數(shù)理統(tǒng)計上機指導(dǎo)書線性回歸

1、一切客觀事物的相互關(guān)系表現(xiàn)在量上主要有兩種類型：一是變量之間存在著完全確定性的關(guān)系，例如微積分中的函數(shù)關(guān)系；另一類是回歸關(guān)系或相關(guān)關(guān)系。如果兩個變量中的個變量是人為可以控制的、非隨機的，簡稱控制變量，另一個變量是隨機的，而且隨著控制變量的變化而變化，則這兩個變量之間的關(guān)系就稱作回歸關(guān)系；如果兩個變量都是隨機的，則它們之間的關(guān)系稱作相關(guān)關(guān)系?；貧w分析和相關(guān)分析均為研究兩個或兩個以上變量之間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計方法，是最常用的統(tǒng)計方法之一。在生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用在建立數(shù)學(xué)模型時，常需選擇其中之一為因變量，而另一作為自變量，然后根據(jù)樣本資料，測定研究自變量與因變量之間的關(guān)系。一上機實驗?zāi)康?/p>

2、1p元線性回歸直線擬合函數(shù)；2學(xué)會對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行直線擬合并對擬合結(jié)果進行顯著性檢驗。3學(xué)會利用R 軟件回歸分析的方法。4本實驗綜合了多個知識點：線性回歸模型；最小二乘估計法；參數(shù)假設(shè)檢驗等；二實驗要求和實驗準(zhǔn)備1認真做好實驗預(yù)習(xí)，結(jié)合本次實驗，復(fù)習(xí)教材線性回歸分析的數(shù)學(xué)模型相關(guān)內(nèi)容。2實驗中注意觀察屏幕顯示信息，必要時做好記錄。三上機實驗的內(nèi)容和實例一元線性回歸分析，通過對變量x和y的一組觀測數(shù)據(jù)求線性回歸方程，并對x和y的線性回歸關(guān)系進行檢驗。利用R實現(xiàn)求解回歸方程、顯著性檢驗。設(shè)隨機變量y與普通變量xx取定的一組不完全相同的,x ,x(x ,y ),(x ,y ),(x ,y ). 其中y

3、 是值x,作獨立試驗得到 n 對觀測結(jié)果12n1122nnix= x 處對隨機變量y觀測的結(jié)果將每對觀測值(x ,y )在直角坐標(biāo)系中描出它的相應(yīng)的iii點，得到試驗的散點圖一元線性回歸的基本任務(wù)是估計在對散點圖上n , (0, )= + x+ , ,2 的問題稱為求一元線性回歸歸模型：yN2 ，此時估計0101 y = + x問題 即由樣本得到回歸方程1 回歸直線。01例1 某種合金的強度y與其中的含碳量x有比較密切的關(guān)系，今從生產(chǎn)中收集了一批數(shù)據(jù)如表4.1所示。表4.1 合金的強度y與其中的含碳量x的關(guān)系0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.1

4、8 0.20 0.2142.0 43.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 53.0 50.0 55.0 55.0y(kgmm2 )60.0(1)求y對x的回歸方程；(2)在顯著水平=下檢驗回歸方程的顯著性；(3)試預(yù)報當(dāng)合金的含碳量x為0.28時合金的強度y(kgmm2 )。1求解過程如下：將數(shù)據(jù)鍵入 Excel 表中，保存成”.csv”格式，如圖4-1 所示。圖4-1合金的強度與其中的含碳量數(shù)據(jù)首先用散點圖檢驗合金的強度與其中的含碳量的關(guān)系。以含碳量為 x y plot 函數(shù)繪出散點圖。圖4-2 合金的強度與其中的含碳量關(guān)系從圖 4-2 中可以看出，這些點大致在直線上，所以

5、可以進一步用線性趨勢線。R中計算趨勢線的截距和斜率的函數(shù)為 lm。rd11-read.csv(regresion.csv)plot(rd11)x-rd11,12y-rd11,2lm.sol-lm(y1+x)summary(lm.sol)abline(lm.sol)#畫出回歸直線new-data.frame(x=0.16)lm.pred-predict(lm.sol, new,interval = prediction,level = 0.95)=(X X) X Y 當(dāng)然也可以直接計算： 利用公式T1T#直接計算rd11-read.csv(regresion.csv)n-nrow(rd11)p-

