傳染病數(shù)學(xué)建模論文

1、- - .甲型 流感傳播模型究摘要 模 流感病毒 并 一、問題重述近年來由墨西哥發(fā)端的甲型 h1n1 型流感（又稱豬流感）正成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)通過相關(guān)網(wǎng)站獲得數(shù)據(jù)建立一個(gè)模型對(duì)甲型 h1n1 流感的走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。 二、問題分析甲型 h1n1 流感的傳播是一道傳染病問題。在數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域已經(jīng)有很多關(guān)于這方面的研究其中 SIR 模型是比較完整的模型SIR 模型通過建立微分方程組，按照一般的傳播機(jī)理建立集中模型文選取美國地區(qū)的甲流實(shí)驗(yàn)室確認(rèn)病例數(shù) 量，建立 SIR 模型，對(duì)甲型 h1n1 流感的傳播規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)。美國甲型 H1N1 流感實(shí)驗(yàn)室確認(rèn)病例數(shù)量：時(shí)間確診（包括死亡病例）死亡（累計(jì)）- -考試

2、資料.- - .4 月 23 日54 月 24 日84 月 25 日114 月 26 日204 月 27 日404 月 28 日644 月 29 日914 月 30 日1095 月 1 日1415 月 2 日1605 月 3 日2265 月 4 日2795 月 5 日4035 月 6 日6425 月 7 日8965 月 8 日16395 月 9 日22545 月 10 日25325 月 11 日26005 月 12 日30095 月 13 日33525 月 14 日4298- -0000000111111222233344考試資料.- - .5 月 15 日 4714 4三、建立模型（一考慮潛

3、伏的數(shù)學(xué)模型1、模型假設(shè)（1甲型 H1N1 流感傳播期內(nèi)，美國境內(nèi)的總?cè)藬?shù)為 N 億不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，人群分為易感染者 S，發(fā)病人群 I 和退出人群 R(括死亡者和治愈者)四類，時(shí)刻 t 內(nèi)這三類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別為 s(t)、 i(t)、r(t)。（2關(guān)于時(shí)間的增長(zhǎng)率與 s(t)成正比，比例常數(shù)為。病人的數(shù)量減少速度與當(dāng)時(shí)的病人總?cè)藬?shù)成正比，比例常數(shù)為的病人具有了免疫力，即治愈后不再會(huì)成為二次患者。 （3、r(t)、i(t)和是一個(gè)常數(shù) 1。2、模型構(gòu)成。治愈易感者和發(fā)病者有效接觸后成為發(fā)病者者每個(gè)發(fā)病者平均每天有效接觸的易感者數(shù)為 (t ) NI (t 個(gè)發(fā)病者平均每

4、天能使 (t ) NI ( ) 個(gè)易感者成為病毒潛伏者。所以有：dS (t )S (t ) I ( ) （1）單位時(shí)間內(nèi)退出者的變化等于發(fā)病人群的減少，即dR ( )I ( ) ）發(fā)病人群的變化等于易感人群轉(zhuǎn)入的數(shù)量，即 ( ) ) I ( ) ) （3）- -考試資料.1 s1 - - .1 s1 記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別為 3、模型求解 、 （不妨設(shè) =0 0 0 方程組 1 法求出解析解，我們定義一個(gè)新的變量 于 是可以求出方程的解為：i ) （4） 下面分析 s(t)、i(t)、r(t)的化情況：a、不論初始條件 、 如何，病人最終將消失，即 i 。 0 0 b、最終未被感染

5、者的健康者的比例是 ，是方程( ) 在 s) 的根。C若s 0則開始有：it 先增加當(dāng) s 0時(shí)，it 達(dá)到最大值然后 it 減小且趨于零， s (t ) 則單調(diào)減小至 。d、若s ，則 it 單調(diào)減小至 5， s t ) 則單調(diào)減小至 0。我們發(fā)現(xiàn)人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率越??；醫(yī)療水平越高，日治愈率越高，于是 越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有利于傳染病的蔓延。結(jié)合美國的具體情況和假設(shè)條件進(jìn)行分析：根據(jù)所得的數(shù)據(jù)畫出美國患病人數(shù)變化曲線和治愈人數(shù)變化曲線：- -考試資料.- - .根據(jù)圖形來看，甲型 h1n1 流感在美國呈現(xiàn)出蔓延的形式，即現(xiàn)在屬于s - -考試資料.的 情的 情況，我們

6、取 - - . 。由假設(shè)條件可知 取值范圍 .4 1.6 之間?，F(xiàn)在0=1.6，則表 (1/ 即美國每天平均治愈的人數(shù)最多為 1.60人，這與美國疾病預(yù)防與控制中心所發(fā)布的數(shù)據(jù)不同。如果美國平均每天治愈1.6 個(gè)人的話，那么從 月 23 日期，治愈的總?cè)藬?shù)為 36.8 人，這與實(shí)際 的情況相差甚遠(yuǎn)。產(chǎn)生這個(gè)問題的原因有以下幾個(gè)方面：第一每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)估計(jì)值偏小是簡(jiǎn)單的成正比關(guān)系， 應(yīng)該是成多次方關(guān)系，甚至是指數(shù)關(guān)系。第二：美國疾病預(yù)防與控制中心所得到的數(shù)據(jù)具有滯后性。第三：在美國s 一定成立?？梢园涯切┥眢w強(qiáng)壯的、注意自己個(gè)人衛(wèi)生的 0人排除在外。（二考慮潛伏期的數(shù)學(xué)模型1、模

7、型假設(shè)（1甲型 H1N1 流感傳播期內(nèi)，美國境內(nèi)的總?cè)藬?shù)為 N 億不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，人群分為易感染者 ，病毒潛伏人群 E,發(fā)病人群 I 和退出人群 R( 括死亡者和治愈者 ) 四類，時(shí)刻 t 內(nèi)這三類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別為 （2個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù) ，稱為日接觸率，當(dāng)已感染者與易感染者有效接觸時(shí)使易感染者變?yōu)椴《緷摲巳翰《緷摲巳哼^一段時(shí)間再 轉(zhuǎn)換成發(fā)病人群，發(fā)病人群被治愈。- -考試資料.- - .2、模型構(gòu)成易感者和發(fā)病者有效接觸后成為病毒潛伏者每個(gè)發(fā)病者平均每天有效接觸的易感者數(shù)為 為病毒潛伏者。(t S ( ， NI (t 發(fā)病者平均每天能使 (t ) S

8、 (t ) NI t ) 個(gè)易感者成所以有NdS ( (t ) NI ( ) 化簡(jiǎn)得： ( )( ( ) I (t 病毒潛伏人群的變化等于易感人群轉(zhuǎn)入數(shù)量減去轉(zhuǎn)化為發(fā)病人群的數(shù)量，即 ( ) t I ( ) ) E ( )其中 (t ) 表示潛伏期日發(fā)病率，即每個(gè)潛伏者平均有效發(fā)病的人數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)退出者的變化等于發(fā)病人群的減少，即dR ( )( ) I t )其中(t 表示日退出率，即每個(gè)病平均有效病情結(jié)束的人數(shù)。發(fā)病人群的變化等于潛伏人群轉(zhuǎn)入的數(shù)量，即dI ( ) ( ) I ( ) (t ) (t (t ) 初始時(shí)刻易感染者，已感染者與病愈免疫者的比例分別是s s 0), i (i r 0 0 0 0 3、模型求解由于潛伏期的人群數(shù)量不能確定，所以可視為是易感人群的一部分，因此求 解過程跟忽略潛伏期的一樣。- -考試資