高等數(shù)學概率二項分布

1、高等數(shù)學概率二項分布第1頁，共26頁，2022年，5月20日，21點29分，星期四一、常見的離散型隨機變量的概率分布 （一）01分布 1、概率函數(shù) 2、數(shù)學期望和方差 第2頁，共26頁，2022年，5月20日，21點29分，星期四3、概率背景 設隨機試驗 E 只有兩種可能結果：A和 ，且P(A)=p (0p1)， 。用 表示一次試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則 服從參數(shù)為 p 的01分布。例如：擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點” 新生兒：“是男孩”，“是女孩” 抽驗產品：“是正品”，“是次品” 第3頁，共26頁，2022年，5月20日，21點29分，星期四（二）二項分布 1、概率函數(shù) 2、概率背景 若

2、隨機變量 的概率函數(shù)為其中0p1，則稱 服從參數(shù)為n，p的二項分布，記為 。 用 表示 n 重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，且P(A)=p (0p1)，則 服從參數(shù)為n，p 的二項分布，即 。第4頁，共26頁，2022年，5月20日，21點29分，星期四例1、 設生男孩的概率為 p ，生女孩的概率為 q =1-p，令 表示隨機抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數(shù). B (4，p)解：概率函數(shù)為第5頁，共26頁，2022年，5月20日，21點29分，星期四解： 例2、將一枚均勻骰子拋擲3次， 令 表示3次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù)。 B (3，1/6)概率函數(shù)為第6頁，共26頁，2022年，5月20日，

3、21點29分，星期四例3、 某類燈泡使用時數(shù)在2000小時以上視為正品.已知有一大批這類的燈泡,其次品率是0.2。隨機抽出20只燈泡做壽命試驗,求這20只燈泡中至多有3只是次品的概率.解: 設 為20只燈泡中次品的個數(shù) ,則. B (20, 0.2) 所以第7頁，共26頁，2022年，5月20日，21點29分，星期四 特別地，當二項分布B (n, p)的參數(shù)n=1時，B (1, p)就是參數(shù)為p的01分布。 說明 設試驗E只有兩個結果：A和 . 記P(A)=p,則P( )= 1- p , 0p0 是常數(shù),則稱 服從參數(shù)為 的 泊松分布，記作 P( ).第19頁，共26頁，2022年，5月20日

4、，21點29分，星期四2、概率背景 泊松分布常見于所謂稠密性的問題中。 例如：一段時間內，車站來候車的旅客數(shù)；原子放射粒子數(shù)； 用戶對電話交換臺的呼叫次數(shù)；織布機上斷頭的次數(shù)。零件鑄造表面上砂眼的個數(shù)；又例如：一定面積內耕地上雜草的數(shù)目等。第20頁，共26頁，2022年，5月20日，21點29分，星期四3、泊松分布的期望和方差 同理求得所以第21頁，共26頁，2022年，5月20日，21點29分，星期四解: 例8、某一無線尋呼臺,每分鐘收到尋呼的次 數(shù) 服從參數(shù)=3的泊松分布. 求:(1)一分鐘內恰好收到3次尋呼的概率. (2)一分鐘內收到2至5次尋呼的概率. (1) P =3 =(33/3!

5、)e-30.2240 (2) P2 5 =P =2+P =3+P =4+P =5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169第22頁，共26頁，2022年，5月20日，21點29分，星期四解: 例8、某一城市每天發(fā)生火災的次數(shù) 服從參數(shù)泊松分布,且平均每天發(fā)生火災0.8次. 求:該城市一天內發(fā)生3次以上火災的概率. P 3=1- P 100 , p0.1）時,則對任意固定的非負整數(shù)k,有近似公式 即二項分布B(n, p)可由泊松分布P(np)近似.第24頁，共26頁，2022年，5月20日，21點29分，星期四 由泊松定理，n重貝努里試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布. 我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件. 如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等 第25頁，共26頁，2022年，5月20日，21點29分，星期四解: 例9、某出租汽車公司共有出租車400輛,設每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02, 求:一天內沒有出租車出現(xiàn)故障的概率.設 表示一天內出現(xiàn)故障的出租車數(shù),則: B (400, 0.02). 令=np=4000.02=8,