x)12 2 ，則2 max12 2k kZ，又| 2，即有

14、k 0, ，23則 f (x) 2sin(2x)，3對于A，f (x) 2sin(2x)2cos 2x 是偶函數(shù)，將f (x)的圖象向左平移 個單位長12212度所得新函數(shù)不是奇函數(shù)，A 錯；對于B，因f 8) 2sin( 12) 0f (x) 的圖象關(guān)于點 80 錯；對于C， f (x) 的解折式為 f (x) 2 sin 2x ，C 正確；對于D，當(dāng) x 33 0 2x 0 sin(2x 1 ，則0 f (x) 2 ，D .6333故選：C 11B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義得出a, c【詳解】b的關(guān)系，求得 后可得漸近線方程a由 PF1: PF2 2:1 得 PF1 2 PF2，又

15、PF1PF2 2a ，所以 PF2 2a ，PF1 4a ，b又F PF 90 ，則(4a)2 2a)2 2c)2 5a2 c2 a2 b2 b 2a ， 2 ，12a漸近線方程為 y 2x ，即2x y 0 故選：B12A【解析】【分析】y 大小即可推理判斷作答.f (x) 在(0, 上單調(diào)遞減，再構(gòu)造函數(shù)比較與的x【詳解】f xf x 對任意兩個不相等的正數(shù)x , ， x f x x f xx 1x 2，12211020 x x12x x12y f (x) 在(0, ) 上單調(diào)遞減，xg(x) ln x x e g(x) 1 ln x 0 g(x在(e, 上單調(diào)遞減，xx2g(3.1) g

16、(3.2) ，即有l(wèi)n 3.1 ln 3.2 ，從而有l(wèi)n ln 3.23.1 ，3.13.23.23.1 13.1 0 f (3.13.2 ) f (3.23.1 ) f (log3.23.1)，所以abc故選：A【點睛】3.23.23.13.23.1思路點睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，131【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示計算【詳解】由題意2a b (3, 4 m) ，由(2abb 得3m(4m0m 1， 1141【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由極值點確定參數(shù)a 的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得極值【詳解】f (x) x2 x a

17、 1 ，exf (xx 1 f (1) a 1 0 a ，ef ( x)x2 x 1 ， f (x) x2 x x(x 1) ，exexexx 0 x 1f (x) 0 0 x 1 f (x) 0 ，f (x) 在(,0) 和(1,) 上遞減，在(0,1)上遞增，0 0 1x 0 f (x) f (0) 故答案為：1 1514【解析】【分析】 1 ，e0利用正弦定理求得 AC ，由此求得CD .【詳解】在三角形 ABC 中， A 45, ABC 180 75 105, ACB 30 ，由正弦定理得，ABACsin30sin105ABACAC 20sin105 20sin60 45 20sin6

18、0cos45cos60sin455 6 2所 以 CD AC 2故答案為：14 5 622232223 5 14 千米.16#20520533205【解析】【分析】求得三棱錐 A BCD 外接球的半徑，由此求得外接球的體積.【詳解】3依題意，平面 ABD 平面 BCD, BCD 和ABD均是邊長為23的正三角形，設(shè)GBDAGBD,CGBDABDBCD且交線為BD， AGBCDCGABD.EF ABD和等邊三角形BCD的中心，則 AE CF 2GE 2GF 2 CG 2 3 2 ,33設(shè)O A BCD 則OE ABDOF BCD.OF2 OF2 CF2所以外接球的體積為 4 3，12 22520

19、5512 2252053205故選：205317(1) an 2n 1(2) n 2 且n N*【解析】【分析】利用S ,n 求得的通項公式. 1nS S, n2nnn1利用裂項求和法求得T ，進而求得題目所求n .(1)依題意Sn nn1, a2n 3，當(dāng)n2a a12 2a21，a13 23 1, a1 1.S n2 n an1，當(dāng)n2時， n1n n11，并化簡得a a 2，nn1所以數(shù)列an是首項為1，公差為2 的等差數(shù)列，所以a 2n1.n(2)b 11 111，na a12n12 2n12n 1n所以Tn1 1 1 1 1 1 12n 121 12n 121.2n33522n12n

20、 152T 2 , 1152n12n2n2 n 2 且 N*.n5n18(1) 104 x 1362 738(2)有95%的把握認為駕乘電動自行車未佩戴頭盔的行為與事故傷亡有關(guān)【解析】【分析】.計算K (1)x 1 2 3 4 5 3, y 1250 1200 1010 920 870 1050 ，55b 14710 5310501491625532104， yx 105010431362.所以 y 104 x 1362 ，當(dāng)n 6 時，預(yù)測值為104 6 1362 738人. (2)506304102K2 4.504 3.841，10 4016347所以有95%的把握認為駕乘電動自行車未佩戴

21、頭盔的行為與事故傷亡有關(guān). 19(1)證明見解析7(2)7【解析】【分析】AEPCDAEPC.作PO AD，垂足為O，利用PBABCD所成角的正切值證得OAD中點， 建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角ACEB . (1)PAD ABCDAD ABCDCD AD ，所以CD PAD AE PAD ，所以CD AE .PD D因為 PA AD ， E 為 PD 中點，所以 AE PD D由于CDAE PCD，PCPCDAEPC(2)如圖，作PO AD ，垂足為O ，連接OB .因為平面PAD ABCDAD PO ABCD，所以 PB 與平面 ABCD所成角為PBO，所以tanPBOPO ，4

