107-微分方程在經濟學中的應用課件

1、10.7 微分方程在經濟學中的應用一. 市場動態(tài)均衡價格模型二. 人口增長模型三. 提高勞動生產率模型四. 具有價格預期的市場模型10.7 微分方程在經濟學中的應用一. 市場動態(tài)均衡價格機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 教學目標1. 了解微分方程在經濟學中的簡單應用.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 教學10.7 微分方程 在經濟學中的應用 微分方程是研究經濟問題的一個重要工具. 經濟學中的許多經濟變量之間的關系及其內在規(guī)律都是以微分方程的形式來表現(xiàn)的. 本節(jié)我們將介紹微分方程在經濟學中的幾個簡單應用模型. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 10.7

2、微分方程 在經濟學中的應用 微分方程是研一. 市場動態(tài)均衡價格模型 一種商品的價格主要由市場的供需關系來確定, 若商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為（其中 均為正常數(shù)）.當供給量與需求量相等時, 即得則稱為該商品的均衡價格.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一. 市場動態(tài)均衡價格模型 一種商品的價格主要由市一般地說, 當市場上該商品價格供大于求時,價格將下跌; 供不應求時,價格將上漲. 因此,該商品在市場上的價格將隨著時間的變化而圍繞著均衡價格上下波動.價格 P 為時間 t 的函數(shù), 已知初始價格根據(jù)上述供應關系變化影響價格變化的分析,可以假設在任一時刻 t, 價格P(t) 變化率總與這一時刻的

3、超額需求成正比(比例常數(shù)k0).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一般地說, 當市場上該商品價格供大于求時,價格將下跌; 其中 k 為比例系數(shù), 它反映價格的調整速度. 根據(jù)上述假設, 可得微分方程 (10.6.1)在經濟學中, 人們通常把方程(10.6.1)稱為動態(tài)價格調整模型. 將代入方程(10.6.1), 得 (10.6.2)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中 k 為比例系數(shù), 它反映價格的調整速度. 根據(jù)上述假設這是一個一階非齊次線性微分方程, 其通解為 (10.6.3)由于為常數(shù), 故當時,從而價格均衡價格.由此可見, 隨著時間的推移, 價格趨向于均衡價格. 實際從經濟學的意

4、義上來看. P(t) 的表達式的兩項各具鮮明的經濟意義:為均衡價格, 而就是價格的均衡偏差.上, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 這是一個一階非齊次線性微分方程, 其通解為 二. 人口增長模型如何預測某個國家或地區(qū)的人口總數(shù), 是人們普遍關注的一個問題.下面介紹幾個人口預測模型.1. 指數(shù)增長模型 (Malthus 模型)該模型由英國傳教士、人口學家馬爾薩斯(Malthus)于1789年發(fā)表在人口學原理一書上.馬爾薩斯提出人口模型的基本假設:人口增長率是常數(shù). 即單位時間內人口的增長量與當時的人口成正比.下面用“微元法”來建立馬爾薩斯描述的人口增長的微分方程模型.機動 目錄 上頁 下頁 返

5、回 結束 二. 人口增長模型如何預測某個國家或地區(qū)的人口總數(shù), 是人假設 t 時刻的人口為 x(t), 經過一段短的時間后,在時刻,人口數(shù)量變化為由基本假設, 在短時間內, 人口數(shù)量的增加量與當時的人口 x(t) 成正比.不妨假設比例系數(shù)為即在內人口的增量可寫為于是x(t)滿足的微分方程如下:(10.6.4)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 假設 t 時刻的人口為 x(t), 經過一段短的時間后,在稱為Malthus模型. 人口隨時間指數(shù)增長, 因此也稱為指數(shù)增長模型.馬爾薩斯人口論的核心內容是: 人口按幾何級數(shù)增長, 而生活資料則按算術技術增長, 兩者的矛盾必然要給人類社會進步造成障礙.人

6、口會不會無限增長? 因為人口的增加要受到自然條件等因素的約束, 在一定的生產條件下, 存在 一個最大的人口容量.美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明, 1860年以前它是一階線性微分方程, 容易求得解為事實上是不會的. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 稱為Malthus模型. 人口隨時間指數(shù)增長, 因此也稱人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)與指數(shù)增長模型吻合較好, 之后, 兩者有較大的差異. 人口學家的解釋是, 人口較少時, 土地等自然條件可以盡可利用, 這時人口增長率近似于常數(shù); 當人口達到一定 數(shù)量以后, 受到自然條件限制, 增長率隨人口的增長而減少. 這時, 人口增長率為常數(shù)的假設不再適用了, 需要構造增長 率隨人口數(shù)量

