一道三角題的多種解法

1、一道三角題的多種解法題 目以的 斜 邊為一邊向形外作正方形， 設(shè)，求證:.這是筆者從華中師范大學彭翕成老師的博客中看到的一道題目， 該題首先是由彭老師發(fā)給史嘉老師的并且要求用向量進行解答， 然后史嘉老師將此題發(fā)到人教網(wǎng)上征求解答， 引起網(wǎng)友們的強烈反響和熱烈參與， 解法多種多樣精彩紛呈， 筆者從中受益匪淺， 現(xiàn)將有關(guān)解法和本人的膚淺體會整理成文與大家分享.一、路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索圖1證法1 如圖1，過點作于點交于點，設(shè)，設(shè)正方形的邊長為1，則，.于是. 同理，.由余弦定理得，圖 2.由上易證.證法 2 以的中點為坐標原點建立直角坐標系如圖2 所示，設(shè)正方形的邊長為2.依題意點在以為直

2、徑的上半圓上，設(shè)點的坐標為.由向量夾角公式知，要證.只要證，只要證.由，得.由，得.所以.又，.所以，所以，故.證法3 以的中點為坐標原點建立直角坐標系如圖2 所示，設(shè)正方形的邊長為2，依題意點在以為直徑的上半圓上，設(shè)點的坐標為.因為，所以要證，只要證，即 要 證，兩邊同除以，則只要證.由到角公式得，.故.二、“弦圖”背景會當臨絕頂，一覽眾山小該題文字簡潔解法多樣且背景深厚.上述證法運算量較大，若將其補成一個正方形如圖3所示，補形后不僅圖形對稱完美，而且證明思路更加清晰證法更加簡潔直觀.證法4 同法2 只要證.如圖3，過點作交的延長線于點，過點作交的延長線于點，設(shè)直線圖 3相交于點，易證四邊形

3、是正方形，且四個角上的四個直角形全等，此圖就是我國古代數(shù)學家趙爽用于證明勾股定理的“弦圖 ”.設(shè)，則，則.由向量數(shù)量積的幾何意義得，所以.所以.所以.故.證法 5 同法 4 補形成正方形， 由直角三角形的邊角關(guān)系得，所以.由余弦定理得，.綜上.證法6如圖3，因為，所以要證，只要證，即要證.而，所以，故.證法7同法6 只要證，兩邊同除以，則只要證，而，故.趙爽弦圖2002 年國際數(shù)學家大會在北京召開，大會的會標是我國古代數(shù)學家趙爽畫的 “弦圖 ”，體現(xiàn)了數(shù)學研究中的繼承和發(fā)展 .趙爽的 “弦圖 ”隱含了勾股定理的兩種面積證法，其證法如下:證法1 由 “弦圖 ”知，邊長為的正方形面積等于邊長為的正

4、方形面積減去4 個兩直角邊為的三角形面積，即.證法 2 由 “弦圖 ”知，邊長為的正方形面積等于邊長為的正方形面積加上4 個兩直角邊為的三角形面積，即.趙爽的 “弦圖 ”證法優(yōu)美精巧是證明勾股定理最著名的證法之一，特別是 “弦圖 ”一圖蘊涵兩種證法更是舉世無雙. “弦圖 ”是證明勾股定理的無字證明，充分體現(xiàn)了我國古代的數(shù)學文明和數(shù)學文化， 本題補形后的 “弦圖 ”不僅圖形對稱完美， 而且證明思路更加清晰證法更加簡潔直觀，使我們再次領(lǐng)會到 “弦圖 ”的魅力和豐富的數(shù)學內(nèi)涵 .出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂， 今天下三分， 益州疲弊， 此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身

5、于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費祎、董允等，此皆良實，志慮忠純，是以先帝簡拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補闕漏，有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰“能 ”，是以眾議舉寵為督：愚以為營中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。親賢臣，遠小人，此先漢所以興隆也； 親小人， 遠賢臣，此后漢所以傾頹也。 先帝

6、在時，每與臣論此事， 未嘗不嘆息痛恨于桓、 靈也。侍中、尚書、長史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計日而待也。臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受任于敗軍之際，奉命于危難之間，爾來二十有一年矣。先帝知臣謹慎，故臨崩寄臣以大事也。受命以來，夙夜憂嘆，恐托付不效，以傷先帝之明；故五月渡瀘，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，當獎率三軍，北定中原，庶竭駑鈍，攘除奸兇，興復漢室，還于舊都。此臣所以報先帝而忠陛下之職分也。至于斟酌損益，進盡忠言，則攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以