概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：4-1 數(shù)學(xué)期望

1、第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望 一、數(shù)學(xué)期望的概念 二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 四、小結(jié) 引例1 分賭本問(wèn)題(產(chǎn)生背景)A, B 兩人賭技相同, 一、數(shù)學(xué)期望的概念 該如何分配才算公平? 如果要分賭金, 不得不終止賭博, 在 A 勝 2 局 B 勝1 局時(shí), 外情況 , 由于出現(xiàn)意 取得全部 200 元. 勝, 并約定先勝三局者為 金100元, 各出賭A 勝 2 局 B 勝 1 局 前三局: 后二局: 把已賭過(guò)的三局(A 勝2局B 勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合, 即 A、B 賭完五局, A A A B B A B B A 勝 B 勝分析 假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況: A A A B

2、 B A B B A勝B負(fù) A勝B負(fù) A勝B負(fù) B勝A負(fù) B勝A負(fù) A勝B負(fù) B勝A負(fù) B勝A負(fù) 因此, A 能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為 而B 能“期望”得到的數(shù)目, 則為故有, A, B 最終獲勝的 可能性大小之比為 在賭技相同的情況下, 因而A期望所得的賭金即為X的 “期望”值, 等于 X 的可能值與其概率之積的累加. 即為 若設(shè)隨機(jī)變量 X 為: 則X 所取可能值為: 其概率分別為: 繼續(xù)賭下去 A 最終所得的賭金.在 A 勝2局B 勝1局的前提下, 設(shè)某射擊手在同樣的條引例2 射擊問(wèn)題 試問(wèn): 命中環(huán)數(shù) k 射中次數(shù)記錄如下 (命中的環(huán)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量). 件下, 瞄準(zhǔn)靶子相繼射擊90次

3、該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)? 解 平均射中環(huán)數(shù) 設(shè)射手命中的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量 Y . 平均射中環(huán)數(shù) 頻率隨機(jī)波動(dòng) 隨機(jī)波動(dòng) 隨機(jī)波動(dòng) 穩(wěn)定值 “平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值 “平均射中環(huán)數(shù)”等于 射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加 1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義數(shù)學(xué)期望, 即分賭本問(wèn)題 A 期望所得的賭金即為 X 的數(shù)學(xué)期望 射擊問(wèn)題 “平均射中環(huán)數(shù)”應(yīng)為隨機(jī)變量Y 的數(shù)學(xué)期望 而非變量, 關(guān)于定義的幾點(diǎn)說(shuō)明 (1) E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù) , (2) 級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不的平均值, 求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X 取可能值隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變 , 之所以這樣要 它不應(yīng)隨可能值

4、的排列次序而改變. 稱均值. 現(xiàn)了隨機(jī)變量 X 取可能值的真正的平均值 , 加權(quán)平均, 它是一種 它從本質(zhì)上體與一般的平均值不同, 也隨機(jī)變量 X 的算術(shù)平均值為 假設(shè) 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X 取可能值的平均值. 當(dāng)隨機(jī)變量 X 取各個(gè)可能值是等概率分布時(shí) , 的期望值與算術(shù)平均值相等. 例1 某醫(yī)院當(dāng)新生兒誕生時(shí), 醫(yī)生要根據(jù)嬰兒的 皮膚顏色、肌肉彈性、反應(yīng)的敏感性、心臟的搏 動(dòng)等方面的情況進(jìn)行評(píng)分, 個(gè)隨機(jī)變量. 解 結(jié)果表明,若考察醫(yī)院出生的很多新生兒, 例 如1000個(gè), 那么一個(gè)新生兒的平均得分約7.15分, 1000個(gè)新生兒共得分7150分. 例3 按規(guī)定，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)

5、的， 且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立. 其規(guī)律為 到站時(shí)刻 概率 求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望. 解 律為 在上表中, 例如 候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為 例4 某商店對(duì)某種家用電器的銷售采用先使用后 付款的方式, 規(guī)定: 概率密度為 解即有得例5在一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病， 可以用兩種方法進(jìn)行: 混合在一起進(jìn)行化驗(yàn), 如果這混合血液呈陰性反應(yīng), 這樣, 的血就只需驗(yàn)一次. 若呈陽(yáng)性, 血液分別進(jìn)行化驗(yàn), 這樣, 且這些人的化驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的. 時(shí), 按第二種方法可以減少化驗(yàn)的次 數(shù). 解 組內(nèi)每人的血化驗(yàn)的次 其分布律為 由此可知, 這時(shí)就能得到最好的分組方法.例如, 此時(shí)得到最 好的分組方法. 則

6、按第二種方法平均只需化驗(yàn) 這樣平均來(lái)說(shuō), 例6即 解 2.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義 若 積分 絕對(duì)收斂, 即 例7 解 例2 有兩個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置, 它們的壽 其概率密度為 若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)聯(lián)接成整機(jī), 求整機(jī)壽命 解 1. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望解 二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為 則有 因此離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 若 Y = g(X), 且 則有 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若 X 是連續(xù)型的,它的分布密度為 f (x) , 則 證明： 二章第五節(jié)中定理的條件3. 二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例8 即具有概率密度解 例9 解 例10

7、某公司計(jì)劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場(chǎng)， 并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量. 他們估計(jì)出售一件產(chǎn)品可獲利 再者, 他們 其概率密度為 問(wèn)若要獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大, 應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn) 解 令 得 又 知這也是最大值. 且可 例如, 則 例11 某甲與其他三人參與一個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)拍, 價(jià)格以千美元計(jì), 價(jià)格高者獲勝. 若甲中標(biāo), 他就將此項(xiàng)目以10千美元轉(zhuǎn)讓給他人. 可認(rèn)為其他三人的競(jìng)拍價(jià)是相互獨(dú)立的, 且都在711千美元之間均勻分布. 問(wèn)甲應(yīng)如何報(bào)價(jià)才能使獲益的數(shù)學(xué)期望為最大(若甲中標(biāo)必須將此項(xiàng)目以他自己的報(bào)價(jià)買下). 解 按題意 布. 其分布函數(shù)為 知甲能贏得 這一項(xiàng)目的概率為 它的分布律為 于是甲賺錢的數(shù)學(xué)期望為 令 得 還可知這也是最大值. 又知 他賺錢的數(shù)學(xué)期望達(dá)到極大值, 三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)則有 則有 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量之和的 情況. 證 則有 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī) 變量之積的情況. 證 說(shuō)明 連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望與離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)類似. 例12 如果到達(dá)一個(gè)車站 的,解 易知 按題意, 也就