有限元法及其在工程中的應(yīng)用

1、機(jī)械與汽車(chē)學(xué)院曹?chē)?guó)強(qiáng)主要內(nèi)容：1、有限元法的基本思想。2、結(jié)構(gòu)力學(xué)模型的簡(jiǎn)化和結(jié)構(gòu)離散化。3、有限元法的實(shí)施過(guò)程。、有限元法的基本思想有限元法是隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的一種有效的數(shù)值方法。其基本思想是：將連續(xù)的結(jié)構(gòu)分割成數(shù)目有限的小單元體（稱(chēng)為單元），這些小單元體彼此之間只在數(shù)目有限的指定點(diǎn)（稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)）上相互連接。用這些/單元體組成的集合體來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)結(jié)構(gòu)。再把每個(gè)小單元體上實(shí)際作用的外載荷按彈性力學(xué)中的虛功等效原理分配到單元的節(jié)點(diǎn)上，構(gòu)成等效節(jié)點(diǎn)力，并按結(jié)構(gòu)實(shí)際約束情況決定受約束節(jié)點(diǎn)的約束。這一過(guò)程稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的離散化。其次，對(duì)每個(gè)小單元體選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似地表示其位移分量的分布規(guī)

2、律，并按彈性力學(xué)中的變分原理建立起單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系（單元?jiǎng)偠确匠蹋詈?，把全部單元的?jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系組集起來(lái)，就得到了一組以結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程組（總體剛度方程），同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的約束情況，消去那些結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移為零的方程，再由最后的代數(shù)方程組就可求得結(jié)構(gòu)上有限個(gè)離散節(jié)點(diǎn)的各位移分量。求得了結(jié)構(gòu)上各節(jié)點(diǎn)的位移分量之后，即可按單元的幾何方程和物理方程求得各單元的應(yīng)變和節(jié)點(diǎn):as.+單元:應(yīng)力節(jié)點(diǎn):as.+單元:空同中的坐標(biāo)竝置，具有一定自由度和存在相互物理作用D一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值.矩陣描述稱(chēng)為剛度或系數(shù)拒陣b單元有韁面或騏體以貶二S或三維的單元等種類(lèi)O

3、有限元模型蟲(chóng)一些簡(jiǎn)單形狀的單川;組成，單元之冋通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，并承曼一定載荷.有限元法的實(shí)質(zhì)就是把具有無(wú)限個(gè)自由度的連續(xù)體，理想化為有限個(gè)自由度的單元的集合體，使問(wèn)題簡(jiǎn)化為適合于數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問(wèn)題。經(jīng)典解法（解析法）與有限元法的區(qū)別微元數(shù)目增加到8大小趨于0解析法建立一個(gè)描述連續(xù)體性質(zhì)的偏微分方程組解析法建立一個(gè)描述連續(xù)體性質(zhì)的偏微分方程組有限元解法有限元連續(xù)體罔散化單元集口代替原連續(xù)體（單元分析）總體分析求得近似解二、結(jié)構(gòu)力學(xué)模型的簡(jiǎn)化和結(jié)構(gòu)離散化（一）結(jié)構(gòu)力學(xué)模型的簡(jiǎn)化用有限元法硏究實(shí)際工程結(jié)構(gòu)問(wèn)題時(shí)，首先要從工程實(shí)際問(wèn)題中抽象出力學(xué)模型，即要對(duì)實(shí)際問(wèn)題的邊界條件、約束條件和外載荷進(jìn)行簡(jiǎn)化

