關(guān)注數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程

1、關(guān)注數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程數(shù)學(xué)知識(shí)有些是生活實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，有些是由于數(shù)學(xué)自身發(fā) 展與需要產(chǎn)生的，在教學(xué)過(guò)程中要關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程，通過(guò)創(chuàng)設(shè)合適的 問(wèn)題，讓學(xué)生在原有知識(shí)基礎(chǔ)上自主建構(gòu)新的知識(shí)，不能將數(shù)學(xué)知識(shí)的教 和學(xué)變成簡(jiǎn)單的告知和規(guī)定.概念是反映客觀對(duì)象的一般的、本質(zhì)屬性的思維形式，是在感覺(jué)、知 覺(jué)和觀念諸過(guò)程的綜合的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的.每個(gè)概念都有一定的內(nèi)涵和外 延：內(nèi)涵指概念的所包含的一切對(duì)象的共同本質(zhì)屬性的總和，而外延是指 適合概念的一切對(duì)象的范圍.內(nèi)涵與外延存在反比例關(guān)系律：內(nèi)涵越大， 外延越小；反之內(nèi)涵越小，外延越大.數(shù)學(xué)概念的形成是學(xué)生思維從特殊到一般的過(guò)程，數(shù)學(xué)概念的概括是 使概

2、念越來(lái)越趨向一般化的思維活動(dòng).【案例】初中階段函數(shù)概念的形成過(guò)程（1）函數(shù)概念的初步建構(gòu)函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”中的重要內(nèi)容，是學(xué)生比較難建立的一個(gè)抽象數(shù) 學(xué)概念.教材內(nèi)容安排在八年級(jí)（上）第五章，學(xué)生在第四章已經(jīng)對(duì)數(shù)量、 位置的變化有了較多的認(rèn)識(shí)和理解，并掌握了表示數(shù)量變化關(guān)系的三種方 法（表格、圖形和數(shù)學(xué)式子）.函數(shù)概念的建構(gòu)已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)，但 學(xué)生對(duì)變量以及對(duì)變量之間的關(guān)系還沒(méi)有認(rèn)識(shí)，需要在函數(shù)概念的教學(xué)中 重點(diǎn)把握.片段1:函數(shù)問(wèn)題1:如何表示數(shù)量的變化？問(wèn)題2：觀察某日的氣溫變化圖.你從中獲得哪些信息？子問(wèn)題：這天的6時(shí)、10時(shí)和14時(shí)的氣溫分別為多少？任意給出 這天中的某一時(shí)刻，說(shuō)出

3、這一時(shí)刻的氣溫.這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？這一天中，什么時(shí)段的氣溫在逐漸升高？什么時(shí)段的氣溫在逐漸降 低？從圖中我們可以看到，隨著時(shí)間t （時(shí)）的變化，相應(yīng)地氣溫T （） 也隨之變化.問(wèn)題3：圓的面積隨著半徑的增大而增大.如果用r表示圓的半徑， S表示圓的面積則S與r之間滿足下列關(guān)系：S=.利用這 個(gè)關(guān)系式，試求出半徑為1 cm、 1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm時(shí)圓的 面積，并將結(jié)果填入右表，由此可以看出，圓的半徑越大，它的面積就中44 心嶗1 1 1.5 i e 3ri 問(wèn)題4：上面的問(wèn)題中氣溫與時(shí)間、面積與半徑、n等量有什么特點(diǎn)?你能將它們進(jìn)行分類(lèi)嗎？問(wèn)

4、題5：你能給這些量下個(gè)定義？（常量與變量）問(wèn)題6：你能刻畫(huà)像氣溫與時(shí)間、面積與半徑之間的關(guān)系嗎？形成函數(shù)概念：一般地，如果在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量，例如 x和y,對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有惟一的值與之對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō)x是自 變量，y是因變量，此時(shí)也稱(chēng)y是x的函數(shù).問(wèn)題7：上面的函數(shù)關(guān)系中，自變量有取值范圍嗎?思考：這里從具體的問(wèn)題情境中建立常量和變量?jī)蓚€(gè)概念，在此基礎(chǔ) 上研究變量之間的關(guān)系，從具體的變量關(guān)系中概括出函數(shù)概念的內(nèi)涵：“對(duì)于變量x和y，對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有惟一的值與之對(duì)應(yīng)”，從 對(duì)應(yīng)的角度建構(gòu)函數(shù)的一般概念.“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，通過(guò)設(shè)置“問(wèn) 題串”，在問(wèn)題解決的過(guò)程中初步完成

