圓概念公式推導(dǎo)版

1、的定幾何：平面上到定點的距離等于定的所有點成的形叫做。定點滿意，定稱半徑。跡：平面上一點以必然點中心，必然距離運一周的跡稱周，稱。會集：到定點的距離等于定的點的會集叫做。的相關(guān)量周率：周度與的直徑度的比叫做周率，是，平時用表示，算中常取它的近似?；『拖遥荷先我鈨牲c的部分叫做弧，稱弧。大于半的弧稱弧，小于半的弧稱劣弧。接上任意兩點的段叫做弦。心的弦叫做直徑。心角和周角：點在心上的角叫做心角。點在周上，且它的兩分與有另一個交點的角叫做周角。內(nèi)心和外心：三角形的三個點的叫做三角形的外接，其心叫做三角形的外心。和三角形三都相切的叫做個三角形的內(nèi)切，其心滿意里。扇形：在上，由兩條半徑和一段弧成的形叫做扇

2、形。面張開是一個扇形。個扇形的半徑成的母。和的相關(guān)量字母表示方法半徑r扇形弧母l弧周C直徑d面S和其他形的地址關(guān)系和點的地址關(guān)系：以點P與O的例（P是一點，PO是點到心的距離），P在O外，POr；P在O上，POr；P在O內(nèi)，POr。直線與圓有3種地址關(guān)系：無公共點為相離；有兩個公共點為訂交；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。以直線AB與圓O為例（設(shè)OPAB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與O相離，POr；AB與O相切，POr；AB與O訂交，POr。兩圓之間有5種地址關(guān)系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點的，一圓在另一

3、圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個公共點的叫訂交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r，且Rr，圓心距為P：外離PR+r；外切P=R+r；訂交R-rPR+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含PR-r?！緢A的平面幾何性質(zhì)和定理】相關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理圓的確定：不在同素來線上的三個點確定一個圓。圓的對稱性質(zhì)：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑均分這條弦，并且均分弦所對的弧。逆定理：均分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且均分弦所對的弧。相關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理在同圓或等圓中，若是兩個圓心角，兩個圓周角，兩條弧，兩條

4、弦中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其他各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。相關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直均分線的交點，到三角形三個極點距離相等；內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角均分線的交點，到三角形三邊距離相等。相關(guān)切線的性質(zhì)和定理圓的切線垂直于過切點的直徑；經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個圓的切線。切線判判定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過切點垂直于切線

5、的直線必經(jīng)過圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。切線的長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等。相關(guān)圓的計算公式1.圓的周長C=2r=d2.圓的面積S=r23.扇形弧長l=nr/1804.扇形面積S=nr2/360=rl/25.圓錐側(cè)面積S=rl弦切角定義極點在圓上，一邊和圓訂交，另圖示一邊和圓相切的角叫做。如右圖所示，直線PT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，則有PCA=PBC(PCA為弦切角）。弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半與弦所夾的角）弦切角定理證明：證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,連接BA并延長交直線TCB=90-OCBT于點.(弦切角

6、就是P。BOC=180-2OCB此圖證明的是弦切角TCB,BOC=2TCA（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半）BOC=2CAB（圓心角等于圓周角的兩倍）TCA=CAB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角）證明已知：AC是O的弦，AB是O的切線，A為切點，弧是弦切角夾的弧.求證：（弦切角定理）證明：分三種情況：BAC所1）圓心O在BAC的一邊AC上AC為直徑，AB切O于A，弧CmA=弧CA為半圓,CAB=90=弦CA所對的圓周角B點應(yīng)在A點左側(cè)2）圓心O在BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交O于D,若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點那么，連接EC、ED、EAE則有：CED=CAD、

7、DEA=DABCEA=CAB（弦切角定理）3）圓心O在BAC的外面,過A作直徑AD交O于D那么CDA+CAD=CAB+CAD=90CDA=CAB（弦切角定理）弦切角推論:若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等舉例:例1：如圖，在中，C=90，以AB為弦的O與AC相切于點A，CBA=60,AB=a求BC長.解：連接OA，OB.在中,C=90BAC=30BC=1/2a(中30角所對邊等于斜邊的一半）例1：如圖，在中，C=90，以AB為弦的O與AC相切于點A，CBA=60,AB=a求BC長.解：連接OA，OB.在中,C=90BAC=30BC=1/2a(中30角所對邊等于斜邊的一半）例2：如圖，

