《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)指南

1、高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)指南第一章 函數(shù) 極限 連續(xù)函數(shù)本章是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，主要討論三項(xiàng)基本內(nèi)容：函數(shù)、極限和連續(xù)。函數(shù)概念反映著存在于物質(zhì)世界中的各種變量間的聯(lián)系以及它們的依從關(guān)系；而極限概念是高等數(shù)學(xué)的“靈魂”，高等數(shù)學(xué)中的許多重要概念都是建立在極限論的基礎(chǔ)之上的，它是學(xué)習(xí)以后各章的不可缺少的重要工具；連續(xù)性是函數(shù)的重要性質(zhì)。因此學(xué)好第一章，才能掌握學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的主動(dòng)權(quán)。在本章的學(xué)習(xí)中，重點(diǎn)是對(duì)于所涉及到的概念如映射、極限、無(wú)窮小量和連續(xù)的概念的深刻理解，明確每個(gè)概念的內(nèi)涵、外延，熟練掌握它們的用法。1映射與函數(shù)的概念：映射是兩個(gè)集合的元素之間通過(guò)某種法則確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在實(shí)際問(wèn)題中，常有兩

2、個(gè)集合之間通過(guò)第三個(gè)集合建立聯(lián)系的情形，為此就有了復(fù)合映射。注意復(fù)合映射的條件是，第一個(gè)映射的值域與第二個(gè)映射的定義域交集非空。而一個(gè)映射存在逆映射的條件是一一映射。而函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，可由映射的概念理解復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念。分段函數(shù)就是在定義域的不同子集上用不同的解析式表示的函數(shù)。初等函數(shù)就是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次加、減、乘、除及復(fù)合運(yùn)算，可用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，初等函數(shù)是高等數(shù)學(xué)主要的研究對(duì)象。2.求函數(shù)定義域：函數(shù)的定義域是自變量的變化范圍.求函數(shù)定義域解法： （1）由公式表示的函數(shù)其定義域是使運(yùn)算有意義的自變量值的集合；（2）求抽象復(fù)合函數(shù)的定義域時(shí)，根據(jù)外層函數(shù)的定

3、義域，得中間變量的取值范圍，由此得出自變量的取值范圍；（3）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，其定義域是使問(wèn)題有意義的自變量值的集合3.反函數(shù)：設(shè)是由到的一一映射,則存在唯一的單值反函數(shù)求反函數(shù)的步驟：（1）由解出，按習(xí)慣再將其記為注意與的圖象相同；與的圖象關(guān)于對(duì)稱（2）確定的定義域的值域即為的定義域；或由表達(dá)式直接求出4. 復(fù)合函數(shù)：兩函數(shù)復(fù)合是有條件的，對(duì)于函數(shù)和，僅當(dāng)時(shí)，有復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù)的步驟：（1）求兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，只要將代入即可得；（2）求兩個(gè)分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)其步驟為： 將代入及其取值范圍中的； 由的取值及其自變量的取值范圍，確定的自變量的取值；并將的相應(yīng)表達(dá)式代入；寫出表達(dá)式.5.數(shù)列極

4、限的“”定義：應(yīng)從下面兩個(gè)方面加以理解：（1）正數(shù)具有二重性，即具有很小的正數(shù)的確定性，又具有任意小的任意性當(dāng)取定后，它是一個(gè)不變的正數(shù)，以求得相應(yīng)的項(xiàng)數(shù),由刻化與的接近程度；另一方面又是任意小的正數(shù)，因此才能由， 反映出無(wú)限接近常數(shù)的變化趨勢(shì)；無(wú)限接近常數(shù)是總體趨勢(shì),而不是說(shuō)當(dāng)后, 比一定更接近常數(shù).（2）是成立的條件，只有找到了，且對(duì)后的一切恒有，才有以常數(shù)為極限從幾何上看，當(dāng)項(xiàng)數(shù)后所有的（無(wú)窮多個(gè)）都落在內(nèi)，而在外只有個(gè)；項(xiàng)數(shù)不是唯一的，對(duì)于比大的一切都可以作為，所以不是的函數(shù)，而僅與有關(guān)，一般來(lái)說(shuō)越小，越大用數(shù)列極限的定義證明一般采用如下步驟：（1）計(jì)算，或適當(dāng)放大，要求形式簡(jiǎn)單；（2

5、）分析0, 要使 , 只要即可，解出；（3）令，則當(dāng)時(shí), 就有.6.函數(shù)極限的“”與“”定義：函數(shù)的極限問(wèn)題分為自變量趨向于無(wú)窮時(shí)的極限和自變量趨向于有限值時(shí)的極限，兩種極限的定義和證明方法是有區(qū)別的，在學(xué)習(xí)中要加以區(qū)分。用 “”定義證明時(shí)的方法與證明數(shù)列極限有些類似.用 “”定義證明時(shí)采用的步驟為：（1）計(jì)算，或適當(dāng)放大，其中盡量形式簡(jiǎn)單；（2）0,要使 , 只要，解出；（3）令，則當(dāng)時(shí), 有.7.函數(shù)的左、右極限：函數(shù)極限存在的充分必要條件是左、右極限存在且相等。那么一般情況下應(yīng)在以下幾種情況考慮用左右極限：（1）一些基本初等函數(shù)的特殊情況下，比如：在處；在處；，當(dāng)時(shí).（2）含有絕對(duì)值、取

6、整符號(hào)的函數(shù).（3）分段函數(shù)的分界點(diǎn)處。尤其要注意.8. 歸并原理又稱為海涅定理，它的主要作用表現(xiàn)為可以利用數(shù)列極限的性質(zhì)（或結(jié)論）證明函數(shù)極限所具有的性質(zhì)（或結(jié)論）；也可以用以證明函數(shù)極限不存在，其方法為：（1）找出兩個(gè)數(shù)列都收斂于，且；（2）證明數(shù)列收斂于不同的極限，即，或者找出一個(gè)數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列發(fā)散. 則由歸并原理說(shuō)明極限不存在9. 單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則說(shuō)明單調(diào)遞增有上界或單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限，利用單調(diào)有界準(zhǔn)則可以證明數(shù)列有極限，并且可以求出數(shù)列的極限，其方法為：（1）證明數(shù)列單調(diào)遞增（減），一般用數(shù)學(xué)歸納法或由已知條件出發(fā)，用作差或作比值的方法證明即將遞推公式代入

7、，計(jì)算；證明； （2）證明數(shù)列有上（下）界，一般用數(shù)學(xué)歸納法證明；因此由單調(diào)有界準(zhǔn)則說(shuō)明數(shù)列極限存在，設(shè)（3）對(duì)遞推關(guān)系式兩邊求極限，根據(jù)得到的關(guān)系式求出極限值.10. 夾逼定理：利用夾逼定理求極限時(shí)，首先要對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)或函數(shù)作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小，且放大和縮小后數(shù)列或函數(shù)的極限都存在并相等.11. 兩個(gè)重要極限：在利用重要極限求極限時(shí)，注意極限形式為“”型，當(dāng)沒(méi)有出現(xiàn)時(shí)，可考慮用變量代換方法，并使用其一般形式，這種極限問(wèn)題一般都可以用等價(jià)無(wú)窮小代換求解；在利用重要極限求極限時(shí)，注意極限形式為“”型的冪指函數(shù)的極限，可利用變量代換使用更一般極限形式 或.對(duì)于此類“”型的未定式，其中，也可結(jié)合等價(jià)無(wú)

