點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試練習(xí)題(含答案)

1、 PAGE PAGE 10點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試一、單項(xiàng)選擇題（每題 1 分）1、已知下列集族中（)是上的拓?fù)?答案：2、設(shè)，下列集族中,(）是上的拓?fù)?答案：3、已知，下列集族中（）是上的拓?fù)?答案：4、設(shè)，下列集族中,（）是上的拓?fù)?。答案?、已知，下列集族中（）是上的拓?fù)?。答案?、設(shè)，下列集族中（）是上的拓?fù)洹?、已知，拓?fù)?，則=（）8、已知，拓?fù)洌瑒t=（）9、已知，拓?fù)?則=（10、已知，拓?fù)?則=()11、已知，拓?fù)?，則=(12、已知，拓?fù)?，則=（）答案：13、設(shè),拓?fù)?則的既開(kāi)又閉的非空真子集個(gè)數(shù)（） 1 2 34答案:14、設(shè)，拓?fù)?則的既開(kāi)又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為(） 1 2 3

2、4答案：15、設(shè)，拓?fù)洌瑒t的既開(kāi)又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為(） 01 23答案：16、設(shè)，拓?fù)?，則的既開(kāi)又閉的子集的個(gè)數(shù)為（） 01 23答案：17、設(shè)，拓?fù)?則的既開(kāi)又閉的子集的個(gè)數(shù)為(） 12 34答案:18、設(shè)，拓?fù)?的既開(kāi)又閉的非空真子集個(gè)數(shù)（ ）答案：答案：答案： 12 34答案：19、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集的內(nèi)部是（）Q R Q R20、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集的邊界是（）Q R -Q R21、在實(shí)數(shù)空間中,整數(shù)集的內(nèi)部是（）RZ R22、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集的邊界是（)R-Z R23、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是(）24、在實(shí)數(shù)空間中,區(qū)間的邊界是（）25、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間的內(nèi)部是（

3、）答案：26、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A，B 是的子集，則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（）答案: 27、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A，B 是的子集,則下列關(guān)系中正確的是（）答案: 28、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A，B 是的子集，則下列關(guān)系中正確的是（）29、已知是一個(gè)離散拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（）答案：30、已知是一個(gè)平凡拓?fù)淇臻g，A是的子集，則下列結(jié)論中不正確的是（） 若，則 若，則 A=，則 若, 則答案：31、已知是一個(gè)平凡拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（) 若,則 若，則 若A=，則 若，則答案： 32、設(shè),令，則由產(chǎn)生的上的拓?fù)涫牵?，,d,c,d，a，b， ,d，c，d ,，a，

4、b, ，d,b，,b，d，b,，d答案 33、設(shè)是至少含有兩個(gè)元素的集合，, 是的拓?fù)?則（）是的基。答案：34、 設(shè)，則下列的拓?fù)渲?）以為子基. ， aa, ， ,a ,a，ba，b， 答案：35、離散空間的任一子集為（) 開(kāi)集 閉集 即開(kāi)又閉 非開(kāi)非閉答案:36、平凡空間的任一非空真子集為() 開(kāi)集 閉集 即開(kāi)又閉 非開(kāi)非閉37、實(shí)數(shù)空間中的任一單點(diǎn)集是 (） 開(kāi)集 閉集 既開(kāi)又閉 非開(kāi)非閉38、實(shí)數(shù)空間R 的子集A =1，, ，,則(） R A0 A答案：39、在實(shí)數(shù)空間R 中，下列集合是閉集的是（） 整數(shù)集 有理數(shù)集 無(wú)理數(shù)集40、在實(shí)數(shù)空間R 中，下列集合是開(kāi)集的是（ ） 整數(shù)集Z

5、 有理數(shù)集 無(wú)理數(shù)集 集Z 的補(bǔ)集答案：、已知上的拓?fù)?則點(diǎn)1的鄰域個(gè)數(shù)是() 1 2 3 442、已知,則上的全部可能的拓?fù)溆?） 1個(gè) 2個(gè) 3個(gè) 4個(gè)43、已知=a,b，c,則上的含有個(gè)元素的拓?fù)溆校ǎ﹤€(gè) 3 5 7944、設(shè)為拓?fù)淇臻g,則下列敘述正確的為()當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，答案：45、在實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻g中，區(qū)間是（） 開(kāi)集 閉集 既是開(kāi)集又是閉集 非開(kāi)非閉46、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，,且滿(mǎn)足，則是(） 開(kāi)集 閉集 既是開(kāi)集又是閉集 非開(kāi)非閉47、設(shè),是的拓?fù)?，則的子空間的拓?fù)錇?）答案：48、設(shè)，是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇?)答案：49、設(shè)，是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇?）答案:50、