6、ncol(rd11)-1X-matrix(0,n,p+1)X,1-rep(1,n)X,2-rd11,1Y-rd11,2Beta Beta21 130.8348這樣，便得到合金的強度與含碳量的回歸方程y=130.83x+28.493。畫出散點圖和回歸直線plot(c(X1,2,X12,2), c(Y1,Y12), type = n, xlab=碳含量x, ylab=合金強度y)points(X,2, Y, col = red,cex = 1.2)abline(a=Beta1,b=Beta2)進一步需要做顯著性檢驗、預(yù)測。H : =001ST-sum(Y-mean(Y)2)SR-Beta2*sum

7、(X,2-mean(X,2)*(Y-mean(Y)SE-ST-SRF-(SR/p)/(SE/(n-p-1); CR-qf(0.95,p, n-p-1)list(F=F,CR=CR)$F1 182.5546$CR1 4.964603結(jié)果表明回歸效果是顯著的。3例2yx1,x2及熔化時間x3號平爐的49組數(shù)據(jù)y與x1,x2,x3 , 1,2, ,49iy = + x + x + x + i= ，i01 12 i23 i3 , , ,的最小二乘估計，寫出回歸方程，并求出 2的估計.0123X2X3Y150.040.046.043.064.040.064.039.037.055.060.049.050

8、.051.051.051.056.048.045.052.040.032.047.044.039.039.051.041.047.061.037.049.045.04.3303.6494.4835.5475.4973.1135.1183.8764.6704.9545.0065.2705.3775.4854.5965.6656.0803.2195.8084.7314.6813.1272.6103.7173.8952.7075.6315.8155.1305.3914.4534.6574.52123412.01.03.03.06.07.00.03.00.08.06.00.03.07.016.06.0

9、0.09.04.00.09.02.09.012.06.012.00.05.04.00.0567891011121314151617181920212223242526272829303132336.005.0024.0012.0015.0020.004343536373839404142434445464748496.04.010.04.05.09.06.05.05.08.02.07.04.010.03.04.042.048.048.036.036.051.054.0100.044.063.055.050.045.040.064.072.04.8655.3574.6102.3823.8754.

10、5925.1595.4373.9964.3974.0622.2914.7124.5315.3646.07717.0015.00解答：直接計算rd1-read.csv(li87.csv)n-nrow(rd1)p-3X-matrix(0,n,p+1)X-matrix(0,n,4)X,1-rep(1,n)X,2-rd1,2X,3-rd1,3X,4-rd1,4Y-rd1,5Beta-(solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%YBeta,11, 0.695560922, 0.160601043, 0.107586234, 0.03594069Se-t(Y)%*%(diag(rep(1,49)-

11、X%*%(solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%YHat_sigma-Se/(49-3-1)Hat_sigma,11, 0.6593865進一步需要做顯著性檢驗、預(yù)測。H : = = =001235ST-sum(Y-mean(Y)2)SR-Beta2*sum(X,2-mean(X,2)*(Y-mean(Y)+Beta3*sum(X,3-mean(X,3)*(Y-mean(Y)+Beta4*sum(X,4-mean(X,4)*(Y-mean(Y)SE-ST-SRF-(SR/p)/(SE/(n-p-1); CR-qf(0.95,p, n-p-1)list(F=F,CR=CR)H : =

12、001C-solve(t(X)%*%X) #這是一個44的矩陣C2,2, C3,3,C4,4alpha-0.05t1-(Beta2/sqrt(C2,2)/(sqrt(SE/(n-p-1)CRt-qt(1-alpha/2,n-p-1)list(t1=t1,CRt=CRt)$t11 2.663256$CRt1 2.014103結(jié)果表明x1 對y 的影響是顯著的。H : =002t2-(Beta3/sqrt(C3,3)/(sqrt(SE/(n-p-1)list(t2=t2,CRt=CRt)$t21 2.876175$CRt1 2.014103結(jié)果表明x2 對y 的影響是顯著的。H : =003t3-(Beta4/sqrt(C4,4)/(sqrt(SE/(n-p-1)list(t3=t3,CRt=CRt)$t31 3.400560$CRt1 2.014103結(jié)果表明x3 對y 的影響是顯著的。 利用函數(shù)lm：rd1-read.csv(li87.csv)x1-rd1,2x2-rd1,36x3-rd1,4y-rd1,5lm.sol|t|)(Intercept) 0.695560.865280.060300.037410.010570.804 0.42571x1x2x30.160600.107590.035942.663 0.01