8、窮小代換采用如下方法：或 12. 無(wú)窮小量：無(wú)窮小量它是以零為極限的變量，不能將其和很小的量混淆，一個(gè)數(shù)再小也不是無(wú)窮小量.常量中只有0是無(wú)窮小量.無(wú)窮小量與函數(shù)極限有著密切的關(guān)系： 的充要條件是，其中是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小. 它意義就在于將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)窮小量的問(wèn)題，如可用無(wú)窮小的性質(zhì)和運(yùn)算推導(dǎo)出函數(shù)極限運(yùn)算性質(zhì)，同時(shí)，給出了函數(shù)在附近的近似表達(dá)式，誤差為.13. 無(wú)窮大量：無(wú)窮大量是絕對(duì)值無(wú)限增大的變量. 即它是一個(gè)變量并且也是無(wú)界的變量.但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大量. 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系.14. 等價(jià)無(wú)窮小替換：利用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限是一種重要的求極限方法，必須熟記一些常用的

9、等價(jià)無(wú)窮小，如當(dāng)， ，, ，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算. 等價(jià)無(wú)窮小替換適應(yīng)于乘積或商中的無(wú)窮小因子，對(duì)于代數(shù)和中無(wú)窮小不能替換. 15. 無(wú)窮小比較：無(wú)窮小比較是反映無(wú)窮小趨于0快慢程度的概念，高階無(wú)窮小比低階無(wú)窮小以更快的速度趨于0. 兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小趨于0的速度大致相同. 在多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和式中，趨于0的速度由低階無(wú)窮小決定，理解這一點(diǎn)這對(duì)掌握微積分一些重要概念如微分、微元法等概念很有幫助，因此，微積分也稱為“無(wú)窮小分析”.16. 函數(shù)連續(xù)：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)應(yīng)滿足三個(gè)條件：函數(shù)在點(diǎn)有定義；函數(shù)在點(diǎn)處的極限值存在；且極限值等于函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值. 不能簡(jiǎn)單地理解為只要求出極限值就認(rèn)為連續(xù). 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)

10、也可用增量描述為：，這說(shuō)明當(dāng)自變量有微小變動(dòng)時(shí)，只能引起函數(shù)的微小變化，而非劇烈變化.17. 函數(shù)間斷點(diǎn)：函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)稱為間斷，即上述三個(gè)條件之一不滿足時(shí)點(diǎn)為間斷點(diǎn). 間斷點(diǎn)分類是由左右極限決定的，其判定方法為：在間斷點(diǎn)處，（1）若都存在，則稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn),且如果，則稱為的跳躍間斷點(diǎn)，如果，即存在，則稱為的可去間斷點(diǎn)，此時(shí)若補(bǔ)充（或改變）定義：令，則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).（2）若，至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn), 第二類間斷點(diǎn)還分為振蕩間斷點(diǎn)（即在鄰近，函數(shù)的圖形無(wú)限往復(fù)擺動(dòng)）和無(wú)窮間斷點(diǎn)（，至少有一個(gè)為無(wú)窮）.求函數(shù)間斷點(diǎn)的方法：由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間總是連續(xù)的, 故對(duì)于

11、初等函數(shù)主要討論構(gòu)成函數(shù)的基本初等函數(shù)無(wú)定義的點(diǎn)；對(duì)于分段函數(shù)還要考慮分段點(diǎn)處的連續(xù)性.18. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性： 若在處連續(xù)，且，則，這說(shuō)明了求極限時(shí)作變量代換的正確性。進(jìn)一步看，若與都連續(xù)，則有，說(shuō)明在兩函數(shù)連續(xù)的條件下，可保證函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算與極限運(yùn)算交換次序.19. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)主要有最大值、最小值定理；有界性定理；介值定理；零值定理。這些定理描述了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)所具有的整體特性。如最大值、最小值定理說(shuō)明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值，并且能取到最大值和最小值至少一次。零值定理證明方程根的存在性的方法：利用要證明的結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)，說(shuō)明，且，即與異號(hào)

12、，則在上方程至少有一根.20.求極限方法： 在第一章求極限方法主要有利用極限定義求極限；用極限的運(yùn)算法則求極限；用有理化法求極限；用變量代換求極限；利用極限的存在準(zhǔn)則求極限；利用兩個(gè)重要極限求極限；利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限；利用函數(shù)的連續(xù)性求極限.第二章 導(dǎo)數(shù)與微分本章是學(xué)好微分學(xué)的關(guān)鍵，首先要理解導(dǎo)數(shù)與微分這兩個(gè)基本概念，其次是熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式和運(yùn)算法則，會(huì)求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分。針對(duì)第二章（導(dǎo)數(shù)與微分）的知識(shí)點(diǎn)提供以下建議性的學(xué)習(xí)指南，以供參考。一、 知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)提示1導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義導(dǎo)數(shù)是增量比的極限，幾何上還表示某點(diǎn)處切線的斜率，因此，對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解和學(xué)習(xí)重在兩個(gè)方面

13、：一方面，利用導(dǎo)數(shù)的定義判定函數(shù)在一點(diǎn)處是否可導(dǎo)，或某極限是否可以利用某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)表示。比如例1 設(shè)，討論f (x)在處的可導(dǎo)性。 解 ,即.所以，f (x)在處可導(dǎo).求函數(shù)極限時(shí)，觀察是否可以利用某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義形式。比如例2設(shè)存在，求極限解 原極限=例3設(shè)在處連續(xù)，且求解 ， 另一方面，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)曲線在某點(diǎn)處切線和法線方程。是曲線在點(diǎn)的切線斜率，可得曲線上點(diǎn)處的切線方程和法線方程分別為：，.2單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)包括左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù).可用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，或判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)；也可用于區(qū)間端點(diǎn)處的可導(dǎo)性判定，左端點(diǎn)處用右導(dǎo)數(shù)，右端點(diǎn)處用左導(dǎo)數(shù)

14、. 3微分的定義和應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，常需要計(jì)算函數(shù)當(dāng)自變量在某處有一個(gè)微小改變量時(shí)，函數(shù)改變量的大小。對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)，可以直接計(jì)算。較復(fù)雜的函數(shù)，要精確計(jì)算它是困難的，甚至是不可能的，并且我們?cè)诶碚撗芯亢蛯?shí)際應(yīng)用中，往往只需要知道其近似值就可以了，為此，人們把解決上述問(wèn)題的出路放在將函數(shù)的局部線性化，用線性函數(shù)來(lái)近似代替它，這就是引入微分的基本想法。設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可表示為，其中是不依賴于的常數(shù)，而是比高階的無(wú)窮小，那么稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記作，即.當(dāng)函數(shù)自變量變化不大時(shí)，就可以用微分來(lái)近似表示函數(shù)增量 ，即當(dāng)自變量變化越

15、小，其近似程度就越好：，4函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)；5函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是在點(diǎn)可導(dǎo)，且由此可知，函數(shù)在點(diǎn)處可微的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，所以連續(xù)函數(shù)作為微分學(xué)的主要研究對(duì)象。在學(xué)習(xí)時(shí)，要注意到那些函數(shù)是連續(xù)但不可微的，那些函數(shù)是連續(xù)而且可微的。梳理概念之間的關(guān)系，是知識(shí)積累的關(guān)鍵，是思維延伸的橋梁。比如例4設(shè)，試確定常數(shù) a , b 使 f (x) 處處可導(dǎo),并求 解 ，由可導(dǎo)必連續(xù)及知：,得：且.故.6反函數(shù)的微分法則若在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，則它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)且有：或.掌握反函數(shù)的微分法則的關(guān)鍵是：（

