三次樣條插值在工程擬合中的應(yīng)用

1、三次樣條插值在工程擬合中的應(yīng)用摘要: 介紹了工程實(shí)驗(yàn)、勘測(cè)、設(shè)計(jì)中常見的列表函數(shù)之?dāng)?shù)值插值方法、程序?qū)崿F(xiàn)及工程應(yīng)用, 應(yīng)用此法可方便地將任何列表函數(shù)計(jì)算到工程設(shè)計(jì)、施工所需要的精確程度, 給出了各參數(shù)隨主要參數(shù)變化而變化的光滑曲線, 并將其應(yīng)用推廣到一般情況.關(guān)鍵詞: 列表函數(shù); 數(shù)值擬合; 三次樣條插值; MA TLAB 程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用在實(shí)際工工程中, 廣泛泛存在這這樣的問(wèn)問(wèn)題: 根據(jù)設(shè)設(shè)計(jì)要求求和具體體的工程程條件, 在初初始設(shè)計(jì)計(jì)階段會(huì)會(huì)勘測(cè)得得到若干干組該工工程的控控制參數(shù)數(shù), 但這這些參數(shù)數(shù)之間彼彼此離散散、不夠夠密集, 利用用它們來(lái)來(lái)施工則則不能滿滿足施工工的精度度要求. 為了了解

2、決這這一問(wèn)題題, 需要要對(duì)已知知的參數(shù)數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)進(jìn)行分析析處理, 進(jìn)行行必要的的插值、擬合, 以達(dá)達(dá)到施工工所需要要的數(shù)據(jù)據(jù)精度.本文以以工程實(shí)實(shí)例為基基礎(chǔ), 對(duì)實(shí)際際工程中中插值方方法的選選取、插插值的實(shí)實(shí)現(xiàn)和插插值曲線線的擬合合加以討討論, 提出能能得到較較合乎實(shí)實(shí)際的插插值方法法, 給出出一般工工程人員員就能實(shí)實(shí)現(xiàn)的計(jì)計(jì)算方法法以及能能得到光光滑曲線線的擬合合方法.1 工程程應(yīng)用實(shí)實(shí)例表1 所所示的為為某雙曲曲拱壩體體形原始始參數(shù) 1對(duì)于這一一類工程程列表參參數(shù)有一一個(gè)顯著著的特點(diǎn)點(diǎn):盡管不不同工程程的參數(shù)數(shù)多寡不不同, 但都是是由n 行k 列的的離散的的列表數(shù)數(shù)據(jù)給出出, 雖然然同一行行

3、代表某某工程特特定位置置的幾個(gè)個(gè)參數(shù)(或高程程參數(shù), 或上上游半徑徑參數(shù)) , 但相相鄰兩行行由于位位置距離離太大, 兩行行各參數(shù)數(shù)之間究究竟存在在什么數(shù)數(shù)值關(guān)系系, 對(duì)工工程設(shè)計(jì)計(jì)、施工工有何影影響, 這是工工程技術(shù)術(shù)人員需需要弄清清楚的 2 .以以雙曲拱拱壩為例例, 它沿沿整個(gè)高高程的變變化是一一個(gè)連續(xù)續(xù)光滑的的空間曲曲面. 從施工工需要來(lái)來(lái)看, 這些數(shù)數(shù)據(jù)太稀稀疏, 難以滿滿足設(shè)計(jì)計(jì)、施工工放樣與與鋼筋配配置等要要求, 如果照照此施工工, 則有有可能達(dá)達(dá)不到工工程精度度、降低低工程效效率; 從計(jì)算算機(jī)圖形形模擬來(lái)來(lái)看, 要生成成這個(gè)曲曲面僅由由這一列列表函數(shù)數(shù)是得不不到光滑滑曲面的的,

