大學(xué)物理課件：力學(xué)1討論與習(xí)題課I

1、科技大學(xué)物理學(xué)院 2012年3月12日力學(xué)IV 質(zhì)點(diǎn)力學(xué)復(fù)習(xí)與討論 IMechanics IV - Mechanics for Point Particles 力學(xué)：研究物體運(yùn)動(dòng)和作用力之間相互關(guān)系的學(xué)科 人類(lèi)最古老的學(xué)科之一/力學(xué)是一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科力學(xué)概述 與討論 I力學(xué)研究的兩大內(nèi)容：運(yùn)動(dòng)和力靜力學(xué)只研究力運(yùn)動(dòng)學(xué)只研究運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)研究運(yùn)動(dòng)和力(一般情形)靜力學(xué)研究物體在力的作用下處于平衡的規(guī)律及力的平衡條件高中知識(shí)(不講)運(yùn)動(dòng)學(xué)研究物體位置隨時(shí)間的變化規(guī)律的力學(xué)分支(1)幾何角度出發(fā) - 矢量運(yùn)算與微積分；(2)不考慮物體的性質(zhì)(質(zhì)量等)與受力；(3)研究位移/軌跡，速度，加速度之間的關(guān)系；動(dòng)

2、力學(xué)研究作用于物體的力與物體運(yùn)動(dòng)的關(guān)系如何描述運(yùn)動(dòng)？靜力學(xué) I 質(zhì)點(diǎn)與牛頓第三定律質(zhì)點(diǎn) 忽略物體的大小和形狀，而將其抽象為一個(gè)有質(zhì)量而無(wú)大小和形狀的幾何點(diǎn)，這樣的物體稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)。可以認(rèn)為所有力都作用在質(zhì)點(diǎn)上 - 質(zhì)心牛頓第三定律給出了受力分析的條件兩個(gè)物體之間作用力 和反作用力 , 沿同一直線, 大小相等, 方向相反, 分別作用 在兩個(gè)物體上 .（物體間相互作用規(guī)律）靜力學(xué) II : 常見(jiàn)的力重力：地球表面上的物體所受到地球的吸引力方向與重力加速度方向一致。彈力：發(fā)生彈性形變的物體由于要恢復(fù)原狀，對(duì)與它接觸的物體產(chǎn)生力的作用，這種力叫做彈力。 三種表現(xiàn)形式：(2) 剛性物體間的壓力與支持力(3)

3、 非彈性軟繩（線、弦等）的張力(1) 彈性力.摩擦力：方向始終與相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反。表面接觸擠壓，有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。注意區(qū)別：最大靜摩擦力滑動(dòng)摩擦力流體阻力：流體指液體或氣體。1、物體速度較小時(shí)2、物體的速率較大（但仍低于聲速） 說(shuō)明：當(dāng)物體與流體的相對(duì)速度提高到接近空氣中的聲速時(shí)，這時(shí)流體阻力將迅速增大。運(yùn)動(dòng)學(xué) I 參考系與坐標(biāo)系 在描述一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，選作參考的其他物體稱(chēng)為參考系。也稱(chēng)參照系。為定量地說(shuō)明一個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于此參考系的位置，必須在參考系中建立固定的坐標(biāo)系。 長(zhǎng)度：兩點(diǎn)間的線段的距離 無(wú)限 沒(méi)有周期 直線運(yùn)動(dòng)角度：兩條線間張開(kāi)的大小 有限 固定周期 圓周運(yùn)動(dòng)

4、幾何學(xué)僅有的兩個(gè)基本量，幾何研究長(zhǎng)度和角度之間的關(guān)系直角坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系極坐標(biāo)系位置-位移-速度-加速度直線運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)慣性系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(相對(duì)運(yùn)動(dòng))所有慣性系等價(jià)(相對(duì)運(yùn)動(dòng)為矢量求和)運(yùn)動(dòng)的疊加原理物體的真實(shí)運(yùn)動(dòng)可看成幾個(gè)各自獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的疊加1. 直角坐標(biāo)2. 自然坐標(biāo)PQ質(zhì)點(diǎn)做平面曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在軌道上任一點(diǎn)，可建立自然坐標(biāo)，選擇兩垂直的方向做坐標(biāo)軸。方向描述：切向單位矢量，指向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向：法向單位矢量，指向軌道的凹側(cè)速度：速度只有切向方向！加速度：注意：坐標(biāo)軸的方向是隨位置發(fā)生變化的與 同向PQ 曲率半徑切向加速度法向加速度反應(yīng)速度大小的變化反應(yīng)速度方向的變化可知加速度的方向永遠(yuǎn)指向軌跡