5、函數(shù)概念的形成與建構(gòu).(2)通過(guò)具體函數(shù)加深函數(shù)概念的理解對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)僅停留在內(nèi)涵是不夠的，需要通過(guò)函數(shù)外延的界定 進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí).在函數(shù)的外延中，有一次函數(shù)、反比例函數(shù)和 二次函數(shù)等，對(duì)它們的研究有助于學(xué)生形成函數(shù)的概念.片段2：一次函數(shù)問(wèn)題1：求下列變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系式？正方形面積y與邊長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系；正方形周長(zhǎng)y與邊長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系；長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為常量a時(shí)，面積y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系；長(zhǎng)方形面積為2,長(zhǎng)y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系；長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為50,長(zhǎng)y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系.問(wèn)題 2：能否將 y = x2, y = 4x, y = ax, y=, y = 25 2x

6、 進(jìn)行分類(lèi)？ 分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)是什么？問(wèn)題3：能否給像y = 4x, y = ax, y = 25 2x等函數(shù)起個(gè)名字？如何 下定義(揭示內(nèi)涵)？問(wèn)題4：下列函數(shù)哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？說(shuō)明你的理 由.y = 2x1；y=-4x；y = 2x21；y=.思考：這里從概念的外延入手，通過(guò)分類(lèi)和比較，將一次函數(shù)的內(nèi)涵 從具體函數(shù)關(guān)系中抽象出來(lái)，形成一次函數(shù)概念的內(nèi)涵；再通過(guò)具體的函 數(shù)關(guān)系式對(duì)一次函數(shù)概念的外延的進(jìn)行界定，使學(xué)生在從特殊到一般再到 特殊的思維活動(dòng)中逐步形成對(duì)一次函數(shù)概念內(nèi)涵的認(rèn)識(shí).（3）重視研究函數(shù)方法的歸納根據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，初中教材分別在八年級(jí)（上人 八年級(jí)（

7、下）和九年級(jí)（下）編排一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等內(nèi) 容，分布比較松散，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)歷螺旋式上升的過(guò)程，但不易形 成較好的知識(shí)和方法系統(tǒng)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中就需要整體把握方法，逐步體驗(yàn) 和積累學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和能力，注重方法的歸納.初步形成方法和經(jīng)驗(yàn)一次函數(shù)內(nèi)容是學(xué)生在初步建構(gòu)函數(shù)概念之后所學(xué)習(xí)的第一個(gè)具體 函數(shù)，對(duì)一次函數(shù)的學(xué)習(xí)是為今后學(xué)習(xí)函數(shù)積累經(jīng)驗(yàn)的重要階段，在教學(xué) 過(guò)程中要特別關(guān)注一次函數(shù)的研究方法及提升.片段3：一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)問(wèn)題1：觀察某日的氣溫變化圖.觀察該圖，你能說(shuō)出它的特點(diǎn)嗎？氣溫變化圖可以直觀地表示出不同時(shí)間的氣溫，反映出氣溫變化的規(guī) 律.問(wèn)題2：你會(huì)畫(huà)函數(shù)y =

8、x2的圖象嗎？畫(huà)函數(shù)的一般步驟有哪些?問(wèn)題3：你能畫(huà)函數(shù)y=, y = 2x, y = 3x + 2圖象嗎?問(wèn)題4：觀察你所畫(huà)的函數(shù)的圖象，你說(shuō)出一次函數(shù)圖象的特點(diǎn)嗎？ 你根據(jù)這種特點(diǎn)比較簡(jiǎn)潔地畫(huà)出一次函數(shù)的圖象嗎？（兩點(diǎn)決定一直線）問(wèn)題5：畫(huà)出下列函數(shù)圖象，比較下列各對(duì)一次函數(shù)的圖象有什么共 同點(diǎn)，有什么不同點(diǎn)？y = 3x 與 y = 3x + 2； y = x 與 y = x + 2； y = 3x + 2 與 y = x + 2.思考：能否從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律？對(duì)于直線y=kx+b（k、b是常數(shù)， k/0）,常數(shù)k和b的取值對(duì)于直線的位置各有什么影響?對(duì)函數(shù)的性質(zhì)有 什么影響？問(wèn)題6：觀察