4、是不不可取的的. 所以以, 為使使計(jì)算精精確, 滿足工工程施工工過(guò)程中中任何斷斷面位置置、任意意水平位位置、任任意高程程位置所所必需的的施工數(shù)數(shù)據(jù)與設(shè)設(shè)計(jì)圖紙紙, 保證證工程施施工的高高品質(zhì),就要求求作精確確的數(shù)據(jù)據(jù)處理.進(jìn)一步步分析可可知, 在這些些參數(shù)表表中, 各行的的參數(shù)都都隨某一一主要參參數(shù)的變變化而變變化, 如上游游半徑參參數(shù)隨高高程的變變化而變變化, 它們們的這種種函數(shù)關(guān)關(guān)系,在數(shù)值值分析中中有許多多的方法法可以求求得. 但是哪哪種方法法能更好好、更合合乎實(shí)際際地給出出平滑曲曲線呢? 下面面所選的的插值方方法能夠夠較好地地滿足這這一要求求.2 插值值方法的的選擇在數(shù)值分分析中, 這

5、種種插值過(guò)過(guò)程可具具體使用用線性( 1iineaar ) 插值值、三次次樣條( spp liine ) 插插值、立立方(ccub ic) 插值值等方法法, 在曲曲線插值值法中最最常用的的是線性性插值法法, 它是是估計(jì)兩兩個(gè)主干干點(diǎn)之間間數(shù)值的的最簡(jiǎn)單單、最易易實(shí)現(xiàn)的的方法, 但采采用線性性插值法法會(huì)有以以下缺點(diǎn)點(diǎn):一是使得得曲線不不能顯示示連接主主干點(diǎn)間間的凸?fàn)顮罨【€;二是使得得從曲線線導(dǎo)出遠(yuǎn)遠(yuǎn)期曲線線時(shí)會(huì)形形成人為為的“尖頭”(spp ikkes) 2 .因此, 通常采采用樣條條法來(lái)構(gòu)構(gòu)造曲線線. 樣條條法是用用一平滑滑曲線來(lái)來(lái)對(duì)各主主干點(diǎn)進(jìn)進(jìn)行擬合合的方法法. 它是是通過(guò)構(gòu)構(gòu)造多項(xiàng)項(xiàng)式(一

6、個(gè)或或一組不不同階多多項(xiàng)式) 來(lái)形形成一條條把所有有主干點(diǎn)點(diǎn)連接起起來(lái)的平平滑曲線線. 一般般常常選選擇三次次曲線(根據(jù)三三次插值值樣條函函數(shù)所得得的曲線線) 進(jìn)行行擬合.通常, 在a, b 上的以以x ii ( i=0, 1, 2, , n) 為節(jié)節(jié)點(diǎn)的三三次插值值樣條函函數(shù) 3 定義義如下: 給定定區(qū)間a, b 的一個(gè)個(gè)劃分$: a= x 0 x 1 x 2 x n = b和區(qū)間間a, b 上的一一個(gè)函數(shù)數(shù)f (x ) , 若若函數(shù)SS (x ) 滿足下下列條件件:(1) 一致通通過(guò)n+ 11 個(gè)插插值點(diǎn)(x ii, y i) , 即即S (xx i) = f (x ii) = y i (

7、 i= 00, 11, 22, , n) ;(2) 二階連連續(xù), 即S (x ) C2 a, b ;(3) 三次分分段, 即在每每一個(gè)小小區(qū)間 x i- 1, x ii ( i= 1, 2, , n) 上均均為三次次多項(xiàng)式式.則稱S (x ) 為函數(shù)數(shù)f (x ) 的三次次插值樣樣條函數(shù)數(shù). 在構(gòu)構(gòu)造三次次插值樣樣條函數(shù)數(shù)時(shí), 為確定定S (x ) 應(yīng)根據(jù)據(jù)n+ 11個(gè)插值值條件, 3nn- 33 個(gè)連連續(xù)條件件以及給給定的邊邊界條件件, 再利利用節(jié)點(diǎn)點(diǎn)處的一一階導(dǎo)數(shù)數(shù)或二階階導(dǎo)數(shù)就就可構(gòu)造造出三次次插值樣樣條函數(shù)數(shù). 在構(gòu)構(gòu)造曲線線過(guò)程中中, 關(guān)鍵鍵是估計(jì)計(jì)三次多多項(xiàng)式函函數(shù)和確確定樣條條函