5、凹進(jìn)的一側(cè).方向：3. 平面極坐標(biāo)O為極點(diǎn)，OX極軸，OP為極徑r， 方向描述：徑向方向：極角增加方向位矢速度為質(zhì)點(diǎn)徑向速度大小，為質(zhì)點(diǎn)橫向速度大小，反應(yīng)位矢大小的變化反應(yīng)位矢方位的變化為極角質(zhì)點(diǎn)的位置由 完全確定了。加速度矢量徑向位移變化引起的徑向加速度橫向角速度引起的向心加速度角加速度對(duì)應(yīng)的橫向線加速度徑向速度和角速度耦合引入的橫向線加速度運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩類(lèi)問(wèn)題（1）已知運(yùn)動(dòng)方程，求速度、加速度 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,可用求導(dǎo)的方法求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度、加速度。（2）已知加速度, 求速度、運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程 已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度和初始條件,可用積分的方法求速度、運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程。代公式分離變量解微分

6、方程X例1）：一盞燈，罩上有一小孔，燈光從小孔中射到墻上，若燈以勻速旋轉(zhuǎn)一周。求在旋轉(zhuǎn)中，光點(diǎn)A的速度、加速度。 已知：R、求：A解：確定時(shí)間零點(diǎn)A點(diǎn)為研究對(duì)象建立坐標(biāo)系、tyZRoXA解：確定時(shí)間零點(diǎn)A點(diǎn)為研究對(duì)象建立坐標(biāo)系、tyZRoX=Ry=R t g t例2. 一質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)作圓周運(yùn)動(dòng), 半徑R=3.0m, 切向加速度 問(wèn):（1）速度與時(shí) 間的關(guān)系？（2）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間, 其加速度與 由圓心至質(zhì)點(diǎn)的矢徑方向成 135o角？解:（1）（2）解:（3）（3）在上述時(shí)間內(nèi), 質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)歷的路程和角位 移各為多少？例2. 一質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)作圓周運(yùn)動(dòng), 半徑R=3.0m, 切向加速度 問(wèn)：相對(duì)運(yùn)動(dòng)

7、基本概念：靜參照系、動(dòng)參照系（相對(duì)于觀察者）絕對(duì)速度、絕對(duì)加速度（相對(duì)于靜參照系）相對(duì)速度、相對(duì)加速度（相對(duì)于動(dòng)參照系）牽連速度、牽連加速度（動(dòng)參照系相對(duì)靜參照系）平動(dòng)(速度不變?yōu)閼T性系)轉(zhuǎn)動(dòng)AOO：A相對(duì)靜參照系位矢：A相對(duì)動(dòng)參照系位矢：動(dòng)參照系相對(duì)靜參照系位矢動(dòng)參照系只平動(dòng)，不轉(zhuǎn)動(dòng)絕對(duì)牽連相對(duì)絕對(duì)相對(duì)牽連絕對(duì)相對(duì)牽連位移關(guān)系速度關(guān)系加速度關(guān)系例2.有兩艘海船A和B, A船以速度10km/h向北偏西 300航行，B船以速度20km/h向正西方向航行, 在某時(shí)刻B船位于A船的北偏東600方向。 問(wèn):兩船是否需要采取措施避免相撞？以A為參照系考慮B 的運(yùn)動(dòng)，若B 的速度方向沿BA連線，則會(huì)撞。解

8、：B北A故從A上看，B 的速度方向沿BA連線，會(huì)撞。絕對(duì) 牽連牛頓第二定律的表述 牛頓表述：運(yùn)動(dòng)的改變與所加的動(dòng)力成正比，并發(fā)生在所加力的那個(gè)直線方向上。物體的質(zhì)量與速度的乘積物體的動(dòng)量現(xiàn)代物理語(yǔ)言的表述： 某時(shí)刻物體動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率與所施加的外力成正比，并發(fā)生在外力的方向上。動(dòng)力學(xué)= 靜力學(xué) + 運(yùn)動(dòng)學(xué)說(shuō)明力的疊加原理2、m恒定：但在以下兩種情況下，質(zhì)量不能當(dāng)常量:1）物體在運(yùn)動(dòng)中質(zhì)量有所增減，如火箭、雨滴問(wèn)題；2）高速（同向，且是同一時(shí)刻的瞬時(shí)量； 106 m/s ) 運(yùn)動(dòng)中,質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)速度相關(guān)。牛頓第二定律的說(shuō)明：1、低速（ m不變）高速（ m變）（經(jīng)典力學(xué)）（相對(duì)論力學(xué)）注意：（1）

9、瞬時(shí)性。（2）矢量性。常用分量式（3）慣性系中成立。（如地球參考系）2、 為變力，則 為一微分方程。相對(duì)慣性系靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系也是慣性系動(dòng)力學(xué) =靜力學(xué)+運(yùn)動(dòng)學(xué) 牛頓第二定律的應(yīng)用1、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中也有兩類(lèi)基本問(wèn)題(對(duì)應(yīng)于運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題)已知質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程所受合外力質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力情況及初始條件質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 或 等求第一類(lèi)第二類(lèi)一般方法求導(dǎo)積分動(dòng)力學(xué)第一步：確定研究對(duì)象（一般隔離物法）；第二步：受力分析（畫(huà)受力圖）一般順序：重力、彈力、摩擦力。第三步：建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，列出方程 1）直角坐標(biāo)系 2）自然坐標(biāo)系 2.解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般思路例3. t=0時(shí)刻, 一根長(zhǎng)為L(zhǎng)

