(全國(guó)通用版)2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-不等式選講-第2節(jié)-不等式的證明學(xué)案-理-新人教B版

1、第2節(jié)不等式的證明最新考綱通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的根本方法：比擬法、綜合法、分析法.知 識(shí) 梳 理1.均值不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立.定理2：如果a，b0，那么eq f(ab,2)eq r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均.定理3：如果a，b，cR，那么eq f(abc,3)eq r(3,abc)，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立.2.不等式的證明方法(1)比擬法作差法(a，bR)：ab0ab；ab0a0，b0)：eq f(a,b)1ab；eq f(a,b)1ab1，xaeq f(1,a)

2、，ybeq f(1,b)，那么x與y的大小關(guān)系是()A.xyB.xb1得ab1，ab0，所以eq f(abab1,ab)0，即xy0，所以xy.答案A3.(教材習(xí)題改編)ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，那么M，N的大小關(guān)系為_(kāi).解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab).因?yàn)閍b0，所以ab0，ab0，2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.答案MN4.a0，b0且ln(ab)0，那么eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值是_.解析由題意得，ab1，a0，b0，eq f(1,a)e

3、q f(1,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)(ab)2eq f(b,a)eq f(a,b)22eq r(f(b,a)f(a,b)4.當(dāng)且僅當(dāng)abeq f(1,2)時(shí)等號(hào)成立.eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值是4.答案45.x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明因?yàn)閤0，y0，所以1xy23eq r(3,xy2)0，1x2y3eq r(3,x2y)0，故(1xy2)(1x2y)3eq r(3,xy2)3eq r(3,x2y)9xy.考點(diǎn)一比擬法證明不等式【例11】 (2023江蘇卷)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2b24，c2d216

4、.試證明：acbd8.證明(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c2b2d22acbd)b2c2a2d22acbd(bcad)20，(a2b2)(c2d2)(acbd)2，又a2b24，c2d216.因此(acbd)264，從而acbd8.【例12】 (一題多解)a0，b0，求證：eq f(a,r(b)eq f(b,r(a)eq r(a)eq r(b).證明法一因?yàn)閑q f(a,r(b)eq f(b,r(a)(eq r(a)eq r(b)eq f(r(a)3r(b)3r(a)r(b)r(ab),r(ab)eq f(r(a)r(b)r(a)r(b)2,r(a

5、b)，a0，b0，eq f(r(a)r(b)r(a)r(b)2,r(ab)0.因此eq f(a,r(b)eq f(b,r(a)eq r(a)eq r(b).法二由于eq f(f(a,r(b)f(b,r(a),r(a)r(b)eq f(ar(a)br(b),r(ab)r(a)r(b)eq f(r(a)r(b)ar(ab)b,r(ab)r(a)r(b)eq f(ab,r(ab)1eq f(2r(ab),r(ab)11.又a0，b0，eq r(ab)0，所以eq f(a,r(b)eq f(b,r(a)eq r(a)eq r(b).規(guī)律方法1.作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對(duì)差(商)式進(jìn)行合理的變形，特

6、別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號(hào).2.在例12證明中，法一采用局部通分，優(yōu)化了解題過(guò)程；在法二中，利用不等式的性質(zhì)，把證明ab轉(zhuǎn)化為證明eq f(a,b)1(b0).提醒在使用作商比擬法時(shí)，要注意說(shuō)明分母的符號(hào).【訓(xùn)練1】 設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a2b2eq r(ab)(ab).證明因?yàn)閍2b2eq r(ab)(ab)(a2aeq r(ab)(b2beq r(ab)aeq r(a)(eq r(a)eq r(b)beq r(b)(eq r(b)eq r(a)(eq r(a)eq r(b)(aeq r(a)beq r(b)(aeq sup6(f(1,2)beq sup6(f(1,2)(

7、aeq sup6(f(3,2)beq sup6(f(3,2).因?yàn)閍0，b0，所以不管ab0，還是0ab，都有aeq sup6(f(1,2)beq sup6(f(1,2)與aeq sup6(f(3,2)beq sup6(f(3,2)同號(hào)，所以(aeq sup6(f(1,2)beq sup6(f(1,2)(aeq sup6(f(3,2)beq sup6(f(3,2)0，所以a2b2eq r(ab)(ab).考點(diǎn)二綜合法證明不等式【例21】 (2023全國(guó)卷)實(shí)數(shù)a0，b0，且a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明(1)a0，b0，且a3b32.那么(ab)(a5b5)

8、a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a42a2b2b4)4ab(a2b2)24.(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2eq f(3ab2,4)(ab)2eq f(3ab3,4)，所以(ab)38，因此ab2.【例22】 (2023全國(guó)卷)函數(shù)f(x)eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,2)，M為不等式f(x)2的解集.(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|1ab|.(1)解f(x)eq blc(avs4alco1(2x，xf(1,2)，,1，f(1,2)xf(

9、1,2)，,2x，xf(1,2).)當(dāng)xeq f(1,2)時(shí)，由f(x)2得2x1，所以1xeq f(1,2)；當(dāng)eq f(1,2)xeq f(1,2)時(shí)，f(x)2恒成立.當(dāng)xeq f(1,2)時(shí)，由f(x)2得2x2，解得x1，所以eq f(1,2)x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.(2)證明由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，所以(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|.規(guī)律方法1.綜合法證明不等式，要著力分析與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰中選擇不等式，這是證明的關(guān)鍵.2.