8、數(shù)形形式.從以上上理論分分析可知知, 三次次活動(dòng)曲曲線具有有優(yōu)良的的數(shù)學(xué)特特征, 而且用用三次曲曲線去擬擬合時(shí), 其結(jié)結(jié)果要比比線性插插值估計(jì)計(jì)更接近近于工程程實(shí)際情情況 4 . 三三次曲線線法又可可分為三三次樣條條插值法法和立方方插值法法. 在數(shù)數(shù)值分析析中有許許多的方方法, 限于篇篇幅, 本文僅僅以工程程上用得得較多的的、具有有優(yōu)良效效果的三三次樣條條插值為為例介紹紹插值方方法.3 插值值計(jì)算原原理三次樣條條函數(shù)的的數(shù)學(xué)原原理及其其子程序序, 可見見于多種種數(shù)學(xué)著著作 5 與算法法手冊(cè). 這里里作簡(jiǎn)單單介紹.由于拱拱壩或其其他工程程曲面都都是連續(xù)續(xù)而光滑滑的空間間曲面, 它的的斷面高高程自

9、壩壩底至壩壩頂均滿滿足a= jj 1 j 2 j n= b,且每一一位置(高程) 都對(duì)應(yīng)應(yīng)有一組組幾何參參數(shù): y 1, y 2, y n. 如上游游半徑、下游半半徑、拱拱厚等(見表1 所列) , 因因此對(duì)于于一組高高程插值值點(diǎn)j 1= t1 t2 t3 tmm j nn ,可用三三次自然然樣條函函數(shù)S (x ) 求解它它們?cè)诟鞲鞑逯迭c(diǎn)點(diǎn)的函數(shù)數(shù)值及其其一階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)S (x ) 和二階階導(dǎo)數(shù)SS (x ).三次樣樣條函數(shù)數(shù)S (x ) 是用分分段三次次多項(xiàng)式式逼近函函數(shù)y = f (x ) , 且且滿足SS (x ) 為區(qū)間間a, b 上曲線線y= f (x ) 的三次次樣條插插值函數(shù)數(shù)的三個(gè)個(gè)

10、條件. 經(jīng)兩次積積分, 可得三三次樣條條插值函函數(shù)S (x ) 的表達(dá)達(dá)式為利用函數(shù)數(shù)S (x ) 在樣點(diǎn)點(diǎn)x ii 處具具有連續(xù)續(xù)二階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的條條件, 再根據(jù)據(jù)三次自自然樣條條插值法法, 增加加自然邊邊界條件件得到如下下方程組組:解上述方方程組, 求得得M ii ( i= 00, 11, 22, , n) 代入入S (x ) 公式, 即可得得每個(gè)子子區(qū)間 x i- 1, x ii ( ii= 11, 22, n) 上的的三次樣樣條函數(shù)數(shù).根據(jù)上上述原理理, 對(duì)工工程原始始列表數(shù)數(shù)進(jìn)行插插值計(jì)算算, 即可可滿足多多種施工工要4 插值值方法的的實(shí)現(xiàn)由以上可可以看出出, 三次次樣條插插值的關(guān)關(guān)鍵是

