小學(xué)數(shù)學(xué)北師大六年級上冊一圓《慧在方圓之間》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、 慧在方圓之間教學(xué)設(shè)計(jì) 四川師范大學(xué)附屬圣菲小學(xué) 龔相忠【選題背景】基于六年級學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)圓的認(rèn)識和圓的面積之后，如何利用“變式題組”結(jié)構(gòu)化曲線平面圖形和直線平面圖形之間的聯(lián)系是本課的研究點(diǎn)。從古代的“天圓地方說”以及古代建筑中“外方內(nèi)圓”和“外圓內(nèi)方”圖案切入，通過了解相關(guān)的數(shù)學(xué)文化和背景，激發(fā)學(xué)生探究方圓之間關(guān)系的興趣。通過設(shè)置幾個有層次的探究學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、思考、計(jì)算和探究的過程，分別求出大正方形、圓和小正方形的面積，引發(fā)學(xué)生的深度思考，從而推出三個圖形的面積比為4：2，讓學(xué)生對“方圓之間”形成較直觀的理解，通過一系列的變式題組讓學(xué)生自主建構(gòu)方圓間的關(guān)系，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！緦W(xué)

2、習(xí)目標(biāo)】1我能結(jié)合具體情境認(rèn)識與圓相關(guān)的組合圖形的特征，理解正方形與正方形中最大的圓，圓與圓中最大的正方形的面積之間的相差關(guān)系，掌握計(jì)算此類圖形面積的方法，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)。2. 我能理解現(xiàn)實(shí)的“方中圓”以及“圓中方”的問題情境，在解決實(shí)際問題的過程中，通過獨(dú)立思考、合作探究、分享交流等活動，發(fā)展分析問題和解決問題的能力，進(jìn)一步將相關(guān)知識結(jié)構(gòu)化。3.我可以在解決問題中感受數(shù)學(xué)文化的本質(zhì)，通過體驗(yàn)圖形和生活的聯(lián)系感受數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】我會探究“方中圓”以及“圓中方”中的相關(guān)面積計(jì)算?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】我能在問題解決中總結(jié)發(fā)現(xiàn)“方中圓”以及“圓中方”之間的面積關(guān)系?！緦W(xué)情分析

3、】大部分學(xué)生在掌握了圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程后，能夠利用公式解決實(shí)際問題，但在圓和正方形的組合圖形中，求面積差和比的問題對于學(xué)生來說有一定的難度，學(xué)生要在已知圓的半徑的前提下求得正方形的面積，再找出“方中圓”以及“圓中方”之間的面積關(guān)系。讓學(xué)生體會到知識間的聯(lián)結(jié)，經(jīng)歷知識結(jié)構(gòu)化?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】課件、學(xué)力單。學(xué)習(xí)過程及設(shè)計(jì)意圖：環(huán)節(jié)一：【獨(dú)學(xué)】 導(dǎo)入新課 1.同學(xué)們，你們認(rèn)識這個圖形嗎 （結(jié)合課件出示）生：獨(dú)立觀察、思考方中圓和圓中方的空間特征。師：方中圓就是在正方形內(nèi)畫一個最大的圓，圓中方呢？（在圓內(nèi)畫一個最大的正方形）生：分享交流正方形內(nèi)最大的圓和圓內(nèi)最大的正方形的數(shù)學(xué)理解?！驹O(shè)計(jì)意圖】由傳

4、統(tǒng)文化對建筑設(shè)計(jì)產(chǎn)生的影響導(dǎo)入課堂，自然地引出探究學(xué)習(xí)活動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探索的熱情。讓學(xué)生從圖形中發(fā)現(xiàn)方中圓和圓中方，了解方中圓就是在正方形內(nèi)畫一個最大的圓，圓中方就是在圓內(nèi)畫一個最大的正方形，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生探究方圓之間奧秘的興趣。環(huán)節(jié)二：【互學(xué)】學(xué)習(xí)活動一師：前面我們已經(jīng)研究過了他們的差的關(guān)系，你能探究出這三個圖形的面積比嗎？板書：S大正：S圓：S小正=生獨(dú)學(xué)、交流（師巡視，指導(dǎo)學(xué)生）全班分享：生：我們已經(jīng)知道中間這個圓的半徑為r，就可以先算出圓的面積為：r；再來看看外面這個大正方形，它的邊長就是半徑的2倍2r，它的面積就是（2r）=4r；我們再來看里面的小正方形，已知的半徑r相當(dāng)于