9、函數(shù)y = 2x1, y = x, y=-2x1, y=x的圖象， 思考當(dāng)一個(gè)點(diǎn)在直線上從左向右移動(dòng)（自變量x從小到大）時(shí)，它的位置 如何變化？這種變化與函數(shù)關(guān)系式中哪個(gè)量有關(guān)系？比較得到一次函數(shù)y = kx + b有下列性質(zhì)：當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增 大而增大，這時(shí)函數(shù)的圖象從左到右上升；當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大 而減少，這時(shí)函數(shù)的圖象從左到右下降.思考：對(duì)一次函數(shù)的研究過(guò)程，應(yīng)該初步形成學(xué)習(xí)函數(shù)的方法：從 具體問(wèn)題中抽象出具體的函數(shù)模型；建構(gòu)具體函數(shù)概念（內(nèi)涵的概括和 外延的界定）；研究函數(shù)的表示和性質(zhì)（描點(diǎn)法得到函數(shù)圖象一觀察得 到函數(shù)性質(zhì)一性質(zhì)指導(dǎo)下畫(huà)函數(shù)圖象）；利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題（體

10、 現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值）.逐步歸納和提升方法與經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)：“類(lèi)比是偉大的引路人”.類(lèi)比是科學(xué)研究最普遍 的方法，它是兩個(gè)不同對(duì)象在某些方面的類(lèi)同之處，猜測(cè)它們之間的相似 之處，而做出某種判斷的推理.一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)都是具 體的函數(shù)，屬于函數(shù)的外延，學(xué)習(xí)一次函數(shù)的過(guò)程和方法可以類(lèi)比應(yīng)用在 其它函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中.通過(guò)一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步體會(huì)和積累了研 究和學(xué)習(xí)具體函數(shù)的方法和經(jīng)驗(yàn)，在后面反比例函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí) 中，可以按照已有的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，形成研究問(wèn)題的模型化策略.片段4：二次函數(shù)問(wèn)題1：用長(zhǎng)為16 m的籬笆圍成長(zhǎng)方形的生物園飼養(yǎng)兔子，求長(zhǎng) 方形面積y與一邊長(zhǎng)x之間的函

11、數(shù)關(guān)系式；求正方形面積y與邊長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式；長(zhǎng)方形面積為1,求長(zhǎng)y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系式；長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為2,求長(zhǎng)y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系式.問(wèn)題2：在上面問(wèn)題中的函數(shù)可以分成幾類(lèi)？哪些是我們學(xué)過(guò)的？對(duì) 沒(méi)有學(xué)過(guò)的函數(shù)有哪些特征？問(wèn)題3：什么叫二次函數(shù)？一般地，形如y = ax2 + bx + c（a、b、c是常數(shù)，a/0）的函數(shù)稱(chēng)為二 次函數(shù).問(wèn)題4：你應(yīng)該如何學(xué)習(xí)二次函數(shù)？引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的過(guò)程和方法，類(lèi)比得到研 究二次函數(shù)的方法：可以從二次函數(shù)的圖象入手，用描點(diǎn)法得到二次函數(shù) 的圖象；觀察圖象，數(shù)形結(jié)合，得到函數(shù)的性質(zhì)；在函數(shù)性質(zhì)的指導(dǎo)下再 次研究二次函數(shù)；通過(guò)實(shí)際問(wèn)

12、題的應(yīng)用，體會(huì)二次函數(shù)是解決生活中有關(guān) 問(wèn)題的有效模型.問(wèn)題5：請(qǐng)同學(xué)們用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)的圖象，并觀察圖象的特征.研究最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=x2的圖象；研究二次函數(shù)y=2x2的圖象；研究二次函數(shù)y=2x2 + 1的圖象；研究二次函數(shù)y=2（x 1）2+1的圖象；研究二次函數(shù)y = 2x2 4x + 3的圖象.問(wèn)題6：二次函數(shù)的性質(zhì)如何？（對(duì)稱(chēng)性、開(kāi)口方向、頂點(diǎn)與函數(shù)最 值等）問(wèn)題7：請(qǐng)根據(jù)函數(shù)y = x2 2x 2的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)的圖象（五點(diǎn)作圖 法）.思考：二次函數(shù)是繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后的又一重要的代數(shù)函 數(shù)，是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.在教學(xué)過(guò)程中，可以 從整體把握，讓學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)一次