16、1）寫出函數(shù)的反函數(shù)及其定義域；（2）求，從而。7復(fù)合函數(shù)的微分法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵，要弄清函數(shù)、中間變量及自變量的復(fù)合結(jié)構(gòu)， “由外向里”的復(fù)合步驟，多練習(xí)熟能生巧。復(fù)合函數(shù)求微分，可以先求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，寫出微分表達(dá)式，也可以利用一階微分形式的不變性“由外向里”逐步求得微分。比如 例5 設(shè)其中f (x)可微，求 .解 .8對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)于冪指函數(shù)或由多個(gè)函數(shù)的乘積、商、方冪等構(gòu)成函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，可對(duì)方程兩端取對(duì)數(shù)，再按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求出導(dǎo)數(shù)。 9基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式包括導(dǎo)數(shù)公式和微分公式兩者都必須熟記，靈活運(yùn)用，比如和同時(shí)記憶。10高階導(dǎo)數(shù)加強(qiáng)求初等函數(shù)的一、二階

17、導(dǎo)數(shù)的訓(xùn)練，能夠推導(dǎo)出基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，利用公式求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)注意的函數(shù)形式，如果含有，或含有某個(gè)中間變量（參數(shù)），應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。利用公式 ，求階導(dǎo)數(shù)時(shí)，注意觀察規(guī)律，能夠利用遞歸方法和數(shù)學(xué)歸納法求解更好。11.函數(shù)的和、積的高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則利用求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，注意將函數(shù)拆分為，比如有理函數(shù)求高階導(dǎo)數(shù)，往往需要把有理函數(shù)分解為簡(jiǎn)單分式的和。萊布尼茨（Leibniz）公式：，常用于求兩個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)，如多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的積，多項(xiàng)式與三角函數(shù)的積的高階導(dǎo)數(shù)。求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以由低到高逐階求導(dǎo)計(jì)算，關(guān)鍵仍然是熟練掌握求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，善于用歸納法，熟記常

18、用的幾個(gè)高階導(dǎo)數(shù)公式。比如例6 設(shè)求解 由常見公式 可得12.隱函數(shù)的微分法則設(shè)所確定的隱函數(shù)存在且可導(dǎo)，則隱函數(shù)的微分法的關(guān)鍵是，方程兩端對(duì)求導(dǎo)時(shí)，把函數(shù)始終看成中間變量。13.由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)假設(shè)在上可導(dǎo)，且，則求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，把導(dǎo)函數(shù)看成參數(shù)的函數(shù)。14.相關(guān)變化率相關(guān)變化率問(wèn)題就是研究這兩個(gè)變化率之間的關(guān)系，以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率。從實(shí)際例子中學(xué)習(xí)體驗(yàn)兩個(gè)變化率的相關(guān)性。求相關(guān)變化率的步驟為：（1）建立所研究?jī)蓚€(gè)變量之間關(guān)系的方程；（2）確定所求的一對(duì)相關(guān)變化率的參變量（如時(shí)間，長(zhǎng)度等）（3）方程兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)，即得含有的關(guān)系式，再根據(jù)已知條件

19、求相關(guān)變化率的.二 導(dǎo)數(shù)的求法1. 一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的求法（1）公式法：用求導(dǎo)公式求出導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值；（2）定義法：用導(dǎo)數(shù)定義求一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式法適合于求初等函數(shù)，具體函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；定義法適合于求分段函數(shù)的分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例7 用定義法求下列一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，在連續(xù)且，求解（1）（2）由于在連續(xù)，且，則有注1 當(dāng)然，（1）題可以用公式法求出導(dǎo)函數(shù)，然后求導(dǎo)函數(shù)在的函數(shù)值，只是函數(shù)的表示很麻煩。（2）題絕對(duì)不能用公式求導(dǎo)，這是因?yàn)楦静恢朗欠窨蓪?dǎo)。也就是說(shuō)，下面解法，是錯(cuò)誤的，盡管結(jié)果沒(méi)問(wèn)題。例 8 設(shè)，求解 由于是函數(shù)的分段點(diǎn)，所以只能用定義求出該點(diǎn)的左

20、右導(dǎo)數(shù)，從而確定這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。；于是，所以2. 各類函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的求法（1）初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)初等函數(shù)的每一次求導(dǎo)，都需要確定函數(shù)是四則運(yùn)算還是復(fù)合運(yùn)算。若是四則運(yùn)算，應(yīng)用四則運(yùn)算求導(dǎo)法則；若復(fù)合運(yùn)算，需要確定復(fù)合函數(shù)的“外層函數(shù)”和“內(nèi)層函數(shù)”。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于“外層函數(shù)”的導(dǎo)數(shù)乘以“內(nèi)層函數(shù)”的導(dǎo)數(shù)。例9 解 數(shù)是復(fù)合函數(shù)，外層函數(shù)是，內(nèi)層函數(shù)是，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)有 （2）由參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)數(shù)：； 二階導(dǎo)數(shù)： 注2 求，由于函數(shù)是關(guān)于變量的函數(shù)，不含變量，沒(méi)有辦法對(duì)直接求導(dǎo)，所以只能對(duì)變量求導(dǎo)，即中間變量求導(dǎo)，再乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，表示

21、為：二階導(dǎo)數(shù)也是利用這個(gè)原理。例10 已知，求；解 由于，于是， （3）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法： 1. 方程兩邊求導(dǎo)：將方程兩邊對(duì)變量求導(dǎo)，把看作的函數(shù)，最后從方程中解出； 2. 公式法：把方程轉(zhuǎn)化為形式，即方程一端是零，另一端就是，于是有 ；例11 已知，求解（方法1）將方程兩邊對(duì)變量求導(dǎo)，是的函數(shù)，則有，解得 （方法2）令，則，所以 注3 求隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，只需在一階導(dǎo)函數(shù)的基礎(chǔ)上，再對(duì)自變量求導(dǎo)，把看作的函數(shù)，最后用已知的代替，從而求得（4）冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)冪指函數(shù)作恒等變換有，于是例12 設(shè)，求解 當(dāng)然也可以對(duì)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，再求導(dǎo)，從而得到，這兩種方法的原理

22、是相同的。（5）多因子相乘除的導(dǎo)數(shù)例13 設(shè)，求解 取對(duì)數(shù) ，兩邊求導(dǎo)，所以（6）分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 基本方法：在開區(qū)間上用求導(dǎo)公式求導(dǎo)，在分段點(diǎn)上用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)例14 設(shè)，討論函數(shù)的連續(xù)性，并求其導(dǎo)函數(shù)解 當(dāng)時(shí)，初等函數(shù)，有定義，連續(xù)當(dāng)時(shí)，初等函數(shù)，有定義，連續(xù)當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)綜上所述，函數(shù)在上連續(xù)當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，初等函數(shù)，有定義，連續(xù)而且；，所以三、高階導(dǎo)數(shù)的求法常見的階導(dǎo)數(shù)公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）基本方法： 1逐次求導(dǎo)：低階導(dǎo)數(shù)可以采用逐次求導(dǎo)方法。2用基本公式求導(dǎo)：把函數(shù)變形，表示為簡(jiǎn)單一次分式、簡(jiǎn)單指數(shù)函數(shù)（對(duì)數(shù)函數(shù)）和正（余）弦函數(shù)的和或差的形式，再用求導(dǎo)公式

23、。3用萊布尼茨（Leibniz）公式求導(dǎo)：函數(shù)表示為兩個(gè)函數(shù)的積，而每個(gè)函數(shù)都可以求出階導(dǎo)數(shù)，此種情況可以利用萊布尼茨公式。特別是形如，函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，一般都應(yīng)用萊布尼茨公式。例15 用高階導(dǎo)數(shù)公式求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)： （1）；（2）；（3）解 （1）將函數(shù)變形，有于是（2）將函數(shù)變形，有于是（3）利用公式，有例16 用萊布尼茨公式求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.解（1）利用萊布尼茨公式。（2）利用萊布尼茨公式 微分中值定理，把函數(shù)在有界閉區(qū)間上的改變量與它在該區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)，為深入研究函數(shù)的局部性態(tài)和整體性態(tài)，以及近似計(jì)算和誤差估計(jì)，提供了有力的工具，這些定理在理論上和應(yīng)用上都是舉