11、尋尋找插值值函數(shù), 但插插值函數(shù)數(shù)尋找相相當(dāng)復(fù)雜雜, 對(duì)于于一般的的工程人人員很難難完成, 那么么怎樣才才能使三三次樣條條插值這這一優(yōu)秀秀的插值值方法被被人們所所掌握呢呢?M athhworrks公司推推出了功功能強(qiáng)大大的數(shù)學(xué)學(xué)計(jì)算軟軟件MAA T22LABB 66 , 它它不但使使源程序序編寫簡(jiǎn)簡(jiǎn)單、源源程序代代碼簡(jiǎn)短短(因?yàn)楝F(xiàn)現(xiàn)成的三三次樣條條插值函函數(shù)可供供使用) , 而且可可以利用用其強(qiáng)大大的作圖圖功能方方便地?cái)M擬合出光光滑曲線線. 因此此, 本文文選用MMA TTLABB 語(yǔ)言言作為計(jì)計(jì)算語(yǔ)言言MA TTLABB 程序序設(shè)計(jì)原原理:在以上參參數(shù)表中中, 各行行的各參參數(shù)都隨隨高程這這

12、一主要要參數(shù)的的變化而而變化, 根據(jù)據(jù)它們變變化的這這種函數(shù)數(shù)關(guān)系, 以高高程為插插值的已已知節(jié)點(diǎn)點(diǎn)(其中已已知節(jié)點(diǎn)點(diǎn)個(gè)數(shù)nn = 6) , 為為使插值值結(jié)果一一致通過(guò)過(guò)這些節(jié)節(jié)點(diǎn), 以1. 36為為步長(zhǎng)調(diào)調(diào)用插值值函數(shù)進(jìn)進(jìn)行插值值.MA TTLABB 程序序設(shè)計(jì)算算法:( 1) 寫入入原始參參數(shù)矩陣陣, 以同同一組參參數(shù)為行行,以同一一種參數(shù)數(shù)為列;(2) 產(chǎn)生插插值的精精度矩陣陣, 在最最小值與與最大值值之間以以1. 36 為步長(zhǎng)長(zhǎng), 產(chǎn)生生矩陣;(3) 調(diào)用MAA TLLAB 中的三三次樣條條插值函函數(shù),產(chǎn)生插插值結(jié)果果矩陣, 以對(duì)對(duì)每一種種參數(shù)的的插值結(jié)結(jié)果為行行產(chǎn)生矩矩陣, 再轉(zhuǎn)置置

13、.MA TTLABB 程序序設(shè)計(jì):x 0= 44701. 365044 ;ou tt= x 0; spp liine (x (16) , xx (7712) , x 0) ; sp linne (x (116) , xx (11318) , x 0) ; sp linne (x (116) , xx (11924) , x 0)sp llinee (xx (116) , xx (22530) , x 0) ; sp linne (x (116) , xx (33136) , x 0) ; sp linne (x (116) , xx (33742) , xx 0) 運(yùn)算數(shù)據(jù)據(jù)分析:(1) 這組

14、運(yùn)運(yùn)算數(shù)據(jù)據(jù)一致通通過(guò)已知知節(jié)點(diǎn), 而且且偏差較較小、數(shù)數(shù)學(xué)處理理和程序序設(shè)計(jì)都都大大簡(jiǎn)簡(jiǎn)化(與文獻(xiàn)獻(xiàn)1 相比).(2) 經(jīng)過(guò)以以上的運(yùn)運(yùn)算, 可以使使原來(lái)僅僅有的66 組數(shù)數(shù)據(jù)變?yōu)闉?6 組, 而且且還可以以根據(jù)工工程人員員的需要要對(duì)上述程程序步長(zhǎng)長(zhǎng)進(jìn)行修修改, 就可任任意提高高精度, 從而而使工程程人員能能夠更好好地了解解各種參參數(shù)在各各點(diǎn)的數(shù)數(shù)據(jù), 使工程程精度大大大提高高5 插值值曲線擬擬合當(dāng)然, 無(wú)論以以多么小小的數(shù)為為步長(zhǎng)、無(wú)論給給出多少少組數(shù)據(jù)據(jù), 這些些參數(shù)還還是一些些離散的的數(shù)據(jù), 在有有些情況況下, 工程人人員要了了解某些些數(shù)據(jù)隨隨某一主主要參數(shù)數(shù)的變化化而變化化的連續(xù)續(xù)曲