10、的均勻柔軟的細(xì)繩通過(guò)光滑水平桌面上的光滑小孔由靜止開(kāi)始下滑. 設(shè)繩剛開(kāi)始下滑時(shí)下垂部分長(zhǎng)為a。 求:在任意時(shí)刻t, 繩自桌邊下垂的長(zhǎng)度。解：設(shè)繩開(kāi)始下滑后t 時(shí)刻下垂部分的長(zhǎng)度為x (a)， 在桌面上的那段繩受到的支承力和重力抵消，整根繩所受合力等于繩的下垂部分所受的重力： 根據(jù)牛頓第二定律得: 約束條件：繩上各質(zhì)點(diǎn)速率相同研究對(duì)象分離變量積分：于是故任意時(shí)刻自桌邊下垂的繩長(zhǎng)例4、用細(xì)繩將質(zhì)量為M，半徑為r的圓環(huán)懸掛起來(lái)。質(zhì)量均為m的兩個(gè)小環(huán)套在大環(huán)上，并可沿大環(huán)無(wú)摩擦地滑動(dòng)。若兩個(gè)小環(huán)同時(shí)從大環(huán)頂部由靜止開(kāi)始分別向兩邊滑下，請(qǐng)問(wèn)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到什么位置大環(huán)會(huì)受到向上的舉力？并且討論在什么條件下，大

11、環(huán)會(huì)出現(xiàn)上升運(yùn)動(dòng)。Mmvm解：小環(huán)沿圓環(huán)做變速圓周運(yùn)動(dòng)，所受的力為重力和大環(huán)對(duì)小環(huán)的約束力，小環(huán)既有切向加速度，又有法向加速度。大環(huán)受到重力、繩的拉力，以及小環(huán)對(duì)大環(huán)的反作用力。受力分析：小環(huán)的運(yùn)動(dòng)方程：Mmvm（切向）（法向）代入式（1）：初始狀態(tài)：于是：代回（2），得到：大環(huán)受到小環(huán)的反作用力：只有當(dāng) ，大環(huán)才能受到向上的舉力。此時(shí)大環(huán)受到小環(huán)的反作用力為：M當(dāng)大環(huán)能產(chǎn)生上升運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力 ，繩子松弛，向上的合力大于零。于是：解不等式得：于是：慣性力沒(méi)問(wèn)題！怎么辦?非慣性系中的力學(xué)方程 慣性力加速平動(dòng)參考系中慣性力的形式： 設(shè)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在真實(shí)的外力 的作用下相對(duì)于某一慣性系S產(chǎn)生加

12、速度 ，則根據(jù)牛頓第二定律，有:假設(shè)另有一參考系S相對(duì)于慣性系S以加速度 沿直線運(yùn)動(dòng)。在S參考系中,質(zhì)點(diǎn)的加速度是 。則：將此式代入上一式可得：上式可改寫(xiě)為 ： 若假想在S系中觀察時(shí)，除了真實(shí)的外力 外，質(zhì)點(diǎn)還受到另外一個(gè)力 的作用 , 這個(gè)力便稱(chēng)為慣性力。記為：這樣在S系中就可以在形式上應(yīng)用牛頓第二定律了。非慣性系中的牛頓第二定律：虛擬力真實(shí)力 慣性力不是物體間的真實(shí)的相互作用,是一種假想的力。它既無(wú)施力者, 也無(wú)反作用力, 不滿足牛頓第三定律。例5. 升降機(jī)以加速度a0=1.8ms -2下降。升降機(jī)內(nèi) 有一與地板成 角的光滑斜面,一物體從 斜面頂端由相對(duì)靜止下滑。設(shè)斜面頂端離地 板高h(yuǎn)=1m。求物體滑到斜面末端所需的時(shí)間。hS解：選升降機(jī)為參考系，它是加速平動(dòng)參考系。物體除受重力和斜面的支承力外，還受到慣性力的作用，如圖所示。 設(shè)物體沿斜面下滑的加速度為a ,則在平行于斜面的方向上有:23物體沿斜面作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則物體滑到斜面末端所需的時(shí)間為: hS故24質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)總結(jié)運(yùn)動(dòng)和力是力學(xué)關(guān)心的最基本的概念工具：一元微積分+矢量分析(換元與參量方程/定積分上下限)力： 質(zhì)點(diǎn) 重力/彈力/摩擦力等 受力平衡 (矢量分解)牛頓第三定律