24、足輕重的.本章將介紹微分中值定理，未定式極限的求法，函數(shù)單調(diào)性、極值、曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的判別方法，以及綜合利用函數(shù)的這些特性來(lái)描繪函數(shù)的圖形.第三章 微分中值定理及函數(shù)性態(tài)的研究1.中值定理?xiàng)l件的驗(yàn)證只需驗(yàn)證滿足定理?xiàng)l件則必有結(jié)論成立即可如羅爾定理，需分別驗(yàn)證所給函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)且兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等，則羅爾定理?xiàng)l件滿足；而所謂結(jié)論成立，即存在一個(gè)介于所討論區(qū)間的一個(gè)點(diǎn)，滿足，其它中值定理可類似討論.2.中值定理中“中間值”的確定每個(gè)中值定理都是某區(qū)間內(nèi)使給定函數(shù)適合特定等式的“中間值”的存在性定理，因而，要判別“中間值”的存在與否，需驗(yàn)證給定函數(shù)是否滿足有關(guān)定理的條件，所以，一旦要證

25、明的問(wèn)題中含有中間值，尤其是與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的中間值，需要：(1)根據(jù)問(wèn)題構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù),(2)驗(yàn)證函數(shù)滿足的中值定理?xiàng)l件,(3)對(duì)應(yīng)到擬使用的中值定理形式上另外，從中值定理不難看出，中值定理只是肯定了“中間值”的存在，但未給出確定中間值具體取值的一般方法，這決定了利用中值定理所研究、討論的問(wèn)題往往是符號(hào)形式下的理論推導(dǎo)和驗(yàn)證題型一般是涉及函數(shù)值和函數(shù)在中間值的導(dǎo)數(shù)的等式，而驗(yàn)證的關(guān)鍵是恢復(fù)使用中值定理的函數(shù)和結(jié)論形式3.函數(shù)展開為泰勒公式可以有兩種方法: (1)是直接法，即求出函數(shù)在指定點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)及的表達(dá)式后，寫出泰勒公式；(2)是間接法，即利用已知的一些函數(shù)的泰勒公式，通過(guò)四則運(yùn)算或變量

26、代換得到函數(shù)的泰勒公式，用間接法得到的泰勒公式中的余項(xiàng)可能并不是拉格朗日型余項(xiàng).4.泰勒公式求極限是十分有效的方法，它是等價(jià)無(wú)窮小和羅比達(dá)法則的發(fā)展，應(yīng)用該方法必須熟記常見函數(shù)的泰勒公式，并要注意運(yùn)用小o運(yùn)算法則.最重要的是極限式中每個(gè)函數(shù)展開成幾階泰勒公式，可這樣考慮，一般要求分子的皮亞諾余項(xiàng)的階數(shù)不小于分母的皮亞諾余項(xiàng)的階數(shù).5. 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用利用拉格朗日中值定理證明不等式是微分中值定理的重要應(yīng)用之一，它可以解決初等數(shù)學(xué)方法力所不能及的一些不等式的證明問(wèn)題.一般是觀察不等式的特點(diǎn)，從而設(shè)定與不等式相對(duì)應(yīng)的函數(shù)及區(qū)間，使其滿足拉格朗日中值定理的條件.這一步是至關(guān)重要的

27、，由此才有拉格朗日中值定理的結(jié)論成立然后再通過(guò)放大或縮小推導(dǎo)出結(jié)論.6.洛必達(dá)法則是求未定型極限的一種非常方便而有效的方法，但并不是萬(wàn)能的.對(duì)于“”，“”未定型極限問(wèn)題，當(dāng)滿足定理所要求之條件時(shí)，只需直接套用公式即可.多次使用法則時(shí)，必須注意每一步都應(yīng)檢查是否滿足條件若不再是未定式了，就不可再使用洛必達(dá)法則當(dāng)使用法則出現(xiàn)反復(fù)或無(wú)效時(shí)，應(yīng)注意適當(dāng)選用其它方法求解.在使用洛必達(dá)法則求極限的同時(shí)，應(yīng)注意綜合利用其他方法，如等價(jià)無(wú)窮小代換、代數(shù)恒等變形等方法，對(duì)能分離出去的部分盡可能先分離，再用洛必達(dá)法則，以使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷.7.函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定要有3步：（1）寫出函數(shù)的定義域；（2

28、）求，令，求出的所有駐點(diǎn)；（3）由駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)把定義域分成部分區(qū)間，在各部分區(qū)間判斷的符號(hào)，再根據(jù)定理，確定相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.8.函數(shù)極值點(diǎn)的求法 函數(shù)極值點(diǎn)的尋找方法可分為定義法和利用導(dǎo)數(shù)法，結(jié)合問(wèn)題的條件適當(dāng)選用相應(yīng)的方法 利用導(dǎo)數(shù)法的步驟為： (1)確定函數(shù)定義域； (2)考察函數(shù)的可導(dǎo)性、連續(xù)性，在函數(shù)可導(dǎo)范圍內(nèi)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (3)定出函數(shù)的駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在(函數(shù)有定義)的點(diǎn)； (4)研究函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在但連續(xù)的點(diǎn)的左右鄰近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)(或求出駐點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)并判別其符號(hào))； (5)根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化情況(或二階導(dǎo)數(shù)的取值符號(hào))判別極大、極小值點(diǎn).9. 曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的判定曲

29、線的凹凸性和拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)經(jīng)常是利用相應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和函數(shù)在某一點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)是否發(fā)生變化來(lái)確定的，其步驟如下： (1)確定函數(shù)定義域； (2)求出函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)； (3)定出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零及不存在的點(diǎn)； (4)利用導(dǎo)數(shù)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零及不存在的點(diǎn)劃分函數(shù)的定義域； (5)在各部分區(qū)間上考察二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定曲線在各個(gè)區(qū)間上的凹昌性；(6)觀察二階導(dǎo)數(shù)為零及不存在的點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)有無(wú)變化，確定出拐點(diǎn)的橫坐標(biāo).10.最值問(wèn)題(1)根據(jù)題意確定自變量和目標(biāo)函數(shù)，通常取要求的最佳值為目標(biāo)函數(shù)，自變量可以多種取法，選便于計(jì)算的一個(gè)作為自變量.(2)求解時(shí)，可用與目標(biāo)函

30、數(shù)有相同最值的函數(shù)求之，以簡(jiǎn)化求解過(guò)程.(3)如果只求得一個(gè)駐點(diǎn)，則由于實(shí)際問(wèn)題所求最值存在，其解即為所求，不用再判定.11.求曲線的漸近線根據(jù)定義來(lái)求即可設(shè)函數(shù)，若,則稱直線是曲線的水平漸近線設(shè)函數(shù)，若，則稱直線為曲線的垂直漸近線若存在，且也存在，則曲線具有斜漸近線.12. 函數(shù)圖形的描繪 描繪函數(shù)圖形最基本的方法是基于連續(xù)性的描點(diǎn)法無(wú)論是人工還是計(jì)算機(jī)，都必須準(zhǔn)確地在圖形上反映出函數(shù)的基本特征通過(guò)上面的討論，我們已掌握了函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線的凹凸性和拐點(diǎn)等性態(tài)，就能比較準(zhǔn)確地勾畫出函數(shù)的草圖利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形的一般步驟為：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性、周期性，利用這

