球的表面積和體積 教案-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

1、 4/4球的表面積和體積【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】1了解球的表面積和體積公式2會用球的表面積和體積公式解決實(shí)際問題.1通過學(xué)習(xí)球的體積、表面積公式培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).2通過求球的表面積和體積提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【教學(xué)重難點(diǎn)】1了解球的表面積和體積公式2會用球的表面積和體積公式解決實(shí)際問題.【教學(xué)過程】一、基礎(chǔ)鋪墊1與球相關(guān)的概念：（1）球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為球的大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為球的小圓.（2）與圓和直線相切類似，當(dāng)直線與球有唯一交點(diǎn)時，稱直線與球相切，這一交點(diǎn)稱為直線與球的切點(diǎn).（3）過球外一點(diǎn)所有切線的切線長都相等.2球的表面積球的半徑為R，那么它的表面積S球4R2思

2、考：球有底面嗎？球面能展開成平面圖形嗎？提示：球沒有底面，球面不能展開成平面圖形3球的體積球的半徑為R，那么它的體積V球eq f(4,3)R3二、合作探究1球的體積與表面積【例1】 （1）球的體積是eq f(32,3)，則此球的表面積是( )A12 B16Ceq f(16,3) Deq f(64,3)（2）若圓錐與球的體積相等，且圓錐底面半徑與球的直徑相等，則圓錐側(cè)面積與球面面積之比是_（1）B （2）eq f(r(5),2) （1）eq f(4,3)R3eq f(32,3)，故R2，球的表面積為4R216.（2）設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，球的半徑為R，則由題意得eq blcr

3、c (avs4alco1(f(1,3)r2hf(4,3)R3，,r2R，)eq f(1,3)(2R)2heq f(4,3)R3，Rh，r2h，leq r(r2h2)eq r(5)h，S圓錐側(cè)rl2heq r(5)h2eq r(5)h2，S球4R24h2，eq f(S圓錐側(cè),S球)eq f(2r(5)h2,4h2)eq f(r(5),2).【規(guī)律方法】求球的體積與表面積的方法1要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解.2半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩個要素，計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了.2球的表面積及體積的應(yīng)用【例2】

4、一個倒立的圓錐形容器，它的軸截面是正三角形在此容器內(nèi)注入水并且放入一個半徑為r的鐵球，這時水面恰好和球面相切，問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水面的高是多少？思路探究 設(shè)出球未取出時的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后減少的體積來建立一個關(guān)系式解決解 設(shè)PAB所在平面為軸截面，AB為水平面，設(shè)球未取出時，水面高PCh，球取出后水面高PHx，如圖所示ACeq r(3)r，PC3r，以AB為底面直徑的圓錐的容積為V圓錐eq f(1,3)AC2PCeq f(1,3)(eq r(3)r)23r3r3，V球eq f(4,3)r3球取出后水面下降到EF，水的體積為V水eq f(1,3)EH2PHeq f

5、(1,3)(PHtan 30)2PHeq f(1,9)x3而V水V圓錐V球，即eq f(1,9)x33r3eq f(4,3)r3，xeq r(3,15)r.故球取出后水面的高為eq r(3,15)r.【規(guī)律方法】1畫出截面圖是解答本題的關(guān)鍵2球的表面積和體積有著非常重要的應(yīng)用在具體問題中，要分清涉及的是體積問題還是表面積問題，然后再利用等量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算三、課堂總結(jié)1球的表面積和體積公式設(shè)球的半徑為R（1）表面積公式：S4R2（2）體積公式：Veq f(4,3)R32用一個平面截球所得截面的特征（1）用一個平面去截球，截面是圓面（2）球心和截面圓心的連線垂直于截面（3）球心到截面的距離d與球的半

6、徑R以及截面的半徑r，有下面的關(guān)系req r(R2d2).四、課堂練習(xí)1思考辨析（1）球的表面積等于它的大圓面積的2倍( )（2）兩個球的半徑之比為12，則其體積之比為14( )（3）球心與其截面圓的圓心的連線垂直于截面( )答案 （1） （2） （3）2若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于( )Aeq f(1,2) B1 C2 D3D 由題設(shè)球半徑為r，則4r2eq f(4,3)r3，可得r3，故選D3表面積為Q的多面體的每一個面都與表面積為64的球相切，則這個多面體的體積為( )Aeq f(1,3)Q BQCeq f(4,3)Q D2QC 4R264R4，Veq f(1,3)QReq f(4,3)Q，故選C4某幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)：（1）求該幾何體的表面積(結(jié)果保留)；（2）求該幾何體的體積(結(jié)果保留)解 由三視圖可知，該幾何體是一個四棱柱和一個半球構(gòu)成的組合