4、，這種簡(jiǎn)化應(yīng)盡可能地反映實(shí)際情況，不至于使簡(jiǎn)化后的解答與實(shí)際差別過(guò)大，但也不要帶來(lái)計(jì)算上的過(guò)分復(fù)雜，在力學(xué)模型的簡(jiǎn)化過(guò)程中，必須判斷實(shí)際結(jié)構(gòu)的問(wèn)題類(lèi)型，是二維問(wèn)題還是三維問(wèn)題。如果是平面問(wèn)題，是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是平面應(yīng)變問(wèn)題。同時(shí)還要搞清楚結(jié)構(gòu)是否對(duì)稱(chēng)，外載荷大小和作用位置，結(jié)構(gòu)的幾何尺寸和力學(xué)參數(shù)（彈性模量E、波松比等）。（二）結(jié)構(gòu)的離散化將已經(jīng)簡(jiǎn)化好的結(jié)構(gòu)力學(xué)模型劃分成只在一些節(jié)點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)單元，把每個(gè)單元看成是一個(gè)連續(xù)的小單元體，各單元之間只在一些點(diǎn)上互相聯(lián)結(jié)，這些點(diǎn)稱(chēng)作節(jié)點(diǎn)，每個(gè)單元體稱(chēng)為一個(gè)單元。用只在節(jié)點(diǎn)處連接的單元的集合體代替原來(lái)的連續(xù)結(jié)構(gòu)，把外載荷按虛功等效原理移置到有關(guān)受載

5、的節(jié)點(diǎn)上，構(gòu)成節(jié)點(diǎn)載荷，把連續(xù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行這樣分割的過(guò)程稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的離散化。現(xiàn)舉例說(shuō)明。設(shè)一平面薄板，中間有一個(gè)園孔，其左端固定，右端受面力載荷q，試對(duì)其進(jìn)行有限元分割和力學(xué)模型簡(jiǎn)化。ANYS薄板模型的應(yīng)力變化曲線薄板模型的位移變化曲線三、有限元方法的實(shí)施過(guò)程有限元方法的實(shí)施過(guò)程可以分為三個(gè)步驟：1、前處理。將整體結(jié)構(gòu)或其一部分簡(jiǎn)化為理想的數(shù)學(xué)模型，用離散化的網(wǎng)格代替連續(xù)的實(shí)體結(jié)構(gòu)。2、計(jì)算分析。分析計(jì)算結(jié)構(gòu)的受力、變形及特性。3、將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行整理和歸納。對(duì)于有限元程序使用者而言/第一步和第三步的工作量最大/一個(gè)有限元程序DIQ7的好壞，在很大程度上取決于第一步的前處理和第三步的后處理功能是否強(qiáng)大

6、。前處理對(duì)于第一步的前處理而言，要根據(jù)計(jì)算的目的和所關(guān)心的區(qū)域，將結(jié)構(gòu)模型化、離散化。需要給出下列信息：（1）節(jié)點(diǎn)的空間位置。（2）單元與節(jié)點(diǎn)的連接信息。（3）結(jié)構(gòu)的物質(zhì)特性和材料參數(shù)。（4）邊界條件或約束。（5）各類(lèi)載荷。在構(gòu)成離散模型時(shí)，為了使模型較為合理，必須遵循以下的原則：（1）使計(jì)算模型盡量簡(jiǎn)化，以減少計(jì)算時(shí)間和容量，但又必須抓住主要因素以不影響計(jì)算精度。（2）在所關(guān)心的區(qū)域加密計(jì)算網(wǎng)格。后處理有限元計(jì)算是一種大規(guī)模的科學(xué)計(jì)算，其特點(diǎn)是除了要花費(fèi)巨大的計(jì)算機(jī)處理能力外，在計(jì)算過(guò)程中還會(huì)產(chǎn)生巨大數(shù)量的數(shù)字信息。只有在計(jì)算輸出信息進(jìn)行仔細(xì)分析理解之后，才能洞察計(jì)算中發(fā)生的情況和問(wèn)題，才能獲得對(duì)被研究對(duì)象的認(rèn)識(shí)和見(jiàn)解。在大多數(shù)情況下，被研究的對(duì)象都是三維介質(zhì)中的場(chǎng)分布問(wèn)題（應(yīng)力分布、位移分布、壓力分布、電場(chǎng)分布等），即所謂的“四維”問(wèn)題。鑒于其計(jì)算結(jié)果分析的復(fù)雜性，人們提出了科學(xué)計(jì)算可視性的要求，即把四維的數(shù)據(jù)進(jìn)行圖形處理或稱(chēng)為可視化處理，使人們能夠看到場(chǎng)的分布圖象，從圖象上直接進(jìn)