31、些性質(zhì)可簡(jiǎn)化作圖；(3)求出的點(diǎn)和不存在的點(diǎn)；(4)以上述這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域劃分為若干個(gè)小區(qū)間，依的符號(hào)判定在每個(gè)小區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性、曲線的凹凸性，以及這些分界點(diǎn)哪些是極值點(diǎn)，哪些點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)；(5)討論函數(shù)的漸近線；(6)計(jì)算特殊點(diǎn)的函數(shù)值；(7)描點(diǎn)作圖13. 曲率曲率的計(jì)算公式：設(shè)二階可導(dǎo)曲率公式當(dāng)函數(shù)用不同的形式（如參數(shù)方程，極坐標(biāo)等）來(lái)描述時(shí)，弧微分與曲率的公式也有不同的形式，但他們都來(lái)源于直角坐標(biāo)形式下的及.第四章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用微積分學(xué)有三類基本問(wèn)題，第一類問(wèn)題的典型例子是已知作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的路程函數(shù)，要求質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。這類問(wèn)題是微分學(xué)的基本問(wèn)題，

32、在微分學(xué)中，我們引進(jìn)導(dǎo)數(shù)這個(gè)基本概念解決了這個(gè)問(wèn)題。第二類問(wèn)題的典型例子是已知作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，要求質(zhì)點(diǎn)的路程函數(shù)。這一類問(wèn)題的已知條件和所要求的結(jié)論正好與第一類問(wèn)題相反，因此我們可以說(shuō)第二類問(wèn)題是第一類問(wèn)題的反問(wèn)題。第三類問(wèn)題的典型例子是要求曲邊梯形的面積，這一類問(wèn)題和前兩類問(wèn)題一樣不能用初等數(shù)學(xué)的方法去解決。其實(shí)第二類問(wèn)題和第三類問(wèn)題構(gòu)成了積分學(xué)的基本問(wèn)題，通常又分別稱它們?yōu)榉e分學(xué)的第一基本問(wèn)題和第二基本問(wèn)題。在這一章，我們引進(jìn)不定積分、定積分這兩個(gè)重要概念分別解決了這兩類問(wèn)題。以后我們還將看到，這兩類問(wèn)題雖然形式上不一樣，實(shí)際上存在著密切的聯(lián)系，定積分的計(jì)算問(wèn)題通過(guò)微

33、積分基本定理化為不定積分的計(jì)算問(wèn)題，而不定積分的存在性問(wèn)題又通過(guò)微積分基本定理得到解決。1、不定積分與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別導(dǎo)數(shù)、不定積分分別是為了解決微積分第一、二類基本問(wèn)題而引進(jìn)的。在概念上，不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，正因?yàn)檫@樣，不定積分的運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則有密切聯(lián)系。利用不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算這一點(diǎn)，由常見的導(dǎo)數(shù)公式可以得到基本積分表，由導(dǎo)數(shù)的數(shù)乘、和差運(yùn)算法則又可直接得到不定積分的數(shù)乘、和差運(yùn)算法則。此外，不定積分的分部積分法、換元法也是由乘積、復(fù)合函數(shù)的微分法誘導(dǎo)出來(lái)的。除了要注意這兩種運(yùn)算相互聯(lián)系外，還要弄清楚這兩種運(yùn)算相區(qū)別的地方。第一，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)確定的函數(shù)，而一個(gè)函數(shù)的

34、不定積分得到的是一族函數(shù)，其中每一個(gè)都是函數(shù)的原函數(shù)。第二，微分法中有“乘除”、“復(fù)合”運(yùn)算法則，而不定積分卻沒(méi)有直接對(duì)應(yīng)的法則。由于這個(gè)原因，使得不定積分運(yùn)算要比微商運(yùn)算復(fù)雜。2、不定積分的計(jì)算在不定積分的具體計(jì)算上，學(xué)生首先要熟練掌握基本積分表和兩個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)算法則，在此基礎(chǔ)上要能靈活應(yīng)用換元法、分部積分法，特別要抓住它們各自的重點(diǎn)：(1)在第一換元法中要學(xué)會(huì)湊微分；(2)在第二換元法中要學(xué)會(huì)找適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q；(3)在分部積分法中要會(huì)選擇合適的函數(shù)、當(dāng)然，在具體計(jì)算時(shí)，還要注意技巧，這主要指對(duì)被積函數(shù)常要作化簡(jiǎn)變形。3、有理函數(shù)與三角函數(shù)有理式的積分我們知道，一切初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù)，而

35、初等函數(shù)的不定積分未必是初等函數(shù)。學(xué)習(xí)完有理函數(shù)和三角函數(shù)的有理式的積分之后，我們得到最基本的結(jié)論是一切有理函數(shù)的不定積分是初等函數(shù)，三角函數(shù)有理式的不定積分可通過(guò)變量替換轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的不定積分。 在具體計(jì)算時(shí)，要在掌握這兩種類型不定積分的一般解法的基礎(chǔ)上，還要進(jìn)一步尋找較為簡(jiǎn)便的計(jì)算方法。4、微積分基本定理學(xué)習(xí)完這一部分以后，首先要明確定積分在積分學(xué)以及整個(gè)微積分學(xué)中的重要性。它的重要性不僅在于提出了微積分學(xué)的一個(gè)基本概念定積分。更重要的是引入了微積分基本定理，有了微積分基本定理，定積分的計(jì)算問(wèn)題，以及不定積分的存在性問(wèn)題都得到了很好的解決。微積分基本定理溝通了積分學(xué)中定積分與不定積分這兩

36、個(gè)基本概念的內(nèi)在聯(lián)系，而不定積分又是作為導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算提出的，因而它又進(jìn)一步溝通了積分學(xué)中定積分、不定積分與微分學(xué)中的導(dǎo)數(shù)、微分等基本概念的聯(lián)系，它成了整個(gè)微積分學(xué)的樞紐。 其次，微積分基本定理還揭示了定積分概念的實(shí)質(zhì)。一切連續(xù)函數(shù)的定積分就是它的原函數(shù)的微分的定積分，簡(jiǎn)略說(shuō)，積分是微分的無(wú)限積累，基于對(duì)定積分的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，于是就有了微元法，而微元法在定積分的廣泛應(yīng)用中起著十分重要的作用。5、定積分的應(yīng)用定積分除了在物理、力學(xué)以及幾何學(xué)等方面應(yīng)用外還有其它一些應(yīng)用，但僅就這兩個(gè)方面已足以說(shuō)明它的應(yīng)用是廣泛的。 在解決定積分應(yīng)用問(wèn)題中，微元法是一個(gè)有效的方法。如前所述，它基于對(duì)定積分概念的實(shí)質(zhì)的認(rèn)識(shí)

37、之上即定積分是微分的無(wú)限積累。 應(yīng)用微元法的關(guān)鍵在于從物理量、幾何量的微小改變量中去分析、尋找它的微分一般情況下，從中找微分并不十分困難，這是因?yàn)?，這些量的變化過(guò)程多為連續(xù)的，從整個(gè)變化過(guò)程看，變化是非均勻的，求這些量在整個(gè)過(guò)程上改變，無(wú)法用初等方法進(jìn)行，但是在局部，在變化過(guò)程的一瞬間，可近似地看成是均勻變化，于是可用初等方法計(jì)算在這一瞬間的改變量，這個(gè)改變量正是的微分，關(guān)于這一點(diǎn)，在一般情況下它是顯而易見的。例如求連續(xù)曲線在上曲邊梯形的面積，設(shè)在上的小曲邊梯形面積為把在上近似看成常值，于是可算得小矩形面積由于的連續(xù)性，有當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，因此確實(shí)是的線性主要部分微分由于在大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題中，把

