多元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題舉例

1、多元函數(shù)積分學(xué) 習(xí)題舉例例1. 計(jì)算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解: 為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,及直線則 例2. 交換下列積分順序解: 積分域由兩部分組成:視為Y - 型區(qū)域 , 則例3. 計(jì)算其中D 由所圍成.解: 令(如圖所示)顯然,例4. 求兩個(gè)底圓半徑為R 的直交圓柱面所圍的體積.解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為例5. 求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解: 設(shè)由對(duì)稱性可知例6解一先重后單解二先單后重將 投影到 xoy 面得D例6例7. 計(jì)算三重積分解: 在柱面坐標(biāo)系下所圍成 .與平面其中 由拋物

2、面原式 =例8. 計(jì)算三重積分解: 在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中 與球面 例9. 設(shè)計(jì)算提示: 利用對(duì)稱性原式 = 奇函數(shù)例10. 計(jì)算曲線積分 其中 為螺旋的一段弧.解: 線例11. 計(jì)算其中 為球面 被平面 所截的圓周. 解: 由對(duì)稱性可知例12. 計(jì)算曲面積分其中 是球面被平面截出的頂部.解:思考:若 是球面被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,則例13. 計(jì)算其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. 解: 設(shè)上的部分, 則與 原式 = 分別表示 在平面 17例14解例15. 已知為折線 ABCOA(如圖), 計(jì)算提示:解: 把 分為上下兩部分根據(jù)對(duì)稱性 思考: 下述解法是否正確:例

3、16. 計(jì)算曲面積分其中 為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分. 例17. 計(jì)算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 . 解: 令, 則利用格林公式 , 有例18. 計(jì)算其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解: 令設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知在D 內(nèi)作圓周取逆時(shí)針方向, 對(duì)區(qū)域應(yīng)用格記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)榱止?, 得例19. 計(jì)算其中L 為上半從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段它與L 所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈 , 則例20. 驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證: 設(shè)則由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使例21. 利用斯托克斯公式計(jì)算積分其中 為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整解: 記三角形域?yàn)?, 取上側(cè),則個(gè)