15、線, 這時(shí)時(shí), 可以以在數(shù)據(jù)據(jù)插值的的基礎(chǔ)上上, 發(fā)揮揮MA TLAAB 在在圖形處處理上的的強(qiáng)大功功能, 對(duì)以上上插值所所得的數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行行曲線擬擬合, 以便更更好地了了解各參參數(shù)隨某某一主要要參數(shù)變變化而變變化的趨趨勢(shì).在以上上插值數(shù)數(shù)據(jù)的基基礎(chǔ)上,在上面面程序的的尾部編編寫MAA TLLAB 作圖程程序, 作圖程程序如下下, 運(yùn)行行后得到到圖1 所示插插值擬合合曲線.p llo tt (xx 0, ouu t (27752) ,- )ho lld oonp loo t (x 0, ou t (5378) ,- + )p loo t (x 0, ou t (791044) ,)p loo t

16、 (x 0, ou t (10551300) ,- - )p loo t (x 0, ou t (13111566) ,- 3 )p loo t (x 0, ou t (15771822) ,- . )legeend (上游半半徑,下游半半徑,拱厚,半中心心角,圓心距距,淤沙高高程)ho lld ooffgridd onn從圖1 中, 可以以看到各各參數(shù)隨隨高程的的變化而而變化的的曲線, 從而而更好地地去了解解各參數(shù)數(shù)的變化化規(guī)律,實(shí)現(xiàn)對(duì)對(duì)工程各各參數(shù)的的整體把把握, 這是一一般數(shù)值值處理方方法所無(wú)無(wú)法實(shí)現(xiàn)現(xiàn)的.6 小結(jié)結(jié)以上僅為為三次樣樣條插值值及其實(shí)實(shí)現(xiàn)方法法的一個(gè)個(gè)實(shí)例, 本文文在插值值

17、方法的的選擇上上選取了了能夠得得到平滑曲線的的、具有有優(yōu)良數(shù)數(shù)學(xué)特征征的三次次樣條插插值法;在插值值的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)上選取取了具有有強(qiáng)大計(jì)計(jì)算功能能的數(shù)學(xué)學(xué)軟件MMA TTLABB, 它它能夠以以較少的的編碼, 較簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的語(yǔ)語(yǔ)句實(shí)現(xiàn)現(xiàn)這一復(fù)復(fù)雜的計(jì)計(jì)算, 并能得得到較合合理的結(jié)結(jié)論; 在曲線線的擬合合上我們們?cè)诓逯抵档幕A(chǔ)礎(chǔ)上同樣樣選取具具有強(qiáng)大大圖形處處理功能能的MAA TLLAB 軟件, 從而形形成較準(zhǔn)準(zhǔn)確、較較平滑、較合實(shí)實(shí)際的曲曲線. 總之, 以上所所提供的的方法是是三次樣樣條插值值和MAA TLLAB 科學(xué)計(jì)計(jì)算語(yǔ)言言在工程程中應(yīng)用用的一個(gè)個(gè)實(shí)例, 它能能使計(jì)算算較簡(jiǎn)便便, 又能能很好地地滿足光光滑性要要求, 使曲線線也不失失真.實(shí)現(xiàn)了了工程數(shù)數(shù)學(xué)、計(jì)計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)、程序序設(shè)計(jì)的的結(jié)合與與簡(jiǎn)化.三次樣樣條插值值不僅在在工程方方面, 而且在在測(cè)繪、勘察、預(yù)測(cè)等等方面都都有著十十分廣泛泛的應(yīng)用用參考文獻(xiàn)獻(xiàn): 1 彭彭榮利, 靳萍, 歐陽(yáng)建建國(guó). 工程列列表函數(shù)數(shù)的數(shù)值值擬合與與應(yīng)用J . 武武漢大學(xué)學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版版) , 20002, 355 (44) : 42245. 2 王王瑞華. 水利利工程數(shù)數(shù)據(jù)插值值計(jì)算及及圖形處處理JJ