38、對(duì)應(yīng)于一瞬間的均勻變化過(guò)程的改變量作的微分，它的直觀含義是清楚的、明確的，因此不必從理論上進(jìn)行繁瑣的驗(yàn)證。 但是在某些實(shí)際問(wèn)題中，從中尋找我們要特別小心，否則就容易出錯(cuò)。例如，計(jì)算曲線段繞軸的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，令上一段旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為若把在上看成常值，用近似代替這就錯(cuò)了，因?yàn)橐虼宋覀冎缿?yīng)為這里的錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)(圓錐面)，表現(xiàn)的特別清楚，按這種錯(cuò)誤的作法的側(cè)面積相差倍。本章的主要定義和主要結(jié)論：1、定積分的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，在上任意插入個(gè)分點(diǎn),將分成個(gè)小區(qū)間，第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，在各個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式，如果不論區(qū)間怎樣劃分，也不論各個(gè)小區(qū)間上的如何選取，當(dāng)最大小區(qū)間的長(zhǎng)度時(shí)，該和式都

39、趨于確定的極限，則稱此極限值為在上的定積分,記為 在上述定積分的定義中，從理論上給出了一種定積分的計(jì)算方法。但實(shí)際上按照定積分的定義計(jì)算定積分是非常困難的。但是反過(guò)來(lái)，要計(jì)算和式的極限，可以利用定積分來(lái)完成。也就是說(shuō)，碰到和式的極限問(wèn)題，先將其寫成某個(gè)函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的定積分，最后計(jì)算出定積分的值就可以了。2、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 變更可積函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值后得到的新函數(shù)依然可積，且積分值不變.性質(zhì)2 （為常數(shù)）.性質(zhì)3 .性質(zhì)4 （為常數(shù)）.性質(zhì)5 設(shè)點(diǎn)將區(qū)間分成與兩部分，那么，.性質(zhì)6 若在上，則性質(zhì)7 . 性質(zhì)8（估值定理）設(shè)，則 （）. 性質(zhì)9 （定積分中值定理） 若函數(shù)，那么至

40、少存在一點(diǎn),使得 利用上述這些性質(zhì)可以估計(jì)定積分的值、比較兩個(gè)定積分的大小，也可以證明有關(guān)積分等式和不等式的題目。3、微積分基本公式(牛頓-萊布尼茨公式)設(shè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則 微積分基本公式給定積分的計(jì)算提供了一個(gè)非常簡(jiǎn)便、有效的方法。它將計(jì)算定積分的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)的問(wèn)題。4、不定積分的概念函數(shù)在區(qū)間上的原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為的不定積分，記為即，其中為的一個(gè)原函數(shù)，是積分常數(shù).考察原函數(shù)和不定積分的概念的題目是這一章常見的一種題型，要深刻理解原函數(shù)和不定積分的概念，準(zhǔn)確把握題目的考點(diǎn)。5、不定積分的基本性質(zhì)和基本積分表性質(zhì)1 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積

41、分號(hào)外，即 (是常數(shù)，).性質(zhì)2 函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和，即 不定積分的這些性質(zhì)，實(shí)質(zhì)上和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是相互對(duì)應(yīng)的，因?yàn)椴欢ǚe分和微商互為逆運(yùn)算。正因?yàn)椴欢ǚe分和導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算，于是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式得到了不定積分的基本公式，稱為基本積分表。基本積分表是我們計(jì)算不定積分的一個(gè)重要基礎(chǔ)。所以一定要牢牢地記住。6、不定積分的計(jì)算方法(1)通過(guò)恒等變形，利用基本積分表積分。(2)不能直接利用基本積分表，用湊微分法計(jì)算不定積分，即不定積分的第一換元法。(3)換元法是高等數(shù)學(xué)中常用的一種方法，用換元法計(jì)算不定積分，即不定積分的第二換元法。(4)如果被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積，常利用分部積

42、分法。7、定積分的計(jì)算方法(1)從理論上來(lái)說(shuō)，利用定積分的定義可以計(jì)算定積分，這種方法僅局限于被積函數(shù)的形式是非常簡(jiǎn)單的情形。(2)利用牛頓-萊布尼茨公式。這是計(jì)算定積分常用的方法。(3)換元積分法如果在區(qū)間上連續(xù),當(dāng)時(shí),相應(yīng)的值域,且,那么 . 注意：在利用定積分的換元法，將原定積分化成新變量的定積分時(shí)，原變量的積分限也要跟著做相應(yīng)的變化。(4)分部積分法設(shè)函數(shù)則有定積分的分部積分法也適合于被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積的定積分。(5)利用定積分的一些很好的性質(zhì)在對(duì)稱區(qū)間上，若為連續(xù)的奇函數(shù)或偶函數(shù)，則若為以為周期的函數(shù),則若在上連續(xù)，則 正確的應(yīng)用上述這些性質(zhì)，會(huì)給大家在計(jì)算定積分時(shí)帶來(lái)很大方便，

43、可以大大減少計(jì)算量。8、定積分在幾何、物理上的應(yīng)用(1)平面圖形的面積由連續(xù)曲線，直線與軸圍成的圖形面積為由連續(xù)曲線，直線與軸圍成的圖形面積為由連續(xù)曲線，直線所圍成的圖形面積為(2)立體的體積由連續(xù)曲線，直線與軸圍成曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為由連續(xù)曲線，直線所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為(3)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積由連續(xù)曲線，直線所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為(4)平面曲線的長(zhǎng)度曲線方程為，則曲線方程為則曲線方程為，則(5)變力沿直線所作的功物體在變力作用下，沿直線由運(yùn)動(dòng)到所作的功為，則(6)液體對(duì)平面板的側(cè)壓力平板垂直地浸入液體中，設(shè)液體比重為平板一側(cè)所受液體壓

44、力為則 在用定積分求幾何量和物理量時(shí)，首先要熟知上述的這些公式，其次要會(huì)應(yīng)用微元法求的所求量的微元，最后積分就可以了。9、反常積分(1)無(wú)窮區(qū)間上的反常積分設(shè)函數(shù),取,如果極限存在,則此極限值稱為函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的反常積分。(2)無(wú)界函數(shù)的反常積分設(shè)函數(shù),且,取,如果極限存在,則稱此極限值為無(wú)界函數(shù)在上的反常積分(簡(jiǎn)稱無(wú)界函數(shù)積分)。做題時(shí)應(yīng)注意，雖然反常積分是定積分概念的推廣，反常積分中有些概念就是定積分中相應(yīng)概念的推廣。但是更要注意定積分中的一些重要性質(zhì)，不能直接推廣到反常積分中去。第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何由于本章知識(shí)是中學(xué)知識(shí)的延伸，也是銜接一元與多元函數(shù)微積分的橋梁，所以學(xué)員學(xué)習(xí)

45、這章知識(shí)可以參考如下學(xué)習(xí)指南：1.要了解本章知識(shí)產(chǎn)生的背景及在高等數(shù)學(xué)中的作用。數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象是數(shù)和形，代數(shù)的基本元素是數(shù)，而幾何的基本元素是點(diǎn)，因而，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本分支-代數(shù)與幾何，通過(guò)引進(jìn)坐標(biāo)系建立了這兩個(gè)分支之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景。利用代數(shù)推理的邏輯性研究幾何問(wèn)題而產(chǎn)生的解析幾何，其中法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬在十七世紀(jì)上半葉對(duì)空間解析幾何的產(chǎn)生做出了開創(chuàng)性的工作。向量的概念源于客觀實(shí)際，通過(guò)數(shù)學(xué)的抽象和發(fā)展，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和其它應(yīng)用科學(xué)中，成為重要的研究工具?？臻g解析幾何是通過(guò)空間直角坐標(biāo)系，將對(duì)空間幾何圖形的研究轉(zhuǎn)化為

