論行列式計算技巧

1、論行列式的計算方法黃正敏（莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系2002級，福建 莆田）摘要：歸納行列式的各種計算方法，并舉例說明了它們的應(yīng)用，同時對若干特殊 例子進行推廣。關(guān)鍵詞：行列式；范德蒙行列式；矩陣；特征植；拉普拉斯定理；析因法；輔助 行列式法行列式的計算靈活多變，需要有較強的技巧。當然，任何一個n階行列式都可以由它的定義去計算其值。但由定義可知，n階行列式的展開式有 n!項，計算量很大，一般情況下不用此法，但如果行列式中有許多零元素，可考慮此法。值的注意的是：在應(yīng)用定義法求非零元素乘積項時，不一定從第1行開始，哪行非零元素最少就從哪行開始。 接下來要介紹計 算行列式的兩種最基本方法化三角形法和按行（列）展

2、開法。方法1化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形 行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。原則上，每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列 式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作 為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例1:浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題（重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1 22 3Dn 年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試

3、題第三大題第1 22 3Dn = 3 4+R+I+4n 11小題）的解答中需要計算如下行列式的值:3IIIn -1n4IIIn15III12+2 川 n2 n1分析顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式 的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有 n-1個數(shù)是差1的，根據(jù)行列 式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以一1加到第n列，第n-2列乘以一1加到第n-1 列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其 化為三角形行列式，計算就簡單多了。解：Dn川川III1n1 nIII1 -n(i =2,川，n)IIIIIIinin_n_n1 +HI + n

4、0 III0000III0_n10 HI0n00III_n020 III一n01 n(n +1):iRbFb+*+卜一 n2+fF0nIII00n 20 III00_n0III00n 1-n III00111n -1000_n(n)(n_2)(-1) 2n -1(i =2,川,n)1 丄rinn1 n(n 1)=n 2(n 1) nd彳2n-122(-n)n(n d)ao,a 1ao,a 1,a n-2,a n-1 “循環(huán)行列式”。例1中，顯然是1,2 ,，n-1,n這n個數(shù)在循環(huán)，那么如果是 這n個無規(guī)律的數(shù)在循環(huán)，行列式該怎么計算呢？把這種行列式稱為 2-a0a1a2IIIanan 4a。

5、aiIIIanJ2D 二 n+iq+& ra2asa4IIIa1a1a2a3IIIa一a。a1a2IIIan 4an 4+a。i4a1hIIIan 2rb+a21asa4IIIra1-a1a2asIIIa -從而推廣到一般，求下列行列式:解：令 A二(ac,i =0,1，n -1)n 1-n 1-njLU-anjL +au + 川 +an/Un（這里：un =1”用到u =un1等）-1 1 a。+ae +川 +a u2una2a3u|la1un 二n屮 a +a2u +川 +aurao+a1u +川+an3au gu2 +川 +anAun= (a| - anun)-1 1u2u ndaoun

6、，+a1un+川+an 少2心|_aoun_1 +a1un +川 +anu2n nd1 1u其中 f (u) ae III a其中 f (u) ae III an junJu設(shè)w = cos2 +i sin為n次本原單位根 nn.有：wn = 1,wk = 1（0 ： k : n） 于是:1,w, w2,川,wn，互異且為單位根記：Wj記：Wj-1WjW2j,(j =0,1,III,n-1)方陣WWoM，川，Wn)刖j J則由上述知：A Wj = f Wi Wj故 Aw 二(Awd , Aw1 ,1)1, AWn 4)=(f (WO)Wo, f (W)W1|, f (Wn4)Wnj)f (w0

7、)= (W,W,Wnj)f(wn)顯然 W = (Wo, W| ,| 山 Wnd)=_1111n 4W2(n4)W為范德蒙行列式n7Ww(n4)(n4).w = 0從而有：Aw| =側(cè) f (1)f (w)川，f (wn_!)= A 二Dn =f(1) f(w)f(wnJ)又例1中，循環(huán)的方向與該推廣在方向上相反 所以例1與D=naoaiaD=naoaiaia2IIIIIIan Jaoa。Illan_2相對應(yīng)(n(n2而Dn與只相差(1)2個符號(n D(n D(n 2即得：D=(-1)2 f (1) f(w) JI f (wnJ)從而當(玄,川,an)=(12,川,n)時 對單位根u二wk

8、1,總有：f(u) =1 2u 3u2 |l| n un Af(1)=1 2 |l| nf (u) -uf (u) =1 u u2 11( un -n = -n_nf (u)二1 -uxn _1 n而又(xwk)=1 x 1 xn4X 1 km令X =1則有：n 4II (1wk) =1+1 + 111 + 1= nk 4從而有：5 42)D： =(-1)2f(1) f(w| .f(w)=(-1)=(-1)1(-1)(-1)n21 - w與例1的答案一致方法2 按行（列）展開法（降階法）設(shè)從而有：5 42)D： =(-1)2f(1) f(w| .f(w)=(-1)=(-1)1(-1)(-1)n