10、在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和均值不等式是最常用的.在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件.【訓(xùn)練2】 (2023石家莊調(diào)研)函數(shù)f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)假設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足abcm，求證：eq f(b2,a)eq f(c2,b)eq f(a2,c)3.(1)解當(dāng)x3；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)2(x1)(x2)x4，此時(shí)，3f(x)6；當(dāng)x2時(shí)，f(x)2(x1)(x2)3x6.綜上可知，f(x)的最小值m3.(2)證明a，b，c均大于0，且abc3.(abc)eq blc(rc)(avs4alco1(f(b2,a)f(c2,b)f(a2

11、,c)eq blc(rc)(avs4alco1(af(b2,a)eq blc(rc)(avs4alco1(bf(c2,b)eq blc(rc)(avs4alco1(cf(a2,c)2eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(b2,a)a)r(f(c2,b)b)r(f(a2,c)c)2(abc)(當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)取“)，所以eq f(b2,a)eq f(c2,b)eq f(a2,c)abc，故eq f(b2,a)eq f(c2,b)eq f(a2,c)3.考點(diǎn)三分析法證明不等式【例3】 abc，且abc0，求證：eq r(b2ac)bc且abc0，知a0，c0.要證eq r(b2ac)

12、eq r(3)a，只需證b2ac3a2.abc0，只需證b2a(ab)0，只需證(ab)(2ab)0，只需證(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0，(ab)(ac)0顯然成立，故原不等式成立.規(guī)律方法1.當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.2.分析法證明的思路是“執(zhí)果索因，其框圖表示為：eq x(QP1)eq x(P1P2)eq x(P2P3)eq x(得到一個(gè)明顯成立的條件)【訓(xùn)練3】 (2023福州八中質(zhì)檢)函數(shù)f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(x4)8；(2)假設(shè)|a|1，|b|a|feq bl

13、c(rc)(avs4alco1(f(b,a).(1)解依題意，原不等式等價(jià)于|x1|x3|8.當(dāng)x1時(shí)，那么2x28，解得x3.所以不等式f(x)f(x4)8的解集為x|x3或x5.(2)證明要證f(ab)|a|feq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)，只需證|ab1|ba|，只需證(ab1)2(ba)2.|a|1，|b|1，知a21，b20.故(ab1)2(ba)2成立.從而原不等式成立.根底穩(wěn)固題組(建議用時(shí)：50分鐘)1.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbccaeq f(1,3)；(2)eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)1.證明

14、(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbccaeq f(1,3).(2)因?yàn)閑q f(a2,b)b2a，eq f(b2,c)c2b，eq f(c2,a)a2c，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“.故eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)(abc)2(abc)，那么eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)abc.所以eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)1.2.設(shè)a0，b0，且abeq f(

15、1,a)eq f(1,b).證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b0，b0，得ab1.(1)由均值不等式及ab1，有ab2eq r(ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)等號(hào)成立，即ab2.(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時(shí)成立，那么由a2a0，得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾.故a2a2與b2bcd，那么eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)；(2)eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)是|ab|eq r(c)eq r(d)，只需證明(eq r(a)eq r(b)2(eq r(c)eq r(d)2，也就是證明ab2eq r(ab)cd2eq r(c

16、d)，只需證明eq r(ab)eq r(cd)，即證abcd.由于abcd，因此eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d).(2)假設(shè)|ab|cd|，那么(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d).假設(shè)eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)，那么(eq r(a)eq r(b)2(eq r(c)eq r(d)2，ab2eq r(ab)cd2eq r(cd).abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|eq r(c)eq r(d)是|ab|cd|的

17、充要條件.7.(2023樂(lè)山模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)|xm|x|，mN+，假設(shè)存在實(shí)數(shù)x使得f(x)1，f()f()6，求證：eq f(4,)eq f(1,)eq f(9,4).(1)解因?yàn)閨xm|x|xmx|m|，要使|xm|x|2有解，那么|m|2，解得2m1，f()f()21216，4，eq f(4,)eq f(1,)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,)f(1,)()eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(5f(4,)f(,)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(52r(f(4,)f(,)eq f(9,4)

18、，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(4,)eq f(,)，即eq f(8,3)，eq f(4,3)時(shí)“成立，故eq f(4,)eq f(1,)eq f(9,4).8.設(shè)函數(shù)f(x)|2xa|，g(x)x2.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)f(x)g(x)的解集；(2)求證：feq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)中至少有一個(gè)不小于eq f(1,2).(1)解當(dāng)a1時(shí)，|2x1|2x1|x2，化簡(jiǎn)可得eq blc(avs4alco1(xf(1,2)，,4xx2)或eq blc(avs4alco1(f(1,2)xf(1,2)，,2x2)或eq blc(avs4alco1(xf(1,2)，,4xx2，)解得0 xeq f(1,2)或eq f(1,2)xeq f(2,3).綜上，不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(0 xf(2,3).(2)證明假設(shè)feq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2)，feq blc(