46、對(duì)代數(shù)問(wèn)題的研究。它有兩個(gè)基本問(wèn)題，一是建立與空間幾何圖形相對(duì)應(yīng)的方程，二是研究方程所對(duì)應(yīng)的幾何圖形。2.要在思維方式上實(shí)現(xiàn)幾個(gè)轉(zhuǎn)化：數(shù)學(xué)思想與自己思維定位的轉(zhuǎn)化；文字符號(hào)與幾何圖形的轉(zhuǎn)化；平面問(wèn)題與空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化，以及線與線、線與面、面與面的轉(zhuǎn)化。如面面垂直線面垂直線線垂直；線面距離面面距離點(diǎn)面距離等。建議學(xué)員在學(xué)習(xí)中要始終滲透轉(zhuǎn)化思想。3.要在知識(shí)應(yīng)用上拓寬內(nèi)容的輻射：建立空間直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量代數(shù)與空間幾何的統(tǒng)一。在學(xué)習(xí)向量的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，輻射到幾何或物理模型比較容易掌握。如求向量的加法和減法可以平行四邊形或以力的相加或相減為模型，求兩向量的數(shù)量積可以求力在某段路程上所作的功為模型，求兩向

47、量的向量積可以求力關(guān)于某點(diǎn)的力矩為模型，并要熟練掌握每種運(yùn)算的算律。學(xué)習(xí)平行向量、相等向量、共線向量定理、共面向量定理、空間向量分解定理、坐標(biāo)運(yùn)算、長(zhǎng)度計(jì)算、夾角計(jì)算、空間向量平行與垂直的條件等知識(shí)時(shí)要尋找它們的輻射點(diǎn)。4.要在知識(shí)點(diǎn)上挖掘內(nèi)容的深度：在通常的討論中，常用右手笛卡爾坐標(biāo)系。關(guān)于一般的坐標(biāo)系稱為仿射坐標(biāo)系，有興趣的同學(xué)可參閱空間解析幾何這類專業(yè)教材。5.要注重實(shí)用價(jià)值的應(yīng)用：通過(guò)對(duì)向量代數(shù)把立體幾何中的線面關(guān)系問(wèn)題及求角求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用向量解決，把平面向量推廣到空間，實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化。證明平行與垂直問(wèn)題，求二面角和空間距離，可以避開立體幾何中使用“形到形” 復(fù)雜的推理方法。

48、為處理幾何問(wèn)題提供了新的視角。6.要在學(xué)習(xí)方法上學(xué)會(huì)提煉、歸納、總結(jié)：本章借助幾何圖形理解記憶的知識(shí)較多，和平面向量對(duì)比采用理解記憶為好。特別是在利用直線與平面的位置關(guān)系求直線、平面方程，以及如何取向量或建立空間坐標(biāo)系，找到所論證的平行垂直等關(guān)系，所求的角和距離用向量怎樣來(lái)表達(dá)是問(wèn)題的關(guān)鍵。還有本章題目靈活多變，但做法有一些相似之處，所以要學(xué)會(huì)提煉，學(xué)會(huì)歸納，學(xué)會(huì)總結(jié)。7.要避開誤區(qū)學(xué)習(xí)：建立坐標(biāo)的好壞影響問(wèn)題解決的復(fù)雜化，甚至無(wú)法解決，把點(diǎn)的坐標(biāo)寫對(duì)，計(jì)算務(wù)必認(rèn)真?？臻g向量是解立幾何問(wèn)題的有效手段，但不是唯一，傳統(tǒng)的方法有時(shí)很有效甚至還更簡(jiǎn)單。建立三個(gè)不共面基本向量可以更加自由靈活。8.要對(duì)

49、空間向量提高認(rèn)識(shí)：具有大小和方向的量稱為向量，這樣定義的向量稱為自由向量，它與起點(diǎn)和終點(diǎn)無(wú)關(guān)?？捎上蛄康淖鴺?biāo)來(lái)把握向量。必須分清向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)這兩個(gè)概念，向量的坐標(biāo)與向量的起點(diǎn)及終點(diǎn)的坐標(biāo)間有下列關(guān)系：，。因此，若確定了向量的坐標(biāo)，則這個(gè)向量就確定了。9要對(duì)向量在軸上的投影加深理解：它是個(gè)常用的概念，要注意向量在軸上的投影是一個(gè)數(shù)量而不是一個(gè)向量，也不是一個(gè)線段。設(shè)向量，其中投影軸為，點(diǎn)，在軸上的投影分別為，若取與軸同方向的單位向量為，則有 稱為在軸上的投影。因此向量在軸上的投影不是有向線段，而是一個(gè)數(shù)值，記為，易知，其中為與軸的夾角。向量在坐標(biāo)軸上的投影稱為向量的坐標(biāo)。10.要掌握向量的數(shù)

50、量積，向量積、混合積的幾何應(yīng)用及坐標(biāo)表示的特征：（1）幾何應(yīng)用：點(diǎn)到平面的距離為，(*1)，其中為平面的單位法向量，是上的任一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，(*1)式給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的平面的方程。（2）幾何應(yīng)用：點(diǎn)到直線的距離為，(*2)，其中為直線上的單位向量，是直線上的任一點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，(*2)式給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的直線的方程。（3）混合積的坐標(biāo)表示與特征性質(zhì)設(shè)，則，共面。11.在學(xué)習(xí)平面方程時(shí)須注意它的各種形式：如點(diǎn)法式，三點(diǎn)式，截距式，一般式之間的轉(zhuǎn)化，對(duì)方程中常數(shù)的幾何意義應(yīng)引起充分的注意。因?yàn)樵谟懻撈矫鎲?wèn)題時(shí)，平面的法向量常常起著關(guān)鍵性的作用，如平面方程，其中為平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)法式方程是應(yīng)用較方便的常用

51、類型。建立平面的方程時(shí)應(yīng)根據(jù)條件靈活處理。12.在確定空間一條直線時(shí)須注意其方法的靈活多樣性：其中最關(guān)鍵的是直線上的一個(gè)定點(diǎn)和與直線平行的一個(gè)非零向量來(lái)確定，或?qū)⑺闯蓛蓚€(gè)平面的交線?？臻g直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程與參數(shù)式方程，二維空間中的直線均有對(duì)應(yīng)的形式，但要注意，只有空間直線可看成兩個(gè)平面的交線。13要熟練掌握平面，直線的各種形式的方程互化：關(guān)鍵在于明確在各種形式的方程中，各個(gè)量（常量、變量）的幾何意義以及它們之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，互化是容易做到的。如建立平面的三點(diǎn)式方程時(shí)，若硬記公式則不容易記牢的，但從三個(gè)向量共面的角度去思考就能牢牢地記住。14要深刻理解利用向量研究在空間直角坐標(biāo)系下平面、直

52、線及其位置關(guān)系的方法：在空間直角坐標(biāo)系下平面方程的形式，它是一個(gè)關(guān)于，的一次方程，反之，任何一個(gè)關(guān)于，的一次方程都表示一個(gè)平面。平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關(guān)系均是通過(guò)平面的法向量間，直線的方向向量間，或平面法向量與直線的方向向量間的位置關(guān)系來(lái)討論，因此可歸結(jié)為向量問(wèn)題來(lái)解決。如：兩個(gè)平面間的夾角問(wèn)題通過(guò)它們的法向量的夾角來(lái)解決。15.要記住常用的曲面方程：（1）柱面方程：，母線平行于軸的柱面方程，母線平行于軸的柱面方程；（2）錐面方程：；（3）旋轉(zhuǎn)面方程：母線，；（4）橢球面方程：，當(dāng)或或時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面，當(dāng)時(shí)；為球面.（5）雙曲面方程 ；（6）拋物面方程，其中.16.要真正掌握

