證明不等式的基本方法-比較法

1、第二講證明不等式的基本方法課題：第01課時不等式的證明方法之一：比較法一授課目的（一）知識目標1）認識不等式的證明方法比較法的基本思想；2）會用比較法證明不等式，嫻熟并靈巧地選擇作差或作商法來證明不等式；3）明確用比較法證明不等式的依照，以及“轉(zhuǎn)變”的數(shù)學思想。（二）能力目標1）培養(yǎng)學生將實詰問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學識題的能力；2）培養(yǎng)學生觀察、比較、抽象、歸納的能力；3）訓練學生思想的靈巧性。（三）德育目標1）激發(fā)學習的內(nèi)在動機；2）養(yǎng)成優(yōu)秀的學習習慣。二授課的重難點及授課方案（一）授課要點不等式證明比較法的基本思想,用作差、作商達到比較大小的目的（二）授課難點借助與0或1比較大小轉(zhuǎn)變的數(shù)學思想，證明

2、不等式的依照和用途（三）授課方案要點情境設計用糖水加糖更甜，實質(zhì)是糖的質(zhì)量分數(shù)增大這個生活知識設置問題情境，激發(fā)學生學習動機，經(jīng)過將實詰問題轉(zhuǎn)變成不等式大小的比較，引入新課。授課內(nèi)容的辦理1）補充一系列不一樣樣種類的用作差、作商等比較法證明不等式的例題。2）補充一組證明不等式的變式練習。3）在作業(yè)中補充何時該用作差法，何時用作商法的習題，幫助同學們更好地理解比較法。3.授課方法獨立研究，合作溝通與教師引導相聯(lián)合。三教具準備水杯、水、白糖、調(diào)羹、粉筆等四授課過程(一)、新課學習：作差比較法的依照：abab0abab0abab0作差比較法的步驟：作差變形（化簡）定號（差值的符號）得出結(jié)論作商比較法

3、的原理和步驟：精選a,bRaba1baba1baba1b作商比較法的步驟：作商變形（化簡）判斷（商值與實數(shù)1的關系）得出結(jié)論(二)、典型例題：例1、已知a,b都是正數(shù)，且ab，求證：a3b3a2bab2.證明：采用差值比較法：(a3b3)(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ba)(a2b2)(ab)(ab)2(ab)（因式分解）Qab,a,b0(ab)20,ab0(ab)2(ab)0a3b3a2bab2假如沒有已知a,b都是正數(shù)這個條件，結(jié)論又該分幾種情況進行談論？例2、若實數(shù)x1，求證：3(1x2x4)(1xx2)2.證明：采用差值比較法：3(1x2x4)(1xx2

4、)2=33x23x41x2x42x2x22x3=2(x4x3x1)=2(x1)2(x2x1)精選=2(x1)2(x1)23.（配方法）24x1,從而(x1)20,且(x1)230,242(x1)2(x1)230,243(1x2x4)(1xx2)2.若題設中去掉x1這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？例3假如用白糖制出bkg糖溶液，則糖的質(zhì)量分數(shù)為ab若在上述溶液中再增加mkg白糖，此時糖的質(zhì)量分數(shù)增加到am.bm將這個事實抽象為數(shù)學識題，并給出證明.解：能夠把上述事實抽象成以下不等式問題：已知都是正數(shù)，并且ab,則amaa,b,mbmb下面給出證明.將不等式兩邊相減，得amam(ba)(通分)

5、bmbb(bm)Qab,ba0;又都是正數(shù)，所以(ba)0,(bm)0Qa,b,mmbm(ba)即ama0b(bm)0mbbamabmb例4、已知a,bR,求證：aabbabba.證明：注意到要證的不等式對于a,b對稱，不如設ab0差值比較法無效采用商值比較法：ab0,1,abaabbaabb(ab)(a)ababbab精選當aaab1時（）bb當aba1,ab（aab1時，）0b0,b當ba時，0a1,a（aab1）0bb0,baabbabba故原不等式得證.abc例5.若abc0，求證aabbcc(abc)3.證：Qabc0則ab,bc,ac0aba同時,1aabbccaabc()(abc

6、)3bb3(b)cc3(a)cac1即aabbccabc(abc)3(三)、講堂練習：1已知a1.求證：（1）a22a1;（）2a21a21.2.已知a,b,c是正數(shù)，求證a2ab2bc2cabcbcacab五、課時小結(jié)：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法，用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷、得出結(jié)論。“變形”是解題的要點，是最重要的一步。作差常用的變形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差變形為幾個因式的乘積，或其他可判斷符號的形式，作商變形主要判斷商值與1的大小關系，大部分情況如上面例4、5最后可化為指數(shù)函數(shù)形式利用指數(shù)函數(shù)的單一性與性質(zhì)來進行判斷較簡單.六、部署作業(yè)：課本23頁第1、2、3題。（要求：依照講堂上老師演示做題的形式和格式，解題過程中做到有邏輯性、條理性、步驟要有理有據(jù))七板書設計精選作差法依照作商法依照比較法證明不等式：（見上面）（見上面）作差、作商的基本步驟作差變形的方法：結(jié)果大部分化成指數(shù)函（見上面）因式分解法、通分法、數(shù)的形式，用指數(shù)函數(shù)的配方法性質(zhì)與單一性，比較最后最后比較差與0的大小關結(jié)果與1的大小關系系八后記情境創(chuàng)辦調(diào)換了學生學習的積極性，講堂比較活躍，也激勵了我的授課