5、這個小正方形對角線的一半，那么它的對角線就是2r，小正方形的面積就是對角線的平方除以2，也就是2r。（小正方形的面積也可以根據(jù)對角線把小正方形分成兩個三角形或者4個三角形，再來求面積）S大正=4rS圓=rS小正=2r（師要關(guān)注全班是否理解三個圖形面積的算法）結(jié)論：S大正：S圓：S小正=4：2師追問：在這個比中，（4表示？）大正方形對應(yīng)4份，圓對應(yīng)份，小正方形對應(yīng)2份。學(xué)習(xí)活動二1、直接給出圖上幾個圖形，它們的面積比是多少？（備注：教師貼圖在黑板上，學(xué)生不計(jì)算，直接推理得出。）生：S正：S圓=4：師：你怎么這么快就得到了答案？你是怎么想的生：剛剛已經(jīng)推導(dǎo)過了S大正：S圓：S小正=4：2；這里只是

6、把其中的方中圓抽取出來了，它的面積比就是4：。2、師：你特別會觀察，從整體中抽取部分解決了這個問題，但是后面的圖形看起來好像不是方中圓呢？生：第二個圖是方中圓的一半，從圖形來看：長方形是正方形的一半，半圓也是圓的一半，相比第一個方中圓它們都縮小到了原來的二分之一，再來看面積比，比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都縮小到原來的二分之一，比值不變，還是4：生：第三個圖形是方中圓的四分之一，從圖形來看：小正方形是第一個圖中大正方形的四分之一，扇形也是第一個圖中圓的一半，相比第一個方中圓它們都縮小到了原來的四分之一，再來看面積比比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都縮小到原來的四分之一，比值不變，還是4：師：那下面這一排呢？他們的比又是多少？

7、生：跟前面一樣，圓中方已經(jīng)推導(dǎo)過了，就是：2，后面的圖形分別是圓中方的二分之一和四分之一，面積比是不變的，還是：2師：經(jīng)過我們剛剛的探究，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：只要是方中圓，他們的面積比就是4：只要是圓中方，他們的面積比就是：23、以后遇到方圓之間的問題先判斷他是方中圓還是圓中方，再用他們的面積比來解決問題。原來這就是方圓之間存在的智慧。（板書：慧在）【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷推理探究過程，先得到S大正：S圓：S小正=4：2，然后呈現(xiàn)完整的變式題組，不計(jì)算，直接推導(dǎo)得出方中圓的面積比就是4：；圓中方的面積比就是：2，讓方中圓和圓中方這部分知識更加結(jié)構(gòu)化。環(huán)節(jié)三：【展學(xué)】-自主練習(xí)、深度思考，拓展應(yīng)用。

8、【自主學(xué)習(xí)，自由分享、全班分享】學(xué)習(xí)活動三：全班分享時，師重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的分析思路和計(jì)算過程（師通過質(zhì)疑、追問、補(bǔ)充等方式強(qiáng)調(diào)）已知半圓的面積是 cm，求陰影部分的面積是多少？備注：部分孩子依然用組合圖形面積的思想：半圓面積減去三角形面積得到陰影部分的面積；可以引導(dǎo)孩子既然都知道了S半圓：S三角形=：2，那么他們的面積差不就是-2嗎？也就是陰影部分是份。（直接找到圓中方模型，利用結(jié)論解決問題。）已知正方形的面積是24 cm，求圓環(huán)的面積是多少？方法一：從這個組合圖形里面抽出圓中方，利用S圓：S正=2：，求出大圓的面積；接著抽出方中圓，利用S正：S圓=4：，求出小圓的面積，再用大圓的面積減去小圓的面積求出圓環(huán)的面積。方法二：將正方形的份數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一后解題，即將三個圖形的面積比變形為2：4：。（將結(jié)論變形以后解決問題。）備注：大圓的面積是小圓面積的2倍，小圓的面積等于圓環(huán)的面積。（這是巧合嗎？你能不能課后再來驗(yàn)證一下）3、已知扇形AOB的面積是 cm，求陰影部分的面積？作輔助線，并將部分陰影進(jìn)行平移或者旋轉(zhuǎn)后就變成了圓中方問題（學(xué)會找到變形后的方圓模型，利用結(jié)論解決問題）全課總結(jié)，提升方法。【設(shè)計(jì)意圖】自主反思、總結(jié)提升，將數(shù)學(xué)知識進(jìn)一步的理解、鞏固和