6、設(shè)，是的拓?fù)?，則的子空間的拓?fù)錇椋ǎ┐鸢福?1、設(shè)，是的拓?fù)?，則的子空間的拓?fù)錇?)答案：52、設(shè),是的拓?fù)?，則的子空間的拓?fù)錇?）答案： 53、設(shè)是實(shí)數(shù)空間，是整數(shù)集，則的子空間的拓?fù)錇?答案：54、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間。是到的投射，則是（）單射連續(xù)的單射 滿(mǎn)的連續(xù)閉映射 滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案:55設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間是到的投射,則（） 單射連續(xù)的單射 滿(mǎn)的連續(xù)閉映射 滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案：56、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間。是到的投射，則是（）單射連續(xù)的單射 滿(mǎn)的連續(xù)閉映射 滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案：57設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間是到的投射則（） 單射連續(xù)的單射 滿(mǎn)的連續(xù)閉映射 滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案：58、設(shè)是拓

7、撲空間的積空間。是到的投射，則是（） 單射 連續(xù)的單射 滿(mǎn)的連續(xù)閉映射 滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案：59設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射則是() 單射連續(xù)的單射 滿(mǎn)的連續(xù)閉映射 滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案:60、設(shè)和是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是它們的積空間，則有（） 答案：61、有理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（） 不連通子集連通子集 開(kāi)集以上都不對(duì)答案：62、整數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（） 不連通子集連通子集 開(kāi)集以上都不對(duì)63、無(wú)理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（） 不連通子集 連通子集 開(kāi)集 以上都不對(duì)答案：答案：64、設(shè)Y 為拓?fù)淇臻gX 的連通子集,Z 為X 的子集，若，則Z 為（)不連通子集 連通子集 閉集開(kāi)集答案：65、設(shè)是平凡

8、空間，則積空間是（） 離散空間 不肯定是平凡空間 平凡空間不連通空間答案：66、設(shè)是離散空間，則積空間是（） 離散空間 不肯定是離散空間 平凡空間連通空間答案:67、設(shè)是連通空間，則積空間是（) 離散空間 不肯定是連通空間 平凡空間 連通空間答案：68、實(shí)數(shù)空間R 中的連通子集E 為(）開(kāi)區(qū)間 閉區(qū)間區(qū)間以上都不對(duì)答案：69、實(shí)數(shù)空間R 中的不少于兩點(diǎn)的連通子集E 為（)開(kāi)區(qū)間 閉區(qū)間區(qū)間 以上都不對(duì)答案：70、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為(）開(kāi)區(qū)間 閉區(qū)間區(qū)間 區(qū)間或一點(diǎn)答案：71、下列敘述中正確的個(gè)數(shù)為(）（）單位圓周是連通的； （）是連通的（）是連通的（)和同胚12 3 4答案：二、填空題

9、（每題 11、設(shè),則的平凡拓?fù)錇?答案:2、設(shè)，則的離散拓?fù)錇?；答案?、同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)叫;答案：拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)4、在實(shí)數(shù)空間R 中，有理數(shù)集Q 的導(dǎo)集是. 答案： R5、當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于的每一鄰域有答案：6、設(shè)是有限補(bǔ)空間中的一個(gè)無(wú)限子集，則=;答案:7、設(shè)是有限補(bǔ)空間中的一個(gè)無(wú)限子集,則=;答案：8、設(shè)是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個(gè)不行數(shù)子集，則=;答案:9、設(shè)是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個(gè)不行數(shù)子集，則=;答案：10211、設(shè),的拓?fù)?，則的子集 的內(nèi)部為；答案:112、設(shè),的拓?fù)洌瑒t的子集 的內(nèi)部為113；答案:14、設(shè),則的平凡拓?fù)錇?；答案?5、設(shè),則的離散拓?fù)錇榇鸢福?6;答案：317118、是

10、拓?fù)淇臻g到的一個(gè)映射,若它是一個(gè)單射,并且是從到它的象集的一個(gè)同胚，則稱(chēng)映射是一個(gè)。答案：嵌入19、是拓?fù)淇臻g到的一個(gè)映射，假如它是一個(gè)滿(mǎn)射，并且的拓?fù)涫菍?duì)于映射而言的商拓?fù)?，則稱(chēng)是一個(gè)；答案：商映射設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g,是一個(gè)映射，若中任何一個(gè)開(kāi)集的象集是中的一個(gè)開(kāi)集，則稱(chēng)映射是一個(gè)答案：開(kāi)映射、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)映射,若中任何一個(gè)閉集的象集是中的一個(gè)閉集，則稱(chēng)映射是一個(gè)答案：閉映射22、若拓?fù)淇臻g存在兩個(gè)非空的閉子集,使得，則是一個(gè)連通空間23、若拓?fù)淇臻g存在兩個(gè)非空的開(kāi)子集,使得，則是一個(gè);答案:不連通空間24、若拓?fù)淇臻g存在著一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，則是一個(gè)答案:不連通空間25、設(shè)

