自招競(jìng)賽課程數(shù)學(xué)講義：競(jìng)賽中遞推型數(shù)列不等式問(wèn)題的求解策略

1、文檔編碼 : CT5I4K4Y5T1 HC6E6C8L5P6 ZE8E6S4U9M8自招競(jìng)賽 數(shù)學(xué)“ 競(jìng)賽中遞推型數(shù)列不等式問(wèn)題的求解策略”學(xué)問(wèn)定位 遞推公式背景下的數(shù)列型不等式始終是高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考考查的重點(diǎn)；由于此類問(wèn)題融函數(shù)、三角和不等式等學(xué)問(wèn)模塊于一體, 自然滲透著重要的數(shù)學(xué)思想和方法,因此,始終備受命題者的青睞；講義以試題為例,就競(jìng)賽中的遞推型數(shù)列不等式問(wèn)題的求解策略作一探究；學(xué)問(wèn)診斷 1.（2022 華約）答案：學(xué)問(wèn)梳理 回憶數(shù)列中不動(dòng)點(diǎn)法的學(xué)問(wèn)點(diǎn)；1常見(jiàn)題型和方法解析 1 以數(shù)列的通項(xiàng)公式為切入點(diǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以分析數(shù)列的基本性質(zhì)（單調(diào)性,有界性等）,為解決數(shù)列型不等式問(wèn)題供

2、應(yīng)了科學(xué)的決策依據(jù)；因此,求解通項(xiàng)公式就成為解決遞推型數(shù)列不等式問(wèn)題首選的突破口；例 1設(shè)數(shù)列a nn0中意ma 2n,其中,m、nN mn；證明：a 12,am na mnmn1a 22（1）對(duì)一切 nN ,有1.a n22 a n1a n2;（2）11.a1a 1a 22022（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽）小結(jié)： 通過(guò)求數(shù)列的通項(xiàng)公式并借助精確求和方法 錯(cuò)位相減,裂項(xiàng)相消,倒敘相加,分組求和等來(lái)求證數(shù)列不等式,在思維 上并不存在困難 利用此方法求解問(wèn)題關(guān)鍵在于求解數(shù)列的通項(xiàng)公式在競(jìng)賽中求解數(shù)列的通項(xiàng)公式 的常見(jiàn)方法有：迭代 累加或 2累乘 ,構(gòu)造 借助恒等變換轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列,如等

3、差、等比數(shù)列,常數(shù)數(shù)列等 ,換元 包括代數(shù)換元和 角換元 ,函數(shù)不動(dòng)點(diǎn) 借助函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造特殊數(shù)列 和特點(diǎn)根 求解關(guān)于線性遞推關(guān)系下的數(shù)列通項(xiàng)公式 等例 2設(shè)數(shù)列a n定義為a 11,an+1=2a n+ 3an21nN.證明：（1）當(dāng)n1時(shí),a n1a n134 a ；n（2）1 a 11.112；a 2a n（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)預(yù)賽）小結(jié)：在求得數(shù)列通項(xiàng)公式后, 如無(wú)法實(shí)現(xiàn)精確求和以達(dá)到簡(jiǎn)化表達(dá)式的目的時(shí),可對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行合理放縮, 用能精確求和的數(shù)列來(lái)近似替代原數(shù)列完成對(duì)數(shù)列不等式的證明；這是常用的策略, 但應(yīng)留意把握放縮的度 防止放縮過(guò)寬 和放縮的方向 不等式方向的同向

4、性 ,更應(yīng)關(guān)注放縮的目標(biāo) 轉(zhuǎn)化為能精確求和的數(shù)列 ；例如,例 2 中用等比數(shù)列n a 1替代數(shù)列a n3例 3已知數(shù)列a n中意a 11,an11a211n1,2,.,S n為其前n 項(xiàng)和；na n證明：S n32n112n1替代數(shù)列tan 2n,突破了無(wú)法求和的困境2n小結(jié)： 此例用等比數(shù)列2 以數(shù)列的遞推公式為切入點(diǎn)盡管數(shù)列的通項(xiàng)公式是刻畫(huà)數(shù)列正確的手段,但在處理實(shí)際問(wèn)題中會(huì)發(fā)覺(jué)許多遞推型數(shù)列通項(xiàng)公式的求解過(guò)程繁瑣,或遞推公式本身復(fù)雜,有時(shí)甚至無(wú)法求解；面對(duì)如此困境時(shí),只能轉(zhuǎn)向遞推公式本 身,寄期望于在遞推公式的適當(dāng)恒等變換中尋求求解思路；例 4已知數(shù)列a n中意N.1.a 11, a n