53、二次曲面的形狀、特征，可以用“截痕法”：也就是用一族平行平面（一般平行于坐標(biāo)面）來(lái)截割曲面，研究所截得的一族曲線是怎樣變化的，從這一族截線的變化情況即可推想出所表示的曲面的整體形狀，這是認(rèn)識(shí)曲面的重要方法，它的基本思想是把復(fù)雜的空間圖形歸結(jié)為比較容易認(rèn)識(shí)的平面曲線。17要通過(guò)消去變量來(lái)認(rèn)識(shí)空間曲線的一般形式：它是由兩個(gè)曲面相交而得，這樣的曲面有無(wú)窮多個(gè)，若曲線的形狀不易把握時(shí)，可先將兩個(gè)曲面方程通過(guò)消去未知數(shù)的方法得兩個(gè)過(guò)曲線的投影柱面的方程，而投影柱面的形狀是較容易把握的。18要學(xué)會(huì)通過(guò)設(shè)參數(shù)建立空間曲面和曲線方程：空間曲面和曲線除了利用圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系建立方程外，還常用參數(shù)方程

54、來(lái)表示。參數(shù)方程的特征是方程中既有表示坐標(biāo)的變量，也有坐標(biāo)以外的其他變量（稱參數(shù)），且坐標(biāo)變量，分別可以表示成參數(shù)的函數(shù)。19要掌握空間曲面和曲線參數(shù)方程化為普通方程的方法：曲線（直線）的參數(shù)方程均含一個(gè)參數(shù)，曲面（平面）的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù)。簡(jiǎn)單的參數(shù)方程消去參數(shù)后可化得普通方程，但并不是所有的參數(shù)方程都能化成普通方程的。20要學(xué)會(huì)知識(shí)的延拓：如學(xué)習(xí)了混合積就可以了解雙重向量積，三個(gè)向量相乘有混合積和雙重向量積，其中雙重向量積的討論可見空間解析幾何這類專業(yè)教材，對(duì)于混合積在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用較多，它具有一個(gè)十分重要的幾何意義，即當(dāng)，不共面時(shí)，的絕對(duì)值等于，為棱的平行六面體的體積。因此利用混合積可

55、以解決求一類體積的問(wèn)題。21在學(xué)習(xí)曲面與空間曲線時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)： 空間曲面方程的定義與平面曲線方程的定義相類似，通常將曲面看成具有某種特征性質(zhì)的空間點(diǎn)的軌跡，用方程來(lái)表示，從集合的觀點(diǎn)來(lái)看，曲面就是所有滿足方程的點(diǎn)的集合。 要充分理解空間曲線一般方程的定義。 這里強(qiáng)調(diào)用通過(guò)空間曲線的任意兩個(gè)曲面的方程來(lái)表示，即用通過(guò)空間曲線的兩個(gè)曲面方程聯(lián)立起來(lái)表示空間曲線。若由方程和表示的兩個(gè)曲面，除去曲線：上的點(diǎn)是它們的公共點(diǎn)外，再也沒(méi)有別的公共點(diǎn)，則用表示它們交線的方程。但要注意，聯(lián)立任意的兩個(gè)曲面方程，它們可能不表示任何空間曲線，例如，從代數(shù)上看這是一個(gè)矛盾方程組，不存在解；從幾何上看，這是兩個(gè)同心的

56、球面，它們沒(méi)有任何的公共點(diǎn)。第六章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用本章主要介紹二元函數(shù)極限，連續(xù)及偏導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算方法以及多元函數(shù)的極值和最值的概念與計(jì)算方法。盡管二元微分學(xué)中許多基本概念是從一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，但也產(chǎn)生了許多具有自身規(guī)律性的新問(wèn)題，不過(guò)從二元函數(shù)到三元函數(shù)以上則是自然的推廣，因此本章以二元函數(shù)為主。在學(xué)習(xí)二元函數(shù)的概念和微分法則時(shí)，主要方法之一就是將它轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。既要注意到一元函數(shù)和二元函數(shù)的共同點(diǎn)，又要注意到它們的差別。1、多元函數(shù)的極限的運(yùn)算法則（包括和差積商，連續(xù)函數(shù)的和差積商，等價(jià)無(wú)窮小替換，夾逼法則等）與一元函數(shù)類似。2、在一元函數(shù)極限中，結(jié)論“函數(shù)在一

57、點(diǎn)處的極限存在當(dāng)且僅當(dāng)它在該點(diǎn)處的左右極限存在且相等”是成立的，但在二元函數(shù)的極限中，即使當(dāng)點(diǎn)沿著任一直線方向無(wú)限趨近于點(diǎn)時(shí)，都趨近于，這也不能斷言極限存在且等于A。3、掌握判定多元函數(shù)極限不存在的方法：（1）若選取一種的方式，按此方式極限不存在，則可斷言函數(shù)極限不存在；（2）若令沿趨向時(shí)，若極限值與k有關(guān)，則可斷言函數(shù)極限不存在；（3）找兩種不同趨近方式，若存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言極限不存在。4、多元函數(shù)的連續(xù)性（1）一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的，定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。求在定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)處的求極限，可直接將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)中求得。5、求函數(shù)極限的

58、常用方法有：（1）利用連續(xù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性。如果是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，那么便有.（2）先用觀察的方法，猜測(cè)函數(shù)可能的極限值，再用二重極限的定義去驗(yàn)證函數(shù)的極限。（3）利用函數(shù)極限的性質(zhì)（如四則運(yùn)算，夾逼準(zhǔn)則）。（4）消去分子分母中極限為零的因子。（5）轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)的極限問(wèn)題。6、掌握閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性，最值定理，介值定理。7、熟記多元函數(shù)的全微分與連續(xù)、可偏導(dǎo)之間的關(guān)系。（1）一階偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)在可微 在連續(xù)在有極限；（2）在可微在的一階偏導(dǎo)數(shù)存在 ；（3）在可微在的方向?qū)?shù)存在。8、判斷函數(shù)在點(diǎn)處是否可微，通常按下列步驟：（1）先看函數(shù)在點(diǎn)是否連續(xù)，若不連續(xù)，則必不可微。因?yàn)檫B

59、續(xù)是可微的必要條件；（2）如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，再看偏導(dǎo)數(shù)是否存在，若兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)中有一個(gè)不存在，則必不可微；（3）若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在，則按可微定義來(lái)判斷函數(shù)是否可微。判斷函數(shù)在點(diǎn)可微的判定方法為若，則可判定在點(diǎn)可微。其中9、求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值的方法如下：（1）先求偏導(dǎo)數(shù)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得。（2）先將代入得，再對(duì)此一元函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)數(shù)得，最后將代入得，即.10、對(duì)多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)是一個(gè)難點(diǎn)，關(guān)鍵是弄清楚函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，哪些是中間變量，哪些是自變量。搞清楚中間變量的個(gè)數(shù)和復(fù)合的層次后，可根據(jù)鏈導(dǎo)公式也就迎刃而解了。11、當(dāng)復(fù)合函數(shù)中復(fù)合的層次較多，結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜

60、時(shí)，用一階全微分形式不變性求出一階偏導(dǎo)數(shù)或者全導(dǎo)數(shù)比較方便。12、對(duì)于分段函數(shù)，在分界點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求。13、對(duì)一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，但對(duì)于二元函數(shù)及一般多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，情形是不一樣的，他們的關(guān)系如下：（1）可微必定可偏導(dǎo)；（2）如果偏導(dǎo)數(shù)、存在且連續(xù)，那么函數(shù)必定可微分，但反之不真。14、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)一般有三種方法：（1）利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式；（2）對(duì)所給方程（組）兩端求導(dǎo)，再解出所求的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；（3）利用全微分。1） ，求. 方法1（直接代公式）：，其中：，相當(dāng)于把看成自變量的函數(shù)而對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)。 方法2：直接對(duì)方程兩邊同時(shí)求關(guān)于的求偏導(dǎo)（記?。?方法3：方程兩邊