11、是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集,滿(mǎn)足，則也是的一個(gè)； 答案：連通子集26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，假如為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必定為它在任何一個(gè)連續(xù)映射下的象所具有,則稱(chēng)這共性質(zhì)是一個(gè)；答案:在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，假如為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必定為它的任何一個(gè)商空間所具有，則稱(chēng)這共性質(zhì)是一個(gè)；答案：可商性質(zhì)28、若任意個(gè)拓?fù)淇臻g,都具有性質(zhì)，則積空間也具有性質(zhì),則性質(zhì)稱(chēng)為答案：有限可積性質(zhì)29、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中有兩個(gè)非空的隔離子集,使得，則稱(chēng)是一個(gè)；答案：不連通空間.三推斷（413）1從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射(）答案:都是開(kāi)集，從而是中的開(kāi)集，所以是連續(xù)的.

12、2、設(shè)是集合的兩個(gè)拓?fù)?則不肯定是集合的拓?fù)?理由：由于(1）是的拓?fù)?故T1,T，從而；（）T1TT1 T，由于T1， T2 是的拓?fù)?T1 T2,從而 T1T；（）對(duì)任意的,T1T2 UTUT1， UTUT2UTUT1T；T1T也是的拓?fù)?、從拓?fù)淇臻g到平凡空間的任何映射都是連續(xù)映射（）答案：設(shè)是任一滿(mǎn)足條件的映射,由于是平凡空間，它中的開(kāi)集只有，易知它們?cè)谙碌脑蠓謩e是，均為中的開(kāi)集,從而連續(xù).4、設(shè)為離散拓?fù)淇臻g的任意子集，則 (）答案：理由:設(shè)為中的任何一點(diǎn)，由于離散空間中每個(gè)子集都是開(kāi)集，所以是的開(kāi)子集，且有，即,從而 .5、設(shè)為平凡空間（多于一點(diǎn)）的一個(gè)單點(diǎn)集，則 （)答案：鄰域

13、，有，所以有.6、設(shè)為平凡空間的任何一個(gè)多于兩點(diǎn)的子集，則 （)答案：理由:對(duì)于任意由于包含多于一點(diǎn)，從而對(duì)于的唯一的鄰域，且有，因此是的一個(gè)分散點(diǎn)，即，所以有.7、設(shè)是一個(gè)不連通空間，則中存在兩個(gè)非空的閉子集，使得（）答案:設(shè)是一個(gè)不連通空間，設(shè)是的兩個(gè)非空的隔離子集使得,明顯,并且這時(shí)有：從而是的一個(gè)閉子集,同理可證是的一個(gè)閉子集，這就證明白滿(mǎn)足.8、若拓?fù)淇臻g中存在一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，則是一個(gè)不連通空間（)理由：這是由于若設(shè)是中的一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，令 ,則都是中的非空閉子集,它們滿(mǎn)五簡(jiǎn)答題（4）1、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是的子集，且.試說(shuō)明。2的一開(kāi)集,因此 是的開(kāi)集，所以是連

14、續(xù)映射.3、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.試說(shuō)明:若是一個(gè)閉集,則的補(bǔ)集是一個(gè)開(kāi)集.答案：對(duì)于，則,由于是一個(gè)閉集，從而有一個(gè)鄰域使得，因此,即,所以對(duì)任何,是的一個(gè)鄰域，這說(shuō)明是一個(gè)開(kāi)集.4、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.試說(shuō)明：若的補(bǔ)集是一個(gè)開(kāi)集，則是一個(gè)閉集.答案:設(shè)，則,由于是一個(gè)開(kāi)集，所以是的一個(gè)鄰域，且滿(mǎn)足,因此，從而,即有，這說(shuō)明是一個(gè)閉集。或者或者T。答案:6、R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者,T 。答案：7、R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者T.答案:8R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者,T。答案：9、R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者T.答案：10、R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者T.答案：11、R中給定如下

15、等價(jià)關(guān)系：或者或者,T.答案：六、證明題(每題 8 分）1、設(shè)是從連通空間到拓?fù)淇臻g的一個(gè)連續(xù)映射。則是的一個(gè)連通子集.證 明 : 如 果 是 的 一 個(gè) 不 連 通 子 集 ， 則 存 在 的 非 空 隔 離 子 集 使得 3于是是的非空子集，并且：集. 82、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集， 證明： 假如和是的兩個(gè)無(wú)交的開(kāi)集使得,則或者，或者.由于是的開(kāi)集，從而是子空間的開(kāi)集。又因中，故 4由于是的連通子集，則中必有一個(gè)是空集. 若,則;若,則 8 分3、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集, 證明: 假如和是的兩個(gè)無(wú)交的閉集使得，則或者，或者.由于是的閉集，從而是子空間的閉集.又因中，故 484、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集，滿(mǎn)足，則也是的一個(gè)連通子集。 3由于是連通的，所以或者，假如,由于,所以，因此 ,同理可證假如，則,均與假設(shè)沖突