5、12 a na n1 n證明：當(dāng)n4 時(shí) ,11n1n 21k1a k4小結(jié)： 此例中數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式很難求解,為此通過(guò)對(duì)遞推式的恒等變換,借助其內(nèi)在的規(guī)律 實(shí)質(zhì)類似于裂項(xiàng)相消法 來(lái)簡(jiǎn)化,實(shí)現(xiàn)精確化簡(jiǎn)化求和的目標(biāo)；例 5設(shè)數(shù)列a n中意a 11, a 22,a n22 a n11 n1.a n2 a n11 求a n1 與a n之間的遞推關(guān)系式a n1f a n;2證明：63a 202278.（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽）5小結(jié)：此例也沒(méi)直接去求通項(xiàng)公式, 而是通過(guò)對(duì)遞推公式的恒等變形并結(jié)合對(duì)數(shù)列有界性判定來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)an2范疇的估量；中意a 11,a a n1n1 nN.例 6

6、已知數(shù)列a nn112n1 1證明：a kk6例 7 已知數(shù)列a n中意a 11 , 3a n1an+a2nN.nn2證明：對(duì)一切nN,有1 a na n11;2an11.24n（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北賽區(qū)預(yù)賽）小結(jié)：當(dāng)給定的數(shù)列的遞推關(guān)系包含過(guò)多的“ 不良” 結(jié)構(gòu),且恒等變換對(duì)解決問(wèn)題也不產(chǎn)生有利條件時(shí),可考慮通過(guò)放縮對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行改良,使之轉(zhuǎn)化為相對(duì)好處理的數(shù)列；例如,此例借助數(shù)列的單調(diào)性將遞推關(guān)系a n1an+a2改良成a111-1nN.和an1an+annN.,實(shí)nann2n2nn2現(xiàn)了問(wèn)題求解的常規(guī)化；73 以數(shù)列的性質(zhì)為切入點(diǎn)例 8已知函數(shù)f x 16x7,數(shù)列a n、b

7、n中意1a ；n4x4a 10,b 10,a nf a n1,b nf b n1n2,3,.（1）求a 的取值范疇,使得對(duì)任意的正整數(shù) 1n ,都有a n（2）如a 13, b 14,證明：0bna n811n1,2,.n（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西省預(yù)賽）小結(jié)： 在本例中,分析得到數(shù)列an 、bn 均為單調(diào)有界數(shù)列,且具有共同的收斂極限 即為函數(shù) 的不動(dòng)點(diǎn) 7/2 8試題演練1 已知數(shù)列a n中意a 11,a 21,a n1n1 ann2,3,.4nan（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切nN,有kn1a k2n7；nN,S n是其前 n 項(xiàng)和；62. 已知數(shù)列a n中意a 11,

8、a n11a42a n證明：當(dāng)n2時(shí),2 n1S n2n1；4（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽）93. 已知數(shù)列a n中意a 1a 12,a n1n2n42 a nn1,2,.,Sn為其前 n 項(xiàng)和；證明：S n13 4；1 , 2 na223an1n2；a n中意4. 已知數(shù)列證明：對(duì)一切nN ,有kn1ak1；105. 已知數(shù)列a n1中意a 121,an111n;n21nan1nN；2n證明：（ 1）an1n1a2nn（2）a ne 2.參考答案1. 2. 113. 4. 5. 12講師評(píng)判學(xué)問(wèn)點(diǎn)課后把握情形所需習(xí)題編號(hào)是否需要課時(shí)加強(qiáng)課后把握情形評(píng)分：1 對(duì)本學(xué)問(wèn)點(diǎn)毫無(wú)所知,聞所未聞；2 明白該學(xué)問(wèn)點(diǎn),能完成簡(jiǎn)潔的識(shí)記題；3 懂得該學(xué)問(wèn)點(diǎn),能運(yùn)用其分析解答簡(jiǎn)潔問(wèn)題；4 把握學(xué)問(wèn)的意義,但缺乏練習(xí)與手感,解答稍難的題目速度慢；5 深刻明白學(xué)問(wèn)內(nèi)核,能完成相應(yīng)試題,但有確定的錯(cuò)誤率；6 能夠較嫻熟利