8、AD是ABC中BAC的均分線，經(jīng)過點A的O與BC切于點D，與AB，AC分別訂交于E，F(xiàn).求證：EFBC.證明：連DF.AD是BAC的均分線BAD=DACEFD=BADEFD=DACO切BC于DFDC=DACEFD=FDCEFBC例3：如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是O直徑，CDAB于D，MN切O于C，求證：AC均分MCD，BC均分NCD.證明：AB是O直徑ACB=90CDABACD=B，MN切O于CMCA=B，MCA=ACD，即AC均分MCD，同理：BC均分NCD.切線長定理從圓外一點引圓的兩條，它們的相等，圓心和這一點的連線，均分兩條切線的夾角。如圖中，切線長AC=AB。ABO=ACO=90BO

9、=CO=半徑AO=AO公共邊RtABORtACO（）AB=ACAOB=AOCOAB=OAC切線長定理推論：圓的外接四邊形的兩組對邊的和相等切線長的看法如圖，P是O外一點，PA，PB是O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到O的切線長引導(dǎo)學(xué)生理解：切線和切線長是兩個不同樣的概念，切線是直線，不能夠胸襟；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，能夠胸襟.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線均分兩條切線的夾角實行：連接BC，BCAO訂交弦定理圓內(nèi)的兩條訂交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積

10、相等）訂交弦說明幾何語言：若弦AB、CD交于點P則PAPB=PCPD（訂交弦定理）推論：若是弦與直徑垂直訂交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC2=PAPB（訂交弦定理推論）如何證明證明：連接AC，BD，由的推論，得AD，CB。（推論2:同(等)弧所對圓周角相等.）PACPDB，PAPDPCPB，PAPBPCPD注：其可作為證明圓的的方法.P點若選在圓內(nèi)任意一點更具一般性。切割線定理：從圓外一點引圓的和，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的。是的一種。幾何語言：PT切O于點T，PBA是O的割線PT的平方=PAPB（切割線定理）推論：從圓

11、外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等幾何語言：PBA，PDC是O的割線PDPC=PAPB（切割線定理推論）(）由上可知:PT的平方=PAPB=PCPD證明切割線定理證明:設(shè)ABP是O的一條割線，PT是O的一條切線，切點為T，則PT=PAPB證明：連接AT,BTPTB=PAT()P=P(公共角)PBTPTA(兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似)則PB：PT=PT：AP即：PT=PBPA訂交弦定理圓內(nèi)的兩條訂交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）訂交弦說明幾何語言：若弦AB、CD交于點P則PAPB=PCPD（訂交弦定理

12、）推論：若是弦與直徑垂直訂交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC2=PAPB（訂交弦定理推論）如何證明證明：連接AC，BD，由的推論，得AD，CB。（推論2:同(等)弧所對圓周角相等.）PACPDB，PAPDPCPB，PAPBPCPD注：其可作為證明圓的的方法.P點若選在圓內(nèi)任意一點更具一般性。從圓外一點P引兩條與圓分別交于則有PAPB=PCPD。證明：如圖直線ABP和CDP是自點P引的O的兩條割線，則PAPB=PCPD證明:連接AD、BCA和C都對弧BD由，得A=C又APD=CPBADPCBPAP:CP=DP:BP,也就是APBP=CPD

13、P101圓是定點的距離等于定長的點的會集102圓的內(nèi)部能夠看作是圓心的距離小于半徑的點的會集103圓的外面能夠看作是圓心的距離大于半徑的點的會集104同圓或等圓的半徑相等105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直均分線107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的均分線108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線109定理不在同素來線上的三點確定一個圓。110垂徑定理垂直于弦的直徑均分這條弦并且均分弦所對的兩條弧111推論1均分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且均分弦所

14、對的兩條弧弦的垂直均分線經(jīng)過圓心，并且均分弦所對的兩條弧均分弦所對的一條弧的直徑，垂直均分弦，并且均分弦所對的另一條弧112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等115推論在同圓或等圓中，若是兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其他各組量都相等116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等118推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直

15、徑119推論3若是三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角121直線L和O訂交dr直線L和O相切d=r直線L和O相離dr122切線的判判定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線均分兩條切線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角129推論若是兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等130訂交弦定理圓內(nèi)的兩條訂交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等131推論若是弦與直徑垂直訂交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比率中項132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比率中項133推論從圓外一點