解析幾何-向量的線性關(guān)系與向量的分解課件

1、第一章 向量與坐標(biāo) 1.1 向量的概念 1.2 向量的加法 1.3 數(shù)量乘向量 1.4 向量的線性 關(guān)系與分解 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)1.6 向量在軸上的射影1.7 兩向量的數(shù)量積1.8 兩向量的向量積1.9 三向量的混合積1.10 三向量的雙重向量積第一章 向量與坐標(biāo) 1.1 向量的概念 1.2 向1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解 定義1.4.1 由 與實數(shù) 所組成的向量 叫做 的線性組合.(也稱向量 可以用向量 線性表示,或 可以分解成 的線性組合.)1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解 定義1.4.1 由 定理1.4.1 如果向量 , 則 與 共線的充分必要條件是 可以用向量 線性表示,或者

2、說 是 的線性組合,即 并且系數(shù) 被 惟一確定. 這時 稱為用線性組合來表示共線向量的基底. 定理1.4.1 如果向量 , 則 與 共線的充 必要性 若 與 共線,當(dāng) 同向時,取 ;當(dāng) 反向時,取 ,則有 下證 惟一.如果 ,則 ,即 ,但 ,則 .即 證明: 充分性 若 ,則由數(shù)乘的定義可知 與 共線. 必要性 若 與 共線,當(dāng) 同向時,取 下證 定理1.4.2 如果向量 不共線, 則向量 與 共面的充分必要條件是 可以用向量 線性表示,即并且系數(shù) 被 唯一確定. 這時 叫做平面上向量的基底. 定理1.4.2 如果向量 不共線, 則向量 證明: 因為 不共線,所以 .共線,則有 (或 ).只

3、要取 (或 ),則有 .若 與 都不共線,把 歸結(jié)到共同始點 ,并設(shè)過點 作 , 分別交所在直線于 兩點. 必要性 若 與 共面,若 與 (或 ) 證明: 因為 不共線,所以 .共線 充分性 若 ,當(dāng) 時,例如 ,則有 與 共線,所以 共面.當(dāng) 時,則 ,即 平行 確定之平面.而 ,所以 共面.由于 與 共線, 與 共線,則由定理1.4.1有 充分性 若 ,當(dāng) 時,例如 下證 惟一.如果 ,則 .若 ,則有由定理1.4.1可知 共線,矛盾.同理有 . 下證 惟一.如果 定理1.4.3 如果向量 不共面, 那么空間任意向量 可以由向量 線性表示,或說空間任意向量 可以分解成向量 的線性組合，即并

4、且其中系數(shù) 被 唯一確定. 這時 叫做空間向量的基底. 定理1.4.3 如果向量 不共面, 那么空間任 證明: 因為 不共面,則由定義1.1.5知 ,且它們彼此不共線. 如果 和 之中的兩個向量共面, 例如 ,則由定理1.4.2有 ,則結(jié)論成立. 如果 和 中任意兩個都不共面. 將 歸結(jié)為到共同始點 ,并設(shè) , 證明: 因為 不共面,則由定義1.1.5知 相交于 三點,如圖. ,過 的終點作三平面分別與 平面 平行,且分別和直線 所以有再由定理1.4.1,有則有 相交于 三點,如圖. 下證 被 唯一確定.若則 .如果 ,則則由定理1.4.2可知 共面,故 .同理可得 下證 被 唯一確定.若 例

5、1 已知 , , 分別是兩邊 上的點,且有 , .設(shè) 與 交于,如圖.試把向量 分解成 的線性組合. 例1 已知 , , 分 解: 因為而 解: 因為而因為 不共線,由定理1.4.2,有即因為 不共線,由定理1.4.2,有即 例2 證明四面體對邊中點的連線交于一點,且互相平分. 解: 設(shè)四面體 一組對邊 的中點 的連線為 , 它的中點為 ,其余兩組對邊中點分別為 ,下只需證三點重合就可以了. 例2 證明四面體對邊中點的連線交于一點,且互相平分. 取不共面的三向量 , 下證 重合.又 為 中點,則有連接 ,由于 為 的中點,則有 取不共面的三向量 ,而 ,所以同理可得所以, 重合.而 ,所以同理

6、可得所以, 定義1.4.2 對于 個向量 , 如果存在不全為零的 個數(shù) 使得那么 個向量 叫做線性相關(guān),不是線性相關(guān)的向量叫做線性無關(guān).即線性無關(guān)就指:只有當(dāng) 時,上式成立. 推論 一個向量 線性相關(guān) 定義1.4.2 對于 個向量 定理1.4.4 在 時,向量 線性相關(guān)的充要條件是其中有一個向量是其余向量的線性組合. 證明: 必要性 設(shè) 線性相關(guān), 則存在不全為0的 ,使得因為 不全為0,不妨設(shè) , 則 定理1.4.4 在 時,向量 線性 充分性 設(shè) 中有一個向量是其設(shè)這個向量為 ,即因為 ,所以 線性相關(guān).則余向量的線性組合.設(shè)這個向量為 ,即因為 ,所以 線 定理1.4.5 如果一組向量中

7、的一部分向量線性相關(guān)那么這一組向量就線性相關(guān). 證明: 設(shè)有一組向量 ,其中一部分,如 線性相關(guān),即存在不全為0的 ,使得則 定理1.4.5 如果一組向量中的一部分向量線性相關(guān)那么這其中 不全為0,所以 線性相關(guān). 定理1.4.6 兩向量共線 它們線性相關(guān). 證明: 充分性 設(shè) 線性相關(guān), 則存在不全為0的 ,使得 .不妨設(shè) , 推論 一組向量如果含有零向量,那么這組向量必線性相關(guān).其中 不全為0,所以 則 .如果 ,由定理1.4.1知, 共線.若 ,則 共線. 必要性 設(shè) 共線,若 ,則任取 ,有 ,即 線性相關(guān).若 , 由定理1.4.1,存在 ,使 ,即 , 所以 線性相關(guān).則 .如果 ,

8、由定理1.4.1知, 共 定理1.4.7 三個向量共面 它們線性相關(guān). 證明: 必要性 設(shè) 共面,由定理1.4.2,存在 ,使得 ,即 .以 線性相關(guān). 充分性 設(shè) 線性相關(guān),則存在不全為0不全為0,不妨設(shè) ,則有 .由定理1.4.2知 共面.所的 ,使得 .由于 定理1.4.7 三個向量共面 它們線性相關(guān). 定理1.4.8 空間任何四個向量總線性相關(guān). 證明: 設(shè)空間任意四向量 ,若共面,由定理1.4.7知 線性相關(guān),理1.4.5知 線性相關(guān).若 不共面,由定理1.4.3可設(shè) ,1.4.4知 線性相關(guān). 推論 空間四個以上向量總是線性相關(guān).再由定再由定理 定理1.4.8 空間任何四個向量總線性相關(guān). 證 例3 設(shè) ,試證三點 共線的充要條件是存在不全為0的實數(shù) 使得 且 證明: 必要性 設(shè) 共線,則 共線,由定理1.4.6知 線性相關(guān),即存在不全為0的 ,使得 例3 設(shè) ,試證三點 即 .可得令 , 即有 不全為0,使 且 .令 , 即有 不妨設(shè) ,代入整理得 充分性 設(shè)有不全為0的 ,使即 .可知 不全為0,共線,即 共線.所以由且不妨設(shè)