2022年高中數(shù)學(xué)第一講1.3三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式練習(xí)含解析新人教版選修4-5

1、PAGE 4 -三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1若實數(shù)x，y滿足xy0，且x2y2，則xyx2的最小值是()A1B2C3D解析：xyx2eq f(1,2)xyeq f(1,2)xyx23 eq r(3,f(1,2)xyf(1,2)xyx2)3 eq r(3,f(1,4)（x2y）2)3eq r(3,f(4,4)3，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(1,2)xyx2，即x1時，等號成立答案：C2若ab0，則aeq f(1,b（ab）)的最小值為()A0 B1 C2 D3解析：因為aeq f(1,b（ab）)(ab)beq f(1,b（ab）)3eq r(3,（ab）bf(1,b（ab）)3，

2、當(dāng)且僅當(dāng)a2，b1時取等號，所以aeq f(1,b（ab）)的最小值為3.答案：D3設(shè)x，y，zR，且xyz6，則lg xlg xlg z的取值范圍是()A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：因為lg xlg ylg zlg(xyz)，而xyzeq blc(rc)(avs4alco1(f(xyz,3)eq sup12(3)23，所以lg xlg ylg zlg 233lg 2，當(dāng)且僅當(dāng)xyz2時，取等號答案：B4已知x2y3z6，則2x4y8z的最小值為()A3eq r(3,6) B2eq r(2) C12 D 12eq r(3,5)解析：2x4y8z2x22y

3、23z3eq r(3,26)12.當(dāng)且僅當(dāng)x2y3z2時等號成立答案：C5若logxy2，則xy的最小值是()A.eq f(3r(3,2),2) B.eq f(2r(3,3),3) C.eq f(3r(3),2) D.eq f(2r(2),3)解析：當(dāng)logxy2，得x2y，即x2y1，且x0，y0，xyeq f(1,2)xeq f(1,2)xy3 eq r(3,f(1,2)xf(1,2)xy)eq f(3,2)eq r(3,2).當(dāng)且僅當(dāng)eq f(1,2)xy時等號成立答案：A二、填空題6已知正數(shù)a，b滿足ab21，則ab的最小值是_解析：因為a，b是正數(shù)，ab21，所以abaeq f(b,

4、2)eq f(b,2)3 eq r(3,f(ab2,4)eq f(3,2)eq r(3,2).故ab的最小值是eq f(3,2)eq r(3,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq blc(avs4alco1(ab21，,af(b,2)，)即eq blc(avs4alco1(af(1,2)r(3,2)，,br(3,2)時取到最小值答案：eq f(3r(3,2),2)7函數(shù)f(x)x(52x)2eq blc(rc)(avs4alco1(0 xf(5,2)的最大值是_解析：f(x)eq f(1,4)4x(52x)(52x)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4x52x52x,3)eq su

5、p12(3)eq f(250,27)，當(dāng)且僅當(dāng)4x52x，即xeq f(5,6)時，等號成立故函數(shù)f(x)x(52x)2eq blc(rc)(avs4alco1(0 xf(5,2)的最大值為eq f(250,27).答案：eq f(250,27)8設(shè)x，y，z0且x3y4z6，則x2y3z的最大值是_解析：因為6x3y4zeq f(x,2)eq f(x,2)yyy4z6eq r(6,x2y3z)，所以x2y3z1，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(x,2)y4z，即x2，y1，zeq f(1,4)時，等號成立所以x2y3z取得最大值1.答案：1三、解答題9為銳角，求ysin cos2的最大值解：y2sin2c

6、os2cos2eq f(1,2)2sin2(1sin2)(1sin2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(3)eq f(4,27).當(dāng)且僅當(dāng)2sin21sin2，即sin eq f(r(3),3)時取等號所以ymaxeq f(2r(3),9).10已知a，b，c為正數(shù)，求證：(abc)(a2b2c2)9abc.證明：因為a，b，c為正數(shù)，所以abc3eq r(3,abc)，a2b2c23eq r(3,a2b2c2)所以(abc)(a2b2c2)3eq r(3,abc)3eq r(3,a2b2c2)9eq r(3,abca2b2c2).所以(

7、abc)(a2b2c2)9abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立B級能力提升1若數(shù)列an的通項公式是aneq f(n,n3128)，則該數(shù)列中的最大項是()A第4項 B第6項C第7項 D第8項解析：aneq f(n,n3128)eq f(1,n2f(128,n)eq f(1,n2f(64,n)f(64,n)因為n2eq f(64,n)eq f(64,n)3 eq r(3,n2f(64,n)f(64,n)48，當(dāng)且僅當(dāng)n2eq f(64,n)，即n4時，等號成立，所以aneq f(1,48)，該數(shù)列的最大項是第4項答案：A2函數(shù)y4sin2xcos x的最大值為_，最小值為_解析：因為y216sin2

8、xsin2xcos2x8(sin2xsin2x2cos2x)8eq blc(rc)(avs4alco1(f(sin2xsin2x2cos2x,3)eq sup12(3)8eq f(8,27)eq f(64,27)，所以y2eq f(64,27)，當(dāng)且僅當(dāng)sin2x2cos2x，即tan xeq r(2)時取等號所以ymaxeq f(8,9)eq r(3)，ymineq f(8,9)eq r(3).答案：eq f(8r(3),9)eq f(8r(3),9)3請你設(shè)計一個帳篷，它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3 m的正六棱錐，如圖所示試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時解：設(shè)OO1為x m，則1x4.由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為eq r(32（x1）2)eq r(82xx2)，于是底面正六邊形的面積為6eq f(r(3),4)(eq r(82xx2)2eq f(3r(3),2)(82xx2)，帳篷的體積為V(x)eq f(3r(3),2)(82xx2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)（x1）1)eq f(r(3),2)(4x)(x2)(x