22、AO24AO21AO26AO 1，即O AD .分別以O(shè)D,OP x, z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O xyz ， B C D ，313P 0,0,3 ，E22 ，333所以AE ,0, AC 2,1,0,BE ,3 , BC 2,0,0 ，2222 設(shè)m xyz ACE 的法向量，則m AE 0 ，m AC 0 3xz 0則 2232x y 3，故可設(shè)m 1,2,.33同理可求得n 0,3,2是平面BCE的法向.設(shè)二面角 A CE B 的平面角為 ，由圖可知 為銳角，|mn|43|mn|43|m|n|2274271 cos27故sin 1 cos2777所以二面角ACEB的正弦值為.7

23、71,3320(1)(2)1,11,33【解析】【分析】AB xty1，并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，通過證明3y y 2ty y來證得 AR/FN .121 2SS(1)ADM FDNSy1y2，結(jié)合（1）y1y2ADM FDN的取值范圍.AB x ty 1t 0Ax y Bx y ，1122y y ，則M4,y, N 4,y, R4,12 ,1,0122y yy 12k12y y12y 12,k y2 ，ARx142(x14)2(ty13)FN3y y要證AR/FN，只需證2(12 即可，yty 3)3y1只需證3(y1y ) 2ty y21 6y2，只需證3(y1y ) 2ty

24、 y.21 2 x ty 1聯(lián)立x2y2 4 3 1 x 并化簡得2 4) y2 6ty 9 0 .6t9y y12, y y3t2 41 3t2 4 ，所以3(y1y ) 2ty y21 成立，所以 AR/FN .(2)延長MD FN 于點Q ，由（1）得ADM FQD ，且MAD DFQ 因為R MN 的中點，所以D 為MQ 的中點.所以MD DQ ，則 ADM FQD AM FD ，從而 SSADM .y1y1y2y2 2 yyy24t2由（1）得 11 22 ，y y123t2 4yy4411441 yy21233 4，t23,0 3 4,33 03 4，t2t2t2 10 4 2 y

25、y1033 4， 即 1 2 ,2.yt22y101y31令m 1 ，則m 2，y3m210 10 m1m m2 133m 1m 1m, m2 12m 3 m 3 ，m m 因為 y1 y 2y (3,1) (1, 1) ，1y312故 S ADM SFDNy1y1,3故 S ADM SFDNy1y1,3.3322（）f x在0, 上是單調(diào)遞減函數(shù)，證明見解析2）0,1.44【解析】【分析】將a 1 f (x) lnx x 1利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求得函數(shù)的2單調(diào)區(qū)間，證明見解答過程；22x將兩函數(shù)作差后構(gòu)造新函數(shù)g(x) lnxax 4a ，在求導(dǎo)對a分情況討論，結(jié)合單調(diào)x性，極值和

26、函數(shù)零點存在性定理即可得到a 的范圍【詳解】）當(dāng)a 1時，fxlnx x 1 .222x所以 fx1 11x2 0 ，x22x22x2所以 f x在0, 上是單調(diào)遞減函數(shù).又 f 1 0，xf x0，即lnx x 1 .x 11 N*n2n222xln11 111 112n2 1 1 1n2 2n2 2 1 1 2n2n2 12 n2n2 1111n2 1，n2 12 n1n 1從而ln1 1 ln1 1 ln1 1 ln1 1 22 32 42 n2 2 1 11 1 1 1 1 121 1 1 1 1 132435n1n12nn 12 1 1 1 3 ，22242241 1 1 1 3 所

27、以111 1e4nN*,n2 .22 32 42 n2 （2）令 g x ln x ax a 3a ln 2 ln x ax 4a x 0，xx2x所以 gx 1 a 4a xx2ax2 x 4a x 0.x2設(shè)k x ax2 x 4a ，則 1 16a2.當(dāng) 0, ，即a 1 gx 0 g x在單調(diào)遞減，a 04所以 g x不可能有三個不同的零點； 0,11116a21116a2當(dāng)，即01116a21116a2，x ，a 0412a22a所以 x2 x 0 .1又因為k x ax2 x 4a 開口向下，所以當(dāng)0 x x1kx0gx0gx在x1上單調(diào)遞減；當(dāng) x x xkx0gx0gx在x x

28、上單調(diào)遞增；1212當(dāng) x xkx0gx0gx在(x, ) 上單調(diào)遞減.2g2ln12a 4a 0 x 4 2 2 x ，所以 g x121 212 g 2 0 g x .2 1 114a1因為 g lna1 ln 2 2ln a 4a3， a2 2a2a2aa2所以令m a ln 2 2ln a 1 4a3 ，a2 1 12a 12a2 1 12a 12a4 2a 1 1 2a2aa2a2a20.所以m a在 0, 1 單調(diào)遞增，44所以mm1ln22ln 144133ln 241 0 ， 4 4 416即 g 1 0 . a2 121a1又x 2a212aa2a2 0，所以x ，2a2gx

29、在區(qū)間x , 1 上有唯一的一個零點x .2 a2 0 x 4 xx14 44agxgln0 ln ag 0因為0 x 20 x2x 4，且0，所以0 4 g 0.000 x0 x01116a1116a211161116a2又x2a1 ，02a所以0 4 x ，x10g x在區(qū)間x14 ，x0故當(dāng)0 a 1 時， g x存在三個不同的零點44 , 2, x .x00故實數(shù)a 的取值范圍是 0, 1 .44【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點的問題.解決零點個數(shù)問題的關(guān)鍵是能夠選取合適的區(qū)間，利用零點存在性定理證得在區(qū)間內(nèi)存在零點，從而使得零點個數(shù)滿足題目要求；難點在于零點所在區(qū)間的選擇上，屬于難題.22(1)2 2 5, 2 2 5 ；(2) 4 2