9、21 - w與例1的答案一致方法2 按行（列）展開法（降階法）設(shè)Dn =aj為n階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有Dn = a1 A1 *ai2 A2 + I ” + ain An (i = 1,2, HI，n )或 Dn = a1j Aja2j A2 jH anj Anj j = 1,2，川,n其中Aj為Dn中的元素aj的代數(shù)余子式按行（列）展開法可以將一個 n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續(xù) 使用按行（列）展開法，可以將 n階行列式降階直至化為許多個 2階行列式計算， 這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計算 僅當行列式中某一行（列）含有較

10、多零元素時，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，里,應(yīng)用按行（列）展開法時，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元 素，再按該行（列）展開例2，計算20階行列式O9D20 二123川181920212III171819321III161718201918III分析這個行列式中沒有一個零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至 化許許多多個2階行列式計算，需進行20！ *20 1次加減法和乘法運算，這人根本 是無法完成的，更何況是 n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則 很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應(yīng)元素僅差1,因此，可按下述方法計算:解:123III1

11、81920212III171819321III161718(iIII111III111算:解:123III181920212III171819321III161718(iIII111III111302III222(i =2,川,20)400III222+i4+442000III0022100III000201918321192011m11-11m11-1-1|l11-1川-1-1-1川-1-11-1=21 ( -1)20 1 218 =-21 218以上就是計算行列式最基本的兩種方法， 接下來介紹的一些方法，不管是哪種, 都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結(jié)合起來。下面是一常用的方法：方法3遞推法應(yīng)

12、用行列式的性質(zhì)，把一個n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比 如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根 據(jù)遞推關(guān)系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。注意用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話, 很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。例3,2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第 等式：10小題要證如下行列式DnIIIIIIIIIIIIot證明：Dn:1 a -P其中:（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析此行列式的特

13、點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余 的兀素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式。從行列式的左上方往右下方看,即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計算。證明：D按第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有:Dn = C + J Dn廠：川 Dn2這是由di和Dn-2表示D的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從 n階逐階往 低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：Dn ： Dn1= : Dn1 -:沖Dn-Dn-1 Dn-2)或 Dn : Dn-1= Dn1 -介Dn- 2=(

14、 Dn-1 : Dn-2)現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：Dn Dn-1=( Dn-1 Dn- 2)= ： ( Dn-2 Dn-3)= ： ( Dn-3 Dn-4)=HF ：n(D2d1)=:葉2(_：r)2.：川.：心 n) = Ji川|(1) 同樣有：耳4-1=(耳-1 Dn 2)= - ( Dn- 2一 D. 3)= ( Dn-3 Dn-4)F HF ： n(D2 ： D-i) = n-2(j )2 八-(二 g ) = ： n|l (2)因此當工匯l：時山 _ Bn*由(1) ( 2)式可解得：Dn =-:a _ P證畢。點評雖然我們從一個行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu)，然后得到一遞推

15、關(guān)系式，但我們不要盲目亂代， 一定要看清這個遞推關(guān)系式是否可以簡化我們的計算，如果不行的話，就要適當?shù)負Q遞推關(guān)系式，如本題。方法4 加邊法(升階法)有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易 計算。要根據(jù)需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加法適用于某一行 (列)有一個相同的字母外，也可用于其列(行)的元素分別為n-1個元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：IIIIII1a1川an10HI031131 n0an川a1nb1anHIa1nDn =a21+32n1bTa21r川a2nb

16、2ia21rHIa2nian1IIIann+0fan1川annibnran1HIin 4a21乙*1aia1a2ainnaa1a2ainh分析上面我們已經(jīng)介紹了多種方法，根據(jù)這題行列式的特點，每行都有相同的因子ai, a2 J|l,an，所以本題適用加邊法。（本題有多種解法，據(jù)上分析，僅以加邊法推出。）解:1a1a2a出a解:1a1a2a出an0體a2aanDn =0a1為9出an*卜卜-10a1a29出an0aa2a出扎(n+)a11 _a10100(i =2,山,n) -1A ra2aIIIan00出0扎a20III040-0m000出入an(n+tjaiG ： 1Ciiai(i =2,川

17、，n)000a1a 2a IIIan入a 100002 a20in0000in0000打一 an(n+)n annn=(1+)仏a) = (K a)+ai叮仏j -aj)1 i _3i i 土i zij =1jH特別地，當 打“ b時(i =1,2川|, n)nnDn =E abn丄+bn =bn丄(b中瓦a)與例11的答案一致。i 1i 以上總共給出了計算行列式的 12種方法，其中一些是常見的些是最基本的方法，還有 一些是特殊但很實用的方法。在課外書中還有其他的一些方法，如：極限法、換元法、導(dǎo)數(shù) 法、差分法、積分法等，但這些方法用處不多，所以不加以介紹。本人認為只要理解和掌握以上 12種方法，不管哪種行列式計算，都可以迎刃而解。而 且一個題目有時候要由多種解法并用，或一個題可由多種方法獨自解出，這就需看大家的靈活應(yīng)用程度，能否找出一個最簡便的方法解出其值。參考文獻： T