7、變化的關系式. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)與指數(shù)增長模型吻合較好, 之后, 兩者有較大的2. 阻滯增長模型(logistic模型)Malthus模型在1840年由比利時人口統(tǒng)計學家費爾胡斯特 (Verhulst) 所修正. 他提出的假設包括: (1) 由于自然資源的約束, 人口存在一個最大容量 (2) 增長率隨人口的增加而減少, 當人口數(shù)量 x(t) 遠小于時, 人口以固定增長率增加;當x(t) 接近時, 增長率為零.滿足上述性質的增長率可以寫成(10.6.5)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 阻滯增長模型(logistic模型)Malthus模型這樣, Malt

8、hus模型(10.6.4)變?yōu)?10.6.6)它是一個可分離變量的一階微分方程, 分離變量得,上式兩端積分, 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 這樣, Malthus模型(10.6.4)變?yōu)?10.6.即由初始條件得代入上式, 得(10.6.6)微分方程(10.6.6)稱為阻滯增長模型或邏輯斯諦(Logistic)模型. 其解曲線(10.6.7)稱為邏輯斯諦曲線.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 即由初始條件得代入上式, 得(10.6.6)微分方程(10.更復雜的人口模型需要考慮隨時間和人口變化的人口增長率、同樣隨時間改變的人口容量以及與育齡婦女和人口齡分布有關的人口基數(shù), 此外還要考慮

9、自然災害、戰(zhàn)爭等隨機因素對人口的影響.在經濟學中, 凡是增長率與現(xiàn)實值 x(t) 及接近飽和水平的程度之積成正比的變量(為飽和值), 其變化均遵循邏輯斯諦曲線的變化規(guī)律. 由于在經濟學中增長率、變化率, 通常都用“邊際”來表示, 所以這類模型在經學、人口學與生物學中都有廣泛的應用.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 更復雜的人口模型需要考慮隨時間和人口變化的人口增長率、同樣隨三. 提高勞動生產率模型發(fā)展經濟、增加生產有兩個重要因素, 一是增加投資, 二是投入更多的勞動力. 恰當調節(jié)投資增長和勞動力增長的關 使增加的產量不致被勞動力的增長抵消, 這樣勞動力生 產率才能不斷提高. 下面建立描述生產

10、量、勞動力和投資之 間變化規(guī)律的模型.用Q(t), L(t) 和 K(t) 分別表示時刻 t 的產量、勞動力和資金. 假設勞動力每年的相對增長率是常數(shù) 即系, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三. 提高勞動生產率模型發(fā)展經濟、增加生產有兩個重要因素,(10.6.8)投資的年增長率與產量成正比, 比例系數(shù)為即(10.6.9)產量函數(shù)取為(10.6.10)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (10.6.8)投資的年增長率與產量成正比, 比例系數(shù)為即方程(10.6.8)的解為(10.6.11)將式(10.6.10)和式(10.6.11)代入式(10.6.9), 得到(10.6.12)方程(10.

11、6.12)的解為(10.6.13)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 方程(10.6.8)的解為(10.6.11)將式(10.6.用Z(t) 表示 t 時刻的勞動生產率, 有(10.6.14)由式(10.6.14)不難看出, 只要就有就是說, 只要初始投資的相對增長率大于于勞動力的相對增長率(常數(shù) ),就能保證勞動生產率Z(t)的不斷增長.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 用Z(t) 表示 t 時刻的勞動生產率, 有(10.6.1六. 具有價格預期的市場模型在動態(tài)市場中, 和 均取為當前的價格函數(shù), 但是數(shù)為線性的條件下, 由于價格趨勢可能使買者和賣者對未來價格作出某些預期，而這些價格預期又

12、會影響其供求決策，所以在供求函(價格是否上升)與 (價格是否以遞增速率上升)得到. 時間的情況下, 價格趨勢的信息, 基本上可用導數(shù) 礎上，而且還要建立在價格趨勢 的基礎上. 在連續(xù)有時賣者和買者的市場行為, 不僅要建立在現(xiàn)期價格的基還應滿足關系式和機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 六. 具有價格預期的市場模型在動態(tài)市場中, 和 且 、 、 、 是原來市場模型帶來的舊參數(shù)，而 m、n 、 、w 是未來市場模型所預期的新參數(shù). (10.6.15)方程(10.6.15)中的參數(shù) m、n 與 、w 分別體現(xiàn)了買者與賣者對價格的預期. 特別地, m 0時, 則買者預期價格將持續(xù)上升, 愿意增加購買數(shù)量.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 且 、 、 、 是原來市場模型帶來的舊參數(shù)，而 m、這個方程在經濟學中稱之為價格預期的市場模型. 當 m 0 時, 則且于是, 由情況 (1)有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (3) 當時,特征根為一對共軛復數(shù)于是, 方程(10.6 此時, 有 因此, 瞬時均衡是動態(tài)穩(wěn)定的; 時,當瞬時均衡是動態(tài)不穩(wěn)定的; 時,當當 n0 時, 則且可正、可負、可